基于數控指令修正的數控內圓磨床幾何誤差補償

范晉偉，秦池，潘日

(北京工業大學機械工程與應用電子技術學院，北京 100124)

0 前言

隨著機械制造業的不斷發展，各種數控機床、磨床、加工中心發展得越來越快，這些技術的發展水平也代表著一個國家生產制造水平的高低。數控磨床作為多數零件加工的最后一道工序所用的設備，其加工精度起到至關重要的作用。但是，在實際加工過程中，由于一些外部環境、機床振動、刀具磨損及熱源的影響，使得生產的零件總會存在加工誤差，所以減少或者消除加工誤差非常有必要。影響機床的誤差源多種多樣，如幾何誤差、熱誤差、伺服系統誤差等，而每種誤差都會對機床的加工精度產生一定的影響，如何通過減小誤差影響提高加工精度成為至關重要的研究問題。

空間運動誤差的建模方法前期主要有三角函數法[1-2]、矢量描述法[3]等，后來經過學者們的不斷研究，出現了機構學理論[4]、多體系統理論[5-8]、螺旋理論[9-10]等建模方法。多體系統是多個剛體或者柔體通過某種連接方式而形成的復雜機械系統，同時也是對復雜機械系統的完整抽象和有效描述[11]。它通過對機床整體的運動結構進行抽象化處理，簡化其結構的復雜性，能夠借助計算機快速建模，具有良好的通用性以及系統性，所以非常適用于誤差建模[12]。OKAFOR和ERTEKIN[13]利用齊次坐標變換原理并且忽略高階誤差項，建立了多軸機床的空間誤差模型。CHEN等[14]以多體系統理論為基礎，推導出五軸數控機床的運動誤差公式。WU等[15]通過齊次坐標變換原理以及多體系統理論，建立了非正交五軸數控機床的空間運動誤差公式。

現階段的研究多為五軸機床及加工中心的幾何誤差分析，關于磨床的研究相對較少，且磨床的空間運動誤差建模沒有統一步驟，存在模型精度不足等問題。為更加全面且精準地分析磨床的幾何誤差，提高加工精度，本文作者基于多體系統理論建立數控內圓磨床的空間運動誤差模型。通過研究數控指令修改算法進行誤差補償，得到精密加工的數控指令，并對加工階梯軸試件進行仿真驗證，得出補償前后的數控指令，分別選取5個補償點，對比補償前后到理想位置的空間距離。

1 基于多體理論的空間運動誤差建模

1.1 機床結構簡述

圖1所示為文中選用的數控精密內圓磨床結構模型。它是由兩個移動軸、兩個旋轉軸以及機身、刀具等構成，其中：x、z軸為移動軸；A、B軸為旋轉軸；刀具通過B軸(刀具轉臺)進行換刀，B軸借助x軸進行x方向的移動；z軸帶動x軸、B軸以及刀具等進行z方向的移動。

圖1 數控精密內圓磨床結構簡圖

1.2 數控精密內圓磨床的拓撲結構及低序體陣列

基于多體系統理論，可以將該內圓磨床簡化為具有2個分支的多體系統，其中一個是床身-刀具分支，主要由機身、z軸導軌、x軸滑座、B軸轉臺、刀具組成；另一個是床身-工件分支，主要由機身、導軌、工件主軸(A軸)、工件組成。依據多體系統理論中的命名規則，對磨床主要零部件進行序號標定，其中：機身為1體；z向滑臺為2體；x軸為3體；刀具轉臺為4體；刀具為5體；工件主軸為6體；工件為7體，并在點o1、o2、o3分別建立相應坐標系，得到的磨床拓撲結構如圖2所示。

圖2 磨床拓撲結構

由磨床的拓撲結構圖，可以得到如表1所示的低序體陣列。

表1 低序體陣列

1.3 數控精密內圓磨床幾何誤差分析

任意物體在空間運動時有6個自由度，則會產生6項幾何誤差[16]，其中包括3項線位移誤差：定位誤差以及2個直線度誤差；3項角位移誤差：傾斜誤差、偏擺誤差以及俯仰誤差。直線軸以x軸為例，6項誤差分別為x向的定位誤差δx(x)、y向的直線度誤差δy(x)、z向的直線度誤差δz(x)、繞x軸的偏擺誤差εx(x)、繞y軸的俯仰誤差εy(x)以及繞z軸的滾轉誤差εz(x)；旋轉軸以C軸為例，6項誤差分別為徑向跳動誤差δx(c)和δy(c)、軸向跳動誤差δz(c)、傾斜誤差εx(c)和εy(c)、定位誤差εz(c)，x、C軸幾何誤差參數如圖3、4所示。軸與軸之間還存在相對位姿誤差，主要為各軸之間的垂直度誤差。綜上所述，該數控精密內圓磨床的幾何誤差參數共有29項，具體如表2所示。

圖3 x軸幾何誤差參數示意

圖4 C軸幾何誤差參數示意

表2 數控精密內圓復合磨床幾何誤差參數

1.4 數控精密內圓磨床的空間運動誤差模型

根據低序體陣列表以及相對運動關系，基于齊次坐標變換原理，可得到數控內圓磨床相鄰體之間的理想靜止齊次變換矩陣及實際靜止齊次坐標變換矩陣、理想運動齊次變換矩陣及實際運動齊次坐標變換矩陣[17]，分別如表3和表4所示。

表3 理想靜止及實際靜止齊次坐標變換矩陣

表4 理想運動及實際運動齊次坐標變換矩陣

設被加工點為P，則點P分別按照機身-刀具分支、機身-工件分支表示在機床坐標系中，位置分別記為Pt0、Pw0,基于多體系統理論，可以得其表達式為

Pt0=S12，pS12，peS12，sS12，seS23，pS23，pe·

S23，sS23，seS34，pS34，peS34，sS34，seS45,pS45,peS45,sS45，sert

(1)

Pw0=S16，pS16，peS16，sS16，seS67，pS67，peS67，sS67，serw

(2)

其中：rt為點P在刀具坐標系中的位置矩陣；rw為點P在工件坐標系中的位置矩陣。在實際加工中，為實現精密加工，必須滿足刀具成形點與工件成形點重合，即必須滿足以下條件：

Pt0=Pw0

(3)

由公式(3)可以得到實際情況下被加工點P在工件坐標系中的位置：

rw，actual=

S12,pS12,peS12,sS12,seS23,pS23,peS23,sS23,seS34,p·

S34,peS34,sS34,seS45,pS45,peS45,sS45,sert

(4)

將公式(4)中的誤差矩陣省略，可以得到理想情況下待加工點P在工件坐標系中的位置：

rw,ideal=(S16,pS16,sS67,pS67,s)-1·

S12,pS12,peS12,sS23,pS23,sS34,pS34,sS45,pS45,srt

(5)

則該磨床的空間運動誤差模型為

E={Ex,Ey,Ez}=rw,actual-rw,ideal

(6)

其中：Ex、Ey、Ez分別為空間誤差在x、y、z方向的誤差分量，將公式(4)(5)及靜止矩陣、運動矩陣、誤差矩陣代入公式(6)，經過MATLAB軟件求解，并且忽略高階無窮小量，最終可求解出數控精密內圓磨床的空間運動誤差模型。

將檢測的誤差數據代入所建立的空間運動誤差模型中，即可計算出數據點的空間誤差，通過對數控指令進行修正，能提高機床的加工精度，且修正量即為數據點的空間誤差值。下面以直線插補運動為例進行數控指令修正算法研究。

2 直線插補運動數控指令修正

2.1 確定補償點

補償點數的確定，會對加工指令的精度產生重要影響：如果選擇點數過多，會導致加工指令數目巨大；點數過少，則會導致精度低等問題[18]。對于補償點數的選取，一般有兩種方法：垂直分割法、水平分割法[19]。水平分割法能夠較好地提高補償點處的加工精度，且相鄰補償點之間的精度也能得到有效控制。相對于垂直分割法，水平分割法確定的補償點數少，生成的數控指令容量小，故選用水平分割法進行補償點確定。圖5所示為水平分割法示意圖。

圖5 水平分割法

2.2 直線插補運動數控指令修正

對于直線運動的補償，應從直線起點Pa開始，根據直線方程表達式，得到該點的坐標，并基于得到的空間運動誤差模型，計算該點在x、y、z方向的誤差Δx(Pa)、Δy(Pa)、Δz(Pa)，并分別判斷三者的絕對值，若起點Pa數據滿足公式(7)，則該點不需要補償，沿直線繼續進行下一點判斷；若三者中任意一項或者幾項超過控制精度Φ，則起點必須進行補償;直線中其他點Pn則按照公式(8)進行計算，其中Δx(Pn)、Δy(Pn)、Δz(Pn)分別為點Pn處的誤差，Δx(Pn-1)、Δy(Pn-1)、Δz(Pn-1)為前一個補償點處的誤差，若符合公式(8)，則證明該點不需要補償，反之該點為補償點。

(7)

(8)

圖6 補償前直線運動軌跡

圖7 補償后直線運動軌跡

3 仿真驗證

基于上述研究的誤差補償方法，以內圓磨床常用加工零件階梯軸進行仿真驗證。試件三維模型如圖8所示，表5所示為試件具體結構參數，加工刀具直徑為φ40 mm。對直線運動數控指令的修正算法進行研究，并結合建立的空間運動誤差模型，進行試件加工仿真驗證。

圖8 試件三維模型

表5 階梯軸結構參數 單位：mm

由于加工中涉及到29項幾何誤差，故首先設定幾何誤差參數值，并結合空間運動誤差模型，算出補償點處x、y、z方向的誤差；其次，對每個補償點的誤差進行判斷，對其進行補償。將未補償的數控指令導入軟件中，如表6所示，并進行走刀模擬；對補償點處誤差進行補償，得到如表7所示的補償后對應的數控加工指令，并生成補償前后的走刀軌跡，如圖9所示。

表6 補償前數控指令 單位:mm

表7 補償后數控指令 單位:mm

圖9 補償前后走刀軌跡

分別對比圖9中由上向下的5個畫圈點補償前后的數據，如表8所示。

表8 補償前后數據 單位：mm

由表8可知：5個數據點補償前后距離理想位置的空間距離分別由0.616、0.607、0.614、0.295、0.376 cm變為0.354、0.398、0.376、0.188、0.255 cm，分別減小了42.5%、34.4%、38.6%、36.3%、32.1%。

4 結論

以數控精密內圓磨床為研究對象，首先基于多體系統理論，建立磨床的空間運動誤差模型，基于此模型，可以求解加工路徑中任意點的空間誤差；其次，通過對比垂直分割法與水平分割法的優缺點，得出水平分割法能夠有效保證相鄰補償點之間的精度，故選擇水平分割法確定補償點的數量；以直線運動軌跡為例，進行數控指令修改，得出補償前后的直線軌跡；對階梯軸試件進行加工仿真驗證，得出補償前后的數控指令，并選取5個加工點，對比補償前后的空間誤差。結果表明：5個加工點的誤差都得到有效提高，證明了所提方法的有效性。