《義務教育數學課程標準（2022年版）》中“三會”的數學教育意義闡釋

胡吉振 李永桃 陶然

摘 要 《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出了“三會”，即“會用數學的眼光觀察現實世界”“會用數學的思維思考現實世界”“會用數學的語言表達現實世界”。在這“三會”中，“會用數學的眼光觀察現實世界”其實就是會用數學的理論解釋現實世界，在解釋現實世界中要采用數學的思維方式，這就是以數學的思維思考現實世界，數學思維離不開數學語言，采用數學語言表達數學思維的同時也表達了現實世界，可見“三會”是一個有機系統的整體。“三會”的“中心”是“會用數學的眼光觀察現實世界”，這個“中心”可以稱為“一體”，而“會用數學的思維思考現實世界”和“會用數學的語言表達現實世界”是“兩翼”，“三會”就是“一體兩翼”的關系。

關鍵詞 數學的眼光；數學的思維；數學的語言；《義務教育數學課程標準（2022年版）》

中圖分類號 G633.6

文獻標識碼 A

文章編號 2095-5995（2022）10-0048-04

一、問題提出

《義務教育數學課程標準（2022年版）》把“會用數學的眼光觀察現實世界”“會用數學的思維思考現實世界”“會用數學的語言表達現實世界”（下文簡稱“三會”）作為培養學生數學核心素養的指導思想，并用來統領“四基”和“四能”［1］，可見“三會”的重要性是毋庸置疑的。有學者認為“會用數學的眼光觀察世界”是“看”，“會用數學的思維思考世界”是“想”，“會用數學的語言表達世界”是“用”［2］。但筆者認為把“會用數學的眼光觀察世界”理解為“看”太過于簡單。這里的“觀察”不是一般的“看”，而是帶著數學工作者的職業習慣去“看”，“觀察”前面的“眼光”二字也絕不是生物學意義上觀察具體事物的眼光。因此，筆者認為，把“觀察”理解為“解釋”是比較合理的。把“會用數學的思維思考現實世界”理解為“想”也是不妥當的，如此理解，沒有突出數學的本質特征，因為無論什么學科都是需要思考的。“會用數學的語言表達現實世界”如果簡單地理解成“用”，也沒有反映數學的本質特征，而且實際上會用數學語言表達現實世界并不是突出數學的應用，而是把現實世界與數學世界建立對應的聯系，以便更好地用數學的語言來解釋現實世界和滿足數學交流的需要。筆者秉承以迦達默爾哲學詮釋學為代表的后現代主義哲學的思想觀點，嘗試對《義務教育數學課程標準（2022年版）》中的“三會”進行解讀。

二、內涵闡釋

（一）“會用數學的眼光觀察現實世界”的內涵

筆者認為“會用數學的眼光觀察現實世界”中的“眼光”可以解釋為“理論”，“觀察現實世界”可以解釋為“解釋現實世界”，“會用數學的眼光觀察現實世界”就是會用數學的理論解釋現實世界，二者的意思是一樣的，為了簡便起見，在行文上只用其一。一個人雖然長得很美，但是拍照片不上相，其實我們可以用數學的眼光觀察這個問題或解釋這個現象。按照幾何學或代數學相關的維數理論，人是三維立體的，立體的人像投射到平面上——也就是照片上，就變成了二維的圖像，在這個數學變換中會有很多三維的信息沒有反映出來或被扭曲了，這就造成很美的人但是卻不上相，這樣就用數學理論解釋了現實世界存在的問題，這就是“會用數學的理論解釋現實世界”，也就是“三會”中的“會用數學的眼光觀察現實世界”。

有的學者認為小學生所學數學知識有限并且很簡單，讓小學生用數學的理論解釋現實世界，這樣不太合適。事實上，讓小學生養成用數學的眼光觀察現實世界的習慣非常重要：一方面可以讓小學生認識到數學與現實世界的密切聯系，至少讓小學生認識到數學在現實世界中是有用武之地的，這樣小學生才不會以孤立的、靜止的、片面的形而上學的方式學習數學知識，而是用普遍聯系的思想觀點學習數學知識；另一方面也可以培養小學生對數學的興趣，如果不將數學與現實世界聯系在一起，而僅僅給小學生灌輸純粹的數學知識，在沒有現實生活經驗的情況下，小學生對數學可能不會產生興趣。因此，用數學的理論解釋現實世界的習慣應該從小學就開始培養。

（二）“會用數學的思維思考現實世界”的內涵

上文說到“會用數學的眼光觀察現實世界”本質上就是用已經學過的數學理論解釋現實世界，但是解釋的方式是什么？如何解釋現實世界？由于數學已經從現實世界中抽象出來并成為一種理論，這樣只能用抽象的思維方式解釋現實世界，這就是說數學是以抽象的思維方式來思考現實世界的。

抽象的思維方式是認識或解釋現實世界的重要手段。從數學的視角來看，人們運用這種思維方式把現實生活中紛繁復雜的現象世界或事實世界抽象為只剩下數學屬性的理論世界，這個抽象的過程是一個把現實世界數學化的過程，也是把客觀世界主觀內化的過程。用數學理論去解釋紛繁復雜的物質世界，既是對物質世界簡潔而抽象的符號語言表達，也是使這個復雜的現實世界在數學化的同時更加趨于簡潔，而且更能反映現實世界在數學屬性方面的一些本質特征。

用數學的思維思考現實世界時，其中一個重要的結果就是把客觀世界抽象化，這個過程也是一個學習者內化或數學化的過程，外部世界的數學性質在數學學習者的思維方式思考下就反映出來了。在用數學的思維方式思考現實世界的過程中，由于采用抽象的方式建立了現實物質世界和抽象簡潔的數學符號之間的對應關系，這種對應關系可以幫助人們更好地解釋或理解現實世界。還以上面的拍照不上相為例，三維的人投影到二維平面上的時候，其對應的函數關系就是一個具有立體感的人抽象為一個二維的平面照片，這個照片是抽象（投影）過的，可以把人當作客觀世界中的事物，而照片就是通過數學思維——抽象（投影）方式得到的，這里的投影或抽象就體現了數學的思維方式，也體現了一種對應關系。

（三）“會用數學的語言表達現實世界”的內涵

數學知識需要用數學符號語言來表達。僅僅用數學的思維思考現實世界，獲取現實世界的數學知識是不夠的，因為獲取現實世界的數學知識是一種輸入活動，關鍵還是要輸出，這就是說僅僅以數學的思維思考現實世界還不夠，而且以數學的思維思考現實世界也不是目的，解釋現實世界才是目的。要解釋現實世界，就需要把數學知識通過數學符號語言表達出來。要形成數學知識，就要以抽象而簡潔的符號語言為載體進行數學知識的輸出活動，這個活動本身也是一種用抽象而簡潔的數學語言表達數學思維、思考現實世界的過程，也就是說數學的思維必須借助數學語言才能實現。只有把思維的結果和思維過程用抽象而簡潔的語言符號表達出來，才能更好地用數學理論理解或表達現實世界，繼而解釋現實世界。這就顯示了運用抽象而簡潔語言符號表達數學知識和數學思維的重要性。數學的符號語言是表達數學思維最重要的載體，也是解釋現實世界的工具。

數學研究或數學學習是需要交流的。十七、十八世紀歐洲數學家之間的交流促進了數學的發展。帕斯卡與費爾馬通過書信交流數學思想觀點，萊布尼茨和伯努利家族的幾位數學家通過書信交流數學思想觀點，歐拉與拉格朗日、達朗貝爾等數學家之間的數學交流都在一定程度上促進了數學的發展。同樣的，當今中小學生學習數學也是需要交流的。用數學的語言表達現實世界是使現實世界數學化的過程，這就要求中小學生要逐漸學會用數學語言解釋或表達現實世界，并在現實生活中學會用數學語言與他人進行交流。按照哲學詮釋學集大成者伽達默爾的觀點來講，表達或表現真理比真理本身更重要［3］。從這個意義上講，會用數學的語言表達數學知識或表達現實世界對數學交流而言非常重要。

三、關系分析

（一）數學是解釋現實世界的理論

用數學理論解釋現實世界一直是古今中外學者的追求。中國古代社會強調“天圓地方”，這就是用數學理論來解釋現實世界的例證之一。畢達哥拉斯提出“萬物皆數”的觀點，強調的就是用數學理論來解釋現實世界。柏拉圖講“宇宙是上帝按照幾何學的形式設計的”也是用數學理論來解釋現實世界。愛因斯坦用黎曼幾何為理論基礎建立廣義相對論來解釋宇宙。馬克思在《關于費爾巴哈的提綱》中說：“哲學家們只是用不同的方式解釋世界，而問題在于改變世界。”［4］數學在很大程度上是解釋世界的工具，而用數學改變世界可能是間接的——通過自然科學和社會科學領域應用數學，作用于現實世界的時候才可能改變現實世界，但是這不是數學的內容。因此對人類而言，數學主要是解釋世界的。

美學家朱光潛說：“假如你是一位木商，我是一位植物學家，另外一位朋友是畫家，三人同時來看一棵古松。我們三人可以說同時都‘知覺到這一棵樹，可是三人所‘知覺到的卻是三種不同的東西。你脫離不了你的木商的心習，你所知覺到的只是一棵做某事用值幾多錢的木料。我也脫離不了我的植物學家的心習，我所知覺到的只是一棵葉為針狀、果為球狀、四季常青的顯花植物。我們的朋友畫家什么事都不管，只管審美，他所知覺到的只是一棵蒼翠勁拔的古樹。我們三人的反應態度也不一致。”［5］朱先生的這個例子沒有考慮到數學家，如果讓數學家參與，數學家可能會用數學理論來解釋這棵古松的數學性質，這就是受到“三句話不離本行”職業習慣的影響。這就說明了會用數學理論解釋現實世界是重要的。數學工作者喜歡把問題轉化為數學問題來解決。就像笛卡爾強調任何一個現實生活問題都可以轉化為一個數學問題［6］。所以說“三會”中會用數學的理論解釋現實世界才是最重要的，會用數學的思維和會用數學的語言僅僅是用數學解釋現實世界的一種方式。

（二）“三會”發生的同時性

在“三會”中只要用數學的理論解釋現實世界，也會不自覺地運用數學的思維方式思考現實世界，因為數學的理論與數學的思維方式是密切聯系的。數學思維方式不是孤立存在的，而是存在于數學知識之中，是以數學知識為載體的，所以說當用數學的理論解釋現實世界的時候，同樣要具備數學的思維方式，而數學的思維需要抽象而簡潔的符號語言作為工具。這就說明了只要會用數學理論解釋現實世界，數學思維與數學語言作為兩個重要的工具就要運作起來。同樣的，當用數學思維思考現實世界時，思考的過程在一定程度上也是用數學理論解釋現實世界的過程和用數學語言表達現實世界的過程，這就說明了三者是同時運作的關系。

（三）思維與語言的并列關系

表達數學的思維是需要運用抽象而簡潔的數學符號語言的，這就反映了會用數學的思維思考現實世界和會用數學的語言表達現實世界是相關的。人類對思維與語言關系研究的一個共識是：思維與語言是十分密切的關系。一般而言，沒有語言就沒有辦法表達思維，沒有思維就談不上語言表達的方式，甚至表達的內容。思維與語言的這種雞生蛋和蛋生雞的關系也說明了會用數學的思維思考現實世界和會用數學的語言表達現實世界是密切相關的，甚至是和諧統一的。蘇聯心理學家列夫·維果斯基的《思維與語言》就論證了二者的密切關系［7］。“三會”中后“二會”本質上是前“一會”的延伸或派生，只不過一個從思維的角度來闡釋如何用數學的理論更好地解釋現實世界，而另一個從語言的角度來表達如何更好地用數學的理論解釋現實世界。在這里“思維”和“語言”可能就是一個事物的兩個方面，這就像量子力學中的“波粒二象性”一樣，只不過呈現的是兩種不同的現象而已，但是本質只有一個。我們更應該從辯證統一的視角來分析這個問題，用數學的思維方式思考問題不是目的，僅僅是一種手段，同樣用數學的語言表達現實世界也僅僅是一種工具，二者的目的是更好地用數學理論解釋現實世界。

（四）課標中“三會”的關系

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中“三會”出現了很多次，下面我們選擇主要體現“三會”之間關系的內容進行分析。《義務教育數學課程標準（2022年版）》多處強調學生學習數學時“三會”在“四能”中是有先后順序性，例如在《義務教育數學課程標準（2022年版）》中的第72、79、84頁等強調“三會”的順序性。事實上“三會”是沒有先后順序之分的。一般而言，用數學的眼光觀察現實世界不僅可以用于發現問題、提出問題和分析問題，對解決問題同樣是適用的。提出問題本身都是通過數學的抽象思維獲得的，提出問題的過程是需要用數學語言表達和數學思維思考的。這再一次說明了數學語言與思維幾乎是同步的，而且都是圍繞用數學的理論來解釋現實世界這個中心的。發現問題、提出問題、分析問題和解決問題這“四能”都是需要語言表達的，如果語言表達不清晰，說明對某個問題還沒有思考清楚。“四能”都是需要用到數學思維的，并不是僅僅在分析問題的時候用數學思維，而在發現問題、提出問題和解決問題的時候就不需要數學思維了。總之，筆者認為，提出問題、發現問題、分析問題和解決問題的過程自始至終貫穿了“三會”中的每“一會”。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在“教材編寫建議”中強調“三會”的獨立性［8］。其實“三會”的密切聯系性遠遠大于獨立性。小學生的抽象思維還不是太發達，在數學語言上就必須主要借助形象具體的語言；到了中學高年級階段，甚至大學階段，學生的抽象思維有一定程度的發展，其表達現實世界的語言也不再是小學數學中具體形象的語言，而是更為抽象的符號語言。語言與思維關系是很密切的，二者在數學中，當一個發生變化時，另一個也要隨之發生變化的，語言與思維的對應關系也可見一斑。

四、總結

以上筆者對《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出的“三會”進行詮釋，把“會用數學的眼光觀察世界”解釋為“會用數學的理論解釋現實世界”，但是如何用數學的理論解釋現實世界，這就需要用數學的思維思考現實世界和用數學的語言表達現實世界。會用數學的思維思考現實世界和會用數學的語言表達現實世界基本上是同步的。會用數學的語言表達現實世界的過程也就是會用數學的思維方式去思考現實世界的過程。因此，在“三會”中，“會用數學的眼光觀察現實世界”是“三會”的中心或統帥，是“一體”，而會用數學的思維思考現實世界和會用數學的語言表達現實世界是并列的“兩翼”。顯然，“三會”中的“兩翼”是為“一體”這個中心服務的。

有學者可能會說，如果這樣理解“三會”，沒有強調數學廣泛的應用性，而廣泛的應用性是數學在當代社會重要的三個性質（其余的兩個性質是數學的抽象性和嚴謹性）之一。其實“三會”強調了數學與現實世界的聯系，關于應用問題是包含在這“三會”之中的。這就是筆者對2022版數學新課標中“三會”內涵的一種闡釋。

（胡吉振? 李永桃??? 陶然，麗水學院教師教育學院，浙江 麗水，323000）

參考文獻：

［1］ 史寧中.《義務教育數學課程標準（2022年版）》的修訂與核心素養［J］.教師教育學報，2022（3）：92-96.

［2］ 曹希剛，馮輝.基于“三會”的鄉村初中數學情境教學研究［J］.初中數學教與學，2022（8）：9-12.

［3］ 伽達默爾.詮釋學I：真理與方法（修訂譯本）［M］.洪漢鼎，譯.北京：商務印書館，2019：169.

［4］ 馬克思，恩格斯.馬克思恩格斯文集（第一卷）［M］.中共中央馬克思恩格斯列寧斯大林著作編譯局，譯.北京：人民出版社，2009：502.

［5］ 朱光潛.談美·談美書簡［M］.南京：江蘇鳳凰文藝出版社，2019：11.

［6］ 李文林.數學史概論（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2002：139.

［7］ 維果斯基.思維與語言［M］.李維，譯.北京：北京大學出版社，2010：180.

［8］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022：72，79，84，92.