關于亞純函數微分多項式唯一性問題

劉登峰,潘 飚

(福建師范大學數學與統計學院,福建 福州 350117)

1 引言

本文中的亞純函數均指復平面上的亞純函數.設f是非常數亞純函數,采用亞純函數唯一性理論中的一些基本記號和結論[1-2],如T(r,f),N(r,f),N(r,f),m(r,f)等.令S(r,f)表示任意滿足S(r,f)=o{T(r,f)}(r→+∞,r∈/E)的量,其中E是一個有窮線性測度的集合,S(r,f)每次出現時E可能不相同.若對亞純函數a,有T(r,a)=S(r,f),則稱a為f的一個小函數.表示f的零點的計數函數,其中當f的零點重數m≤k時,計m次;當m＞k時,計k次.表示f-a的零點重數m≤k的計數函數,表示f-a的零點重數m≥k的計數函數.

下面我們介紹由Lahiri I[3-4]引進的權分擔記號.

定義1.1設f,g是兩個非常數亞純函數,a∈C∪{∞},k為一正整數或∞.Ek(a,f)表示f-a的所有零點,若零點重數m≤k時,計m次;若m＞k時,計k+1次.若Ek(a,f)=Ek(a,g),則稱f和g以權k分擔a.

這里記f和g分擔(a,k)表示f和g以權k分擔a.顯然若f和g分擔(a,k),那么對任意的p(0≤p＜k),p為整數,都有f和g分擔(a,p),同時,當且僅當f和g分擔(a,0)(或(a,∞))時,f和g分擔aIM(或aCM).

設S是一個復數集合,f和g是兩個非常數亞純函數,定義

若Ef(S,k)=Eg(S,k),則稱f和g以權k分擔集合S,若Ef(S,∞)=Eg(S,∞),則稱S為f和g的CM公共值集;若Ef(S,0)=Eg(S,0),則稱S為f和g的IM公共值集.顯然.

在亞純函數值分布理論中,一個著名的問題是1959年由Hayman W K[5]提出的,即設f是復平面上超越亞純函數,n為正整數,則fnf′取可能為零以外的任意復數無窮多次.上述問題直到1995年才被陳懷惠和方明亮[6],Zalcman L[7]分別證得.針對上述著名的Hayman問題,楊重駿與華歆厚[8]研究了微分單項式的唯一性并獲得了下述定理.

定理1.1[8]設f,g是兩個非常數整函數(亞純函數),n＞6(n＞11)是正整數,若fnf′與gng′分擔1 CM,則或者f=c1ecz,g=c2e-cz,其中c1,c2,c是非零常數,且滿足(c1c2)n+1c2=-1,或者f(z)≡tg(z)且滿足tn+1=1.

近20年來,許多復分析學者對微分多項式的唯一性問題開始了廣泛的研究并獲得了豐富的成果,詳見文獻[9–13].注意到,,進而方明亮[9]考慮了定理1.1中k階導數的情形并獲得了下述結果.

定理1.2[9]設f,g是兩個非常數整函數,n,k均為正整數且滿足n＞2k+4,若(fn)(k)與(gn)(k)分擔1 CM,則或者f=c1ecz,g=c2e-cz,其中c1,c2,c是非零常數,且滿足(-1)k(c1c2)n(nc)2k=1,或者f(z)≡tg(z)且滿足tn=1.

定理1.3[9]設f,g是兩個非常數整函數,n,k均為正整數且滿足n＞2k+8,若(fn(f-1))(k)與(gn(g-1))(k)分擔1 CM,則f(z)≡g(z).

2008年,張曉宇等人[10]進一步將定理1.3中的(fn(f-1))(k)推廣到(fnP(f))(k),其中P(z)=amzm+am-1zm-1+···+a1z+a0為m次非零多項式,得到了如下結果.

定理1.4[10]設f,g是兩個非常數整函數,n,k,m均為正整數且滿足n＞3m+2k+5,P(z)=amzm+am-1zm-1+···+a1z+a0或P(z)≡c0,其中a0/0,a1,···,am-1,am0,c00為常數,若(fn(P(f)))(k)與(gn(P(g)))(k)分擔1 CM,則

(I)若P(z)=amzm+am-1zm-1+···+a1z+a0,則下述情況之一成立:

(I.i)f(z)≡tg(z),其中t為非零常數且滿足td=1,d=GCD(n+m,···,n+mi,···,n),且存在一個i∈{0,1,···,m},使得am-i0;

(I.ii)R(f,g)≡0,其中

(II)若P(z)≡c0,則下述情況之一成立:

(II.i)f(z)≡tg(z),其中t為非零常數且滿足tn=1;

近年來,一些學者考慮了上述微分多項式中當分擔值a替換為集合S時,其中S={a∈C:as=1},是否還能獲得上述定理中f與g類似的關系.2018年,An V H等人[11]考慮了(fn)(k)與(gn)(k)CM分擔S的情況,得到了下述結果.

定理1.5[11]設f,g是非常數亞純函數,n,k,s均為正整數且滿足,s≥2,S={a∈C:as=1},若E(fn)(k)(S,∞)=E(gn)(k)(S,∞),則下述情況之一成立:

(i)f(z)≡tg(z),其中t為非零常數且滿足tns=1,t∈C;

(ii)f=c1ecz,g=c2e-cz,其中c1,c2,c是非零常數,且滿足(-1)ks(c1c2)ns(nc)2ks=1.

2020年,Chao M等人[12]考慮了(fn)(k)與(gn)(k)IM分擔集合S與權1分擔集合S的情況,得到了下述定理.

定理1.6[12]設f,g是非常數亞純函數,n,k,s均為正整數且滿足,s≥2,S={a∈C:as=1},若,則定理1.5的結論成立.

定理1.7[12]設f,g是非常數亞純函數,n,k,s均為正整數且滿足,s≥2,S={a∈C:as=1},若E(fn)(k)(S,0)=E(gn)(k)(S,0),則定理1.5的結論成立.

為了尋求這個方向上更多的結果,本文結合多項式加權和的概念進一步探討將定理1.5,定理1.6以及定理1.7中(fn)(k)替換為(fn(P(f))(k)時的情形,為了方便本文的敘述,我們引入下述定義.

定義1.2設P(z)=amzm+···+a1z+a0為m次非零多項式,其中v(1≤v≤m)個不同的零點分別記為d1,d2,···,dv,相對應的零點重數分別記為p1,p2,···,pv且滿足p1≤p2≤···≤pv.令

當t為P(z)重數不超過k的零點個數(不計重數)時,則

且由定義可知0≤γ≤m.特別地,當時有γ=0.

結合加權和的定義,本文得到了下述定理,定理中的P(z)相關符號與定義1.2中的符號含義一致,下文中不再一一敘述.

定理1.8設f,g是非常數亞純函數,n,k,s均為正整數,s≥2,P(z)=amzm+am-1zm-1+···+a1z+a0或P(z)≡c0,其中a0/0,a1,···,am-1,am/0,c0/0為常數,P(z)中相關符號如定義1.2所設,S={a∈C:as=1},若E(fnP(f))(k)(S,k)=E(gnP(g))(k)(S,k),則

(I)當k=0時,

(I.i)若P(z)=amzm+am-1zm-1+···+a1z+a0且滿足,則下述情況之一成立:

(I.i.i)f(z)≡tg(z),其中t為常數且滿足tsd=1,d=GCD(n+m,···,n+m-i,···,n);

(I.i.ii)R(f,g)≡0,其中

(I.i.iii)(fnP(f))(k)(gnP(g))(k)≡h,其中hs=1.

(I.ii)若P(z)≡c0且滿足,則下述情況之一成立:

(I.ii.i)f(z)≡tg(z),其中t為非零常數且滿足tns=1;

(I.ii.ii)f=c1ecz,g=c2e-cz,其中c1,c2,c是非零常數且滿足

(II)當k=1時,

(II.i)若P(z)=amzm+am-1zm-1+···+a1z+a0且滿足,則(I.i)的結論成立;

(II.ii)若P(z)≡c0且滿足,則(I.ii)的結論成立.(III)當k≥2時,

(III.i)若P(z)=amzm+am-1zm-1+···+a1z+a0且滿足,則(I.i)的結論成立;

(III.ii)若P(z)≡c0且滿足,則(I.ii)的結論成立.

備注1.1特別地,當P(z)≡c0時,由定理1.8可得到定理1.5–1.7,因此定理1.8推廣了定理1.5–1.7.

2 相關引理

3 定理的證明