三類抽象函數(shù)常考題型例析

廈門集美中學(xué) 陳習(xí)儉

1 f(x+y)=f(x)+f(y)型

求最值問題是有關(guān)抽象函數(shù)問題常見的一類題型，需要根據(jù)函數(shù)的自身基本特征求解，例如f(x+y)=f(x)+f(y)類型的抽象函數(shù)，可以先構(gòu)建一次函數(shù)(f(x)=kx)進(jìn)行轉(zhuǎn)化：①分析函數(shù)f(x)的原型解析式，以及該函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性等；②利用f(x+y)=f(x)+f(y)等基本特征求解，通過構(gòu)造不等式判斷函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；③具體問題具體分析，結(jié)合所知條件得到所求最值.

例1對(duì)任意的x，y∈R，函數(shù)f(x)均滿足f(x+y)=f(x)+f(y)，并且當(dāng)x<0時(shí)，有f(x)>0,f(1)=-3，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2，3]上的最大值和最小值.

分析:本題是很明顯的一次函數(shù)型抽象函數(shù)問題，其中f(x)的原型是y=-3x.猜想該函數(shù)是實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞減的奇函數(shù)，要求解在區(qū)間[-2，3]上的最值，即分析f(-2)，f(3)的值.

解：根據(jù)題意，得f(0)=0，f(-x)=-f(x)，f(2)=2f(1)=-6，f(3)=3f(1)=-9.

令任意x1

f(x1)-f(x2)

=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)

=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)

=f(x1-x2).

依題意，由x1-x2<0，得f(x1-x2)>0.

即有f(x1)>f(x2).

所以f(x)在區(qū)間[-2，3]上是減函數(shù).

故它的最大值為f(-2)=-f(2)=6，最小值為f(3)=-9.

分析:由于一次函數(shù)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)，可假設(shè)函數(shù)f(x)=-kx，借助已知條件f(1)=-2求出具體函數(shù)解析式，判斷所得解析式是否滿足“當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0”這一條件.最后將所求一次函數(shù)解析式代入命題中的不等式中，求出具體解集，即可判斷命題的真假.

解析：設(shè)函數(shù)f(x)=-kx.

由f(1)=-2，可得k=2.

即f(x)=-2x，且滿足x>0時(shí)，f(x)<0.

代入不等式，可得-6x2+4x<-6x+4.

整理，得6x2-10x+4>0.

故所給命題為真命題.

2 f(xy)=f(x)f(y)型

求自變量的值是抽象函數(shù)問題的另一類常見題型，也需要利用其函數(shù)基本特征求解，例如f(xy)=f(x)f(y)特征類抽象函數(shù)，可以構(gòu)建冪函數(shù)型(f(x)=xn)特征函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，需要遵循以下思路：①猜想具體函數(shù)解析式，根據(jù)題設(shè)信息分析函數(shù)的具體形式，例如f(x)=x-1等；②根據(jù)猜想的函數(shù)形式判斷對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，并利用單調(diào)性解題；③利用函數(shù)基本特征解題，即將f(xy)=f(x)f(y)等基本特征與實(shí)際問題相結(jié)合進(jìn)行求解.

解：根據(jù)題意可知

所以f(x)在區(qū)間(0，+∞)是減函數(shù).

又因?yàn)閒(1)=f2(1)，f(x)>0，所以f(1)=1.

又f(m)f(3)=f(3m)，所以f(3m)=1=f(1).

變式2已知f(x)在(0，+∞)上都有f(x)>0，且滿足f(xy)=f(x)f(y)，f(3)=27，若f(-a2)=-64，則求a的值.

分析:猜測(cè)滿足條件f(xy)=f(x)f(y)的函數(shù)f(x)為冪函數(shù)型，則假設(shè)f(x)=xn，利用該條件與f(3)=27推斷函數(shù)f(x)的解析式，并判斷函數(shù)的奇偶性，然后由f(-a2)=-64，即可得到a的值.

解析：假設(shè)函數(shù)f(x)=xn.

由f(3)=27，可得f(x)=x3.

則有f(-x)=-f(x).

所以f(-a2)=-f(a)f(a)=-64.

因此f(a)=8,故a=2.

3 f(x+y)=f(x)f(y)型

抽象函數(shù)問題常見的還包括證明不等式成立問題，利用其函數(shù)基本特征是求解的常規(guī)手段，例如形如f(x+y)=f(x)f(y)的抽象函數(shù)，可以構(gòu)建指數(shù)函數(shù)型[y=ax(a>0,a≠1)]特征函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化：①確定函數(shù)的解析式，即由題設(shè)信息分析得到函數(shù)的具體形式，例如y=a2等；②判斷函數(shù)的單調(diào)性，即根據(jù)函數(shù)解析式和題設(shè)條件，猜測(cè)函數(shù)在對(duì)應(yīng)定義域內(nèi)的單調(diào)性；③利用函數(shù)基本特征分析求解，即結(jié)合已知條件和函數(shù)的基本特征如f(x+y)=f(x)f(y)，解得所求值.

例3已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x，y∈R，都滿足f(x+y)=f(x)f(y)，且當(dāng)x>0時(shí)，有01.

分析:首先結(jié)合題意得到y(tǒng)=e-x是函數(shù)f(x)的原型，從而猜測(cè)f(x)是減函數(shù)，再利用指數(shù)函數(shù)的基本特征f(x+y)=f(x)f(y)分析，得到01成立.

證明 ：依題意，得f(1)=f(1+0)=f(1)f(0).

又f(1)>0,所以f(0)=1.

所以f(0)=f[x+(-x)]=f(x)f(-x)=1.

當(dāng)x<0時(shí)，則-x>0,0

故f(x)>1.

綜上所述，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)>1.

證明:因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，0

f(x2)f(y2)=f(x2+y2)>f(1).

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，所以

x2+y2<1.

故集合A代表圓面x2+y2<1內(nèi)點(diǎn)的集合.

因?yàn)閒(1)=f(0+1)=f(0)f(1)，且f(1)>0,所以

f(0)=1.

由上述三個(gè)案例及其解題思路可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于有關(guān)抽象函數(shù)問題，首先需要根據(jù)題意構(gòu)建對(duì)應(yīng)函數(shù)類型，然后分析函數(shù)單調(diào)性，再利用對(duì)應(yīng)的基本特征求解.因此一定要仔細(xì)分析題意，并熟悉各類函數(shù)的形式和性質(zhì)，確保求解方向正確.