例談遞推公式an+1+an=f(n)中不同類型的f(n)問題

江蘇省白蒲高級中學 柳永紅

1 f(n)為一次函數型

當遞推關系an+1+an=f(n)中f(n)為一次函數形式時，利用分組求通項公式再求和的方法求解.一般根據題目條件分n為奇數和n為偶數分別求通項公式，再將其合并整理得對應的數列通項公式.利用此方法求解通項公式的解題步驟為：①根據實際條件，確定所求數列的類型，并求其首項和公差(或公比)；②利用已知的首項，公差(或公比)的值，分n為奇數和n為偶數討論并求得對應的通項公式；③將上述所得結果合并整理，即得數列的通項公式.

例1已知數列{an}滿足a1=2，an+1+an=4n+3，求數列{an}的通項公式.

分析：首先利用an+1+an=4n+3表示出an+1+an+2=4n+7，確定數列{an}的奇數項、偶數項分別構成公差為4的等差數列，再由此分析n分為奇偶數時的通項公式，即an=2n和an=2n+1，最后整合得數列{an}的通項公式.

解：由題意可得

an+1+an=4n+3 ①

an+1+an+2=4n+7 ②

②-①,可得an+2-an=4.

所以，數列{an}的奇數項和偶數項分別構成公差為4的等差數列，且a2=5.

變式1已知數列{an}滿足a1=1，an+1+an=-4n+1，求數列{an}的通項公式[1].

分析：該變式與例1略微不同，即f(n)=-4n+1，但解題思路仍與例1一致.

解：由題意可得

an+1+an=-4n+1 ③

an+1+an+2=-4n-3 ④

②-①,可得an+2-an=-4.

所以，數列{an}的奇數項和偶數項分別構成公差為-4的等差數列，且a2=-4.

2 f(n)為指數型

當遞推關系an+1+an=f(n)中f(n)為指數型時，求其通項公式可以利用分解變量構造等比數列，將已知的遞推關系an+1+an=f(n)分離變量，得到an+1-k·f(n+1)=-[an-k·f(n)](k為常數)，再利用等比數列{an-k·f(n)}的通項公式求解.利用此方法求解通項公式，解題步驟為：①結合實際問題，將已知式子分離變量得到an+1-k·f(n+1)=-[an-k·f(n)]；②根據上述等式確定等比數列{an-k·f(n)}的通項公式；③利用等比數列{an-k·f(n)}的通項公式求解數列{an}的通項公式.

例2在數列{an}中，a1=1，an+1+an=2n，求數列{an}的通項公式.

解析：令an+1-k·2n+1=-(an-k·2n)，則整理為an+1+an=3k·2n.

3 f(n)為分式型

求解f(n)為分式型的遞推關系an+1+an=f(n)對應的通項公式，裂項并構造是解題的有效手段.裂項并構造，指的是將遞推關系an+1+an=f(n)中的分式f(n)進行裂項，并以此構造數列求解.利用此方法求解數列的通項公式，一般的解題步驟為：①根據實際問題中的f(n)的特點進行裂項，變為g(n)-h(n)的形式；②利用裂項所得的式子構造新數列并求解[2].

解：設Sn為{an}的前n項和.由題意，得

當n=2k(k∈N*)時，

Sn=a1+a2+……+an-1+an

=(a1+a2)+(a3+a4)+……+(an-1+an)

當n=2k+1(k∈N*)時，

Sn=a1+a2+……+an-1+an

=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+……+(an-1+an)

所以，當n=2k時，

當n=2k+1時，

求解an+1+an=f(n)型的數列的通項公式，具體運用哪種方法求解要根據f(n)的形式確定.總之，與an+1+an=f(n)有關的遞推關系中，f(n)涉及的類型主要為本文中所介紹的一次函數型、指數型和分式型，其中一次函數型和指數型都可以利用分組求通項然后合并的方式求解，視實際情況而定.解題時，不僅要掌握形如an+1+an=f(n)求通項公式這一類問題的答題思路，還要做到靈活變通，對不同的遞推公式采取不同的解題策略.