基于MATLAB的行走機構設計與優化

任軍輝 穆龍濤 權 超

（陜西工業職業技術學院，陜西 咸陽 712000）

0 引言

移動機器人是現代機器人的一個重要分支，行走機構是其能夠實現移動的結構保障。在所有行走機構中，連桿機構因結構簡單、低副能承受較大的載荷、具有豐富的運動軌跡，能很好地實現移動機器人行走步態的要求［1］。平面鉸鏈四桿機構是最簡單，也是應用最廣泛的連桿機構，可將其看作一個Ⅱ級桿組連接到原動件和機架上。只要在平面四桿機構上施加一個原動機就可實現復雜的平面運動軌跡［2］。在實際應用中，對行走機構的要求不同，可在四桿機構的基礎上增加桿組，從而設計出較為復雜的多連桿系統［3］，圖1為六桿機械腿結構示意圖。

圖1 六桿機械腿結構拆分

對連桿機構進行設計的方法有作圖法和解析法［4］。作圖法是按照一定的比例尺，用幾何作圖的方式來求解連桿機構的尺寸參數，該方法較為簡單直觀、高效，但求解精度不高，對較為復雜的連桿系統求解較為困難；解析法是通過建立機構運動要求和機構尺寸參數間的解析方程式，并根據已知條件來求解出連桿的尺寸參數，且求解精度高。隨著計算機技術的發展，解析法的求解更加方便。MATLAB提供了強大的數學計算能力，將研究的平面機構放于笛卡爾坐標系中，利用坐標矢量關系來建立求解表達式，即可實現對連桿機構的精確求解與優化［5-7］。

1 行走機構方案

一種基于連桿機構的四足機器人行走機構如圖2所示，左右兩側的行走結構完全一致，但在運動狀態上存在180°的相位差，可實現交替配合。每一側機構中，前肢和后肢結構都是相似的平面四桿機構，通過曲柄共用一個電機。因此，在對其進行分析時，選取一側的前肢結構對其進行分析與優化，其機構運動簡圖如圖3所示。

圖2 四足行走機構

圖3 機構運動簡圖

各桿件的尺寸為AB=200 mm、BC=700 mm、CD=700 mm、AD=1 000 mm。平面四桿機構曲柄存在的條件見式（1）。

式中：LAB為AB桿件的長度；LAD為AD桿件的長度；LBC為BC桿件的長度；LCD為CD桿件的長度。由圖3可知，最短桿AB為曲柄，該四桿機構屬曲柄搖桿機構。運動過程如下：AB桿件為原動件，電機通過減速裝置來帶動曲柄作整周轉動，連桿為執行構件，P點為末端點，連桿上的某位置作高低起伏的復雜軌跡運動，從而實現與地面接觸及抬起前進的行走動作。

2 機構運動和力分析

2.1 機構數學模型建立

為了能利用矢量來表示機構的幾何關系，將四桿機構放置于平面直角坐標系中進行研究，如圖4所示。四桿機構的四條邊可構成一個封閉的圖形，用矢量來表示每一段，即在封閉圖形ABCD中，存在的矢量方程見式（2）。

式中：AB為桿AB對應的平面矢量；BC為桿BC對應的平面矢量；AD為桿AD對應的平面矢量；DC為桿DC對應的平面矢量。

為了便于求解導數，式（2）可用復數的形式來表示，見式（3）。

式中：|AB|、BC、|CD|、|AD|分別為AB桿、BC桿、CD桿和AD桿的長度；θ1，θ2，θ3分別為AB桿、BC桿、CD桿與水平方向的夾角（見圖4）。

圖4 行走機構的數學模型

其中，θ1隨時間的變化規律就是曲柄的運動規律，待分析的變量包括其余桿件的角度，可利用MATLAB來求解式（3），以及角度相對時間求一階導、二階導，從而分析各桿件的位置、速度和加速度。

2.2 運動分析

在已知曲柄AB為主動件勻速轉動的前提下，分析其余桿件的位置、速度和加速度的變化情況。由于平面四桿機構的自由度為1，在只有一個原動件的前提下，機構具有確定的運動。P點為連桿BC延長線上的一點，根據BC桿的運動規律可求出P點的運動情況。

對式（3）兩側同時求時間的一階導數，見式（4）。

式中：ω1、ω2和ω3分別為AB桿、BC桿和CD桿的角速度。

為了便于MATLAB的編程求解，用矩陣的形式來表示速度方程，見式（5）。

對式（3）兩側同時求時間的二階導數，或對式（4）兩側同時求時間的一階導數，得到加速度的方程式，見式（6）。

式中：α2、α3分別為桿BC、桿CD的角加速度。

根據計算結果，連桿和搖桿的運動規律如圖5所示。

由圖5可知，當曲柄轉角分別為135°和330°時，CD桿的角速度達到最大值75 rad/s；當曲柄轉角在27°和240°附近時，連桿BC達到最大角速度75 rad/s。在每一個運動周期中，連桿BC和搖桿CD的加速度波動范圍分別為-2.2×104～1.4×104rad/s2、-1.5×104～2.2×104rad/s2。

圖5 行走機構運動分析曲線

2.3 力分析

在運動分析的基礎上，當桿件質量、質心位置、轉動慣量以及執行件的工作阻力矩已知，可借助MATLAB軟件來計算運動副上的受力，以及原動機所需的平衡力矩。對活動構件i進行受力分析，并根據受力分析來建立平衡方程，見式（7）。

式中：Si為質心；MSi為對質心Si的力矩；Fx為水平方向的作用力；Fy為垂直方向的作用力。

在行走機構中，對3個可移動的桿件可建立9個平衡方程，利用MATLAB進行求解，對工作阻力矩為100 N、桿件線密度為10 kg/m的案例進行分析，得到四桿機構C點轉動副的受力和曲柄AB平衡力矩，如圖6所示。

圖6 行走機構力分析

3 行走機構優化設計

通過以上分析可以看出，連桿上的點的運動軌跡不盡相同，在圖3中，行走機構末端執行點是連桿BC延長線上的一點，為了使行走機構具有良好的傳力性能和越障能力，希望P點的運動軌跡能通過（1 200，-920）、（1 100，-900）、（900，-880）、（800，-910）、（700，-930）這5個點，以這5個點所在的曲線為理想曲線，根據數學模型可求解出軌跡上最接近理想曲線的連桿上某點位置，并將其作為P點的實際位置，從而實現對連桿機構的優化。目標函數見式（8）。

式中：(xPi，yPi)、(xi，yi)分別為理想曲線上的坐標點和P點軌跡上的坐標點。

由于P是實際構件上的一點，因此可以是BC線段外的點，但其與連桿是同一個構件。可用BP以及BP和BC之間的夾角θ來表示P點在實際連桿上的位置。優化的約束條件見式（9）。

式中：γ為傳動角；γmin和γmax分別為傳動角的最小值和最大值；|AB|、|BC|、|CD|、|AD|分別為AB桿、BC桿、CD桿和AD桿的長度。

由此來設計各桿長度以及P點在連桿上的位置。根據MATLAB的計算結果在三維建模軟件中進行建模，如圖7所示，即BP=633 mm、θ=13.4°。

圖7 優化后的結構即軌跡線

4 結語

本研究基于MATLAB的編程與強大計算能力，使用解析法對連桿行走機構進行運動和受力分析，并在此基礎上，以末端軌跡為目標，對連桿進行優化，得出末端執行點的具體位置，使連桿行走機構具有良好的傳力和越障性能，從而為精確分析和連桿機構設計提供參考。