基于油井早期產量遞減分析的地層參數反演方法

孫兆樂，程林松，賈 品，金子一，張向陽

(中國石油大學(北京)，北京 102249)

0 引 言

產量遞減分析對油氣田的開發部署規劃及生產動態預測具有重要意義。目前，油氣井產量遞減分析方法主要為經驗遞減法[1-3]及現代產量遞減分析[4-7]。常規油井產能評價主要采用Arps遞減分析[2]，能快速擬合油井的生產動態并進行預測。Ilk等[8]和Valko等[9]分別改進了Arps遞減方法，使其適用于非穩態階段及非常規油氣井。但經驗遞減法要求井底流壓不變，且只能對油井的遞減趨勢做出判斷。現代產量遞減分析是油氣藏工程研究熱點之一[10]，主要為Fetkovich遞減曲線圖版和Blasingame遞減曲線圖版[11]。Fetkovich[12]將Arps遞減曲線分析范圍擴展至早期不穩定流動階段；Pratikno等[13]建立了不同導流能力下，圓形封閉油藏中有限導流垂直裂縫井的Fekotvich-McCray圖版；Doublet等[14]引入產量積分，減弱了擬合多解性。Fetkovich類方法主要適用于定壓生產井[15]。Blasingame等[16]引入了物質平衡擬時間函數和擬壓力規整化產量，考慮到了產量和井底流壓的變化情況,將邊界流階段變為一條調和遞減曲線；Agarwal等[17]建立了Agarwal-Gardner圖版，降低了擬合分析的多解性；Blasingame等[18-19]建立了NPI產量積分圖版，減少了分散數據的影響。Blasingame類方法更多應用于氣井的產能分析[11]。

投產初期的油井處于高產能狀態，產量和井底壓力未出現明顯遞減趨勢。油井生產數據的變化更多源自生產制度的調整，由于每天開井生產的時間不固定，日產量并不能代表油井正常生產時的產能，常用產量遞減分析方法并不適用。因此，利用杜哈美原理[20]，將油井變產量生產的產能評價問題轉化定產量形式，提出規整化產量和和物質平衡時間2個評價指標，使變產量動態數據規整并具有規律性，便于建立對油井產能的初步認識。將分析結果與典型圖版進行曲線擬合，進而反演解釋儲層參數。

1 油井變產量生產滲流數學模型

假設地層均質、等厚，原始地層壓力為pi，圓形地層封閉邊界中心有一口直井，以不定產量q(t)進行生產，流體為單相油、微可壓縮，徑向流入井筒，不考慮溫度變化。該物理模型的滲流數學方程表達式為[20]：

(1)

(2)

式中：p為地層壓力，MPa；pi為原始地層壓力，MPa；rw為井筒半徑，m；r為地層測試點到井筒中心的距離，m；re為地層邊界到井筒中心的距離，m；K為儲層滲透率，mD；η為導壓系數；Ct為綜合壓縮系數；μ為流體黏度，mPa·s；h為儲層厚度，m；q為油井日產量，m3/d；t為時間，d。

引入無量綱物理量：

(3)

(4)

(5)

式中：pD為無因次壓力；rD為無因次距離；tD無因次時間；φ為孔隙度；B為流體體積系數。

利用杜哈美定理求解圓形封閉邊界直井變產量生產的壓力解：

(6)

式中：τ為輔助計算變量；pwf為井底壓力，MPa；q(τ)為非時間變量邊界條件下的產量，m3。

式(6)中，pD(t-τ)為圓形地層封閉邊界直井定產量生產的壓力解，Earlugher等[21-23]給出了確定定產解：

(7)

式中：S為表皮系數；J0為第一類零階貝塞爾函數；xn為第一類一階貝塞爾函數的根；n為無窮級數計數器。

對式(6)中含時間項進行離散化處理：

(8)

式中：tj為第j天；tm為當前時間，d。

將生產井邊界條件r=rw代入式(7)得到定產量解，得到圓形有界地層中心一口生產井以定產量生產時的井底壓力解：

(9)

式中：pw為定產量井底壓力，MPa。

將式(9)代入式(8)，得到井底流壓解：

(10)

(11)

式中：Q為累計產油量，t。

壓力波傳播到邊界后，無窮級數項可忽略，式(10)可化簡為：

(12)

將式(12)兩邊同時除以q(t)，得到圓形有界地層變產量生產井底壓力近似解：

(13)

(14)

(15)

式中：tcr為物質平衡時間,d；JNo為規整化產量，m3/MPa。

對于油井的變產量生產情況，基于杜哈美原理推導處理后，通過引入物質平衡時間及規整化產量進行表征，使油井壓力與產量的關系在形式上與定產量相同，將不規律的油井生產數據規整化，變量本身不具有物理意義。該數據處理方法簡便，使得基于常規定壓解的動態分析方法可以適用，實現了變產量油井的定量評價。

2 油田地層參數的反演解釋

典型圖版的曲線擬合是現代產量遞減分析方法的核心，即將實測曲線與樣版曲線進行擬合進而求解儲層參數[11]。實測曲線是預處理后的油井規整化產量與物質平衡時間的雙對數曲線，而圖版是依據理論模型的動態特征繪制的曲線。在相同的坐標系及坐標比例下，通過將實測數據在圖版內上下左右平移，使理論曲線和實測曲線重合度達到最佳，再根據重合點的比例關系，從而求得儲層的物性參數。

采用Stehfest數值反演方法，可以獲得經歸一化處理后的規整化產量遞減曲線圖版，利用圖版擬合就可反演儲層的關鍵參數。擬合步驟為：①輸入基礎地層參數、關鍵參數初始值、油井生產數據；②生產數據歸一化預處理；③求取油井的定產量生產的壓力解；④利用杜哈美原理，得到變產量生產井底壓力的解；⑤利用物質平衡方法、結合牛頓迭代法進行曲線擬合；⑥輸出擬合結果。

3 數值模擬模型驗證

為了驗證所建立油井變產量生產數據評價方法的準確性，運用油藏商業數值模擬軟件tNavigator?，建立封閉邊界圓形地層中心一口直井變產量生產的數值模型，地層為均質、等厚，流體為單相油、微可壓縮，儲層、流體相關參數見表1。設定油井以不同的日產量進行生產。

表1 數值模擬模型相關參數Table 1 The relevant parameters of numerical simulation model

為了充分模擬油井的早期以不定產量投產的工作模式，設置100、200、300、400 m3/d 4個日產油量，每個日產油量生產3個月，1 a為1個周期。開井投產3 a，模型油井的產量并沒有出現遞減趨勢，因此，傳統產量遞減分析方法不適用。圖1為模型運行的含油飽和度結果，判斷油井的最終井控半徑約為820 m。

圖1 數值模擬含油飽和度結果Fig.1 The numerical simulation results of oil saturation

將模型油井變產量制度生產的基礎數據進行預處理，轉化為規整化產量和物質平衡時間2個新評價指標，繪制二者關系圖(圖2a)。由圖2a可知：規整化產量與物質平衡時間呈明顯負相關，生產動態數據具有規律性；曲線截距可以判斷油井初始產能高低，遞減率反映了擬采油指數遞減的快慢，這種處理方法可以用于定量評價開發時間不長的變產量生產油井的產能。

將模型油井的儲層地層參數及生產數據導入擬合程序，生產數據進行歸一化處理計算得到規整化產量及物質平衡時間，并繪制雙對數曲線，在圖版上尋求最佳擬合曲線，擬合結果見表2及圖2b。由表2可知：反演參數與模型初始參數相比，相對誤差不超過10%，證明通過規整化產量及物質平衡時間反演解釋地層參數的方法準確性高。由圖2b可知：曲線表現出典型的現代產量遞減曲線理論圖版的特征，規律性明顯，典型圖版包括不穩定流和邊界流2個流動階段。當圖版曲線均與實測曲線重合后，根據重合點和重合曲線的特征參數，計算相關的地層參數。

4 實例分析

以大慶油田P1-2井為例，其地層參數見表3，典型井的生產動態見圖3。由圖3可知，該井投產時間不足2 a，單井日產油量波動較大，且沒有出現明顯遞減趨勢，難以利用常規產量遞減分析方法評價。通過生產數據的預處理，得到其物質平衡時間及規整化產量指標，利用程序擬合出變產量生產油井的早期遞減曲線及遞減公式(圖4)，可作為評價油井產能的依據。

圖2 數值模型井生產數據預處理及圖版擬合結果Fig.2 The numerical model well production data preprocessing and plot fitting results

表2 程序反演解釋參數與數值模型參數及誤差Table 2 The program inversion interpretation parameters and numerical model parameters and errors

由圖4可知：油井的流動已經達到了邊界流階段，滿足利用典型圖版進行反演分析；不穩定流階段的擬合存在多解性，參考測井解釋、產能結果進行分析；邊界流階段利用圖版確定的井控儲量基本一致。利用上述典型圖版擬合方法，最終獲得擬合結果(圖5、表4)，與DST解釋結果對比，相對誤差在合理范圍內。

表3 典型井地層參數Table 3 The formation parameters of typical wells

圖3 P1-2井的生產動態Fig.3 The production dynamics of Well P1-2

圖4 規整化產量-物質平衡時間擬合遞減曲線Fig.4 The normalized production-material balance time fitting decline curve

圖5 規整化產量遞減曲線圖版反演結果Fig.5 The inversion results of normalized production decline curve plot

表4 程序反演解釋參數及誤差Table 4 The program inversion interpretation parameters and errors

5 結 論

(1) 基于杜哈美原理，可將圓形有界地層單井變產量壓力與產量解轉化為圓形有界地層定產解。

(2) 以變產量制度生產的油井，僅利用常規生產數據日產量和井底流壓，經規整化產量及物質平衡時間2個新評價指標預處理后，生產曲線表現出定產井遞減圖版特征，實現了對油井變產量生產動態數據的定量分析，成本低，資料來源廣泛。

(3) 在規整化產量遞減曲線典型圖版中，利用多條曲線來輔助擬合，定量反演解釋儲層參數，對確定單井井控儲量、合理部署油井分布、節約建設資源具有重要意義。