完善“比”的概念定義及其運(yùn)用于教學(xué)

陳士文 周 祥

一、背景、困惑與緣起

除法、分?jǐn)?shù)、比是小學(xué)數(shù)學(xué)中相關(guān)聯(lián)的教學(xué)內(nèi)容，三個(gè)概念接續(xù)出現(xiàn)，低年級(jí)學(xué)習(xí)除法，中年級(jí)了解分?jǐn)?shù)，高年級(jí)接觸到比。教科書中“除法”概念的引入一般是建立在“平均分”的基礎(chǔ)上；“分?jǐn)?shù)”的定義依然是建立在“平均分”的基礎(chǔ)上，并溝通了除法與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系。顯然，分?jǐn)?shù)是因“分”而來、因“除”而得的。分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)，擴(kuò)展了視野，學(xué)生發(fā)現(xiàn)除法的結(jié)果（商）不僅可以是整數(shù)，也可以是有限小數(shù)或無限小數(shù)。從除法到分?jǐn)?shù)，實(shí)質(zhì)是從整數(shù)系到有理數(shù)系的擴(kuò)展。

教材中“比”是這樣定義和規(guī)定的：兩個(gè)數(shù)相除又可以叫做兩個(gè)數(shù)的比，比的前項(xiàng)除以比的后項(xiàng)得到的商叫做比值，兩個(gè)數(shù)的比可以寫成分?jǐn)?shù)形式。在溝通比與分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系時(shí)，教科書及參考書中出現(xiàn)字母表達(dá)式和圖表：

既如此，“比”就是“除”，“商”叫做“比值”，“比”又可以寫成“分?jǐn)?shù)”形式，比與除法、分?jǐn)?shù)的不同又在哪里呢？教材中似乎過于強(qiáng)調(diào)了除法、分?jǐn)?shù)、比三者之間的聯(lián)系，卻淡化了三者之間的區(qū)別。筆者思考應(yīng)該有所區(qū)別，并在區(qū)別中體現(xiàn)發(fā)展。低年級(jí)學(xué)習(xí)除法；中年級(jí)掌握分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)擴(kuò)展了學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)與數(shù)的運(yùn)算；高年級(jí)接觸到比了，比的出現(xiàn)帶來認(rèn)知的擴(kuò)展與提升嗎？如沒有，又何必多此一“比”呢？即便有此一“比”，又如何解釋下面的問題。

問題一：足球比賽，甲、乙兩隊(duì)的比分是0∶3，這是數(shù)學(xué)中的比嗎？而乙、甲兩隊(duì)的比分則是3∶0，這是數(shù)學(xué)中的比嗎？因?yàn)楸鹊暮箜?xiàng)不能為零，前一個(gè)0∶3是比，后一個(gè)3∶0就不是比？難道數(shù)學(xué)的可逆性就這么脆弱？

問題二：教材中有“混凝土中水泥、黃沙、石子的比是2∶3∶5”的表述，請(qǐng)問2∶3∶5是不是比？比不是表示兩個(gè)數(shù)相除嗎？教材是不是自相矛盾？連比又怎么理解？

問題三：甲、乙兩數(shù)分別是-2和5，甲、乙兩數(shù)的比值是-0.4；如果甲、乙兩數(shù)分別是2和-5，甲、乙兩數(shù)的比值還是-0.4。或如，甲、乙兩數(shù)分別是-2和2，甲、乙兩數(shù)的比值是-1，乙、甲兩數(shù)的比值也是-1。不一樣的數(shù)或不一樣的比序，比值卻是一樣的，此處的比值還有意義嗎？是不是有比就一定要給出比值呢？“比值”比“商”高明在哪里呢？

二、完善“比”的定義

顯然，上述三個(gè)問題觸及到比的定義，我們不禁要問：比是否可以突破兩個(gè)數(shù)相除？

比值有沒有比商更大的包容性？比在分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上有發(fā)展嗎？如何定義“比”的概念？數(shù)學(xué)教育專家史寧中和娜仁格日樂認(rèn)為：比是兩個(gè)數(shù)量倍數(shù)關(guān)系的表達(dá)或者度量。除法是一種運(yùn)算，是一種在解決問題過程中使用的計(jì)算方法。因此，不能把比理解為除法。

雖然可以用分?jǐn)?shù)表示比，但在本質(zhì)上分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)并且是一個(gè)無量綱的數(shù)，而比是一種表達(dá)或者度量，可以是有量綱的。因此，用分?jǐn)?shù)形式表示的是比的大小、而不是比本身。所以，也不能把比理解為分?jǐn)?shù)……在一般意義上比可以是無理數(shù)。［1］

這里，學(xué)者完善了“比”的定義：比是兩個(gè)數(shù)量倍數(shù)關(guān)系的表達(dá)或者度量。筆者理解盡管比依然局限在兩個(gè)數(shù)量，但比的“表達(dá)”超越了“除法”，比的“度量”結(jié)果已從分?jǐn)?shù)值的有理數(shù)范圍擴(kuò)展到實(shí)數(shù)范圍；比的定義已在除法和分?jǐn)?shù)關(guān)聯(lián)的基礎(chǔ)上有所發(fā)展，這種關(guān)聯(lián)和發(fā)展還需要進(jìn)一步通過課堂教學(xué)的實(shí)踐來驗(yàn)證和“臻于至善”。鑒于此，筆者分別從比是什么、為什么、怎么用三個(gè)方面設(shè)計(jì)教學(xué)板塊，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)比的概念。

三、在教學(xué)實(shí)踐中檢驗(yàn)認(rèn)知

第一板塊：什么是比？

師：這兒有2杯果汁和3杯牛奶，請(qǐng)用一句話表達(dá)它們之間的關(guān)系。

生1：果汁和牛奶一共是5杯。

生2：牛奶比果汁多1杯。

師：剛才同學(xué)們從加、減、除的角度表達(dá)了果汁和牛奶杯數(shù)之間的關(guān)系，并說出了和、差、商。

師：我們還可以這樣表達(dá)，果汁與牛奶的杯數(shù)比是2比3，牛奶與果汁的杯數(shù)比是3比2。

師：比是數(shù)量間一種關(guān)系的表達(dá)。

出示如下表格：

體重（千克） 身高（厘米）小紅 30 80小明 40 100

師：根據(jù)表格中的信息，你能說出比嗎？

生1：小紅與小明的體重比是30∶40，身高比是80∶100。

生2：小紅的體重與身高的比是30∶80。

生3：小明的體重與身高的比是40∶100。

師：從體型上看，你覺得誰胖一些？為什么？

生4：我認(rèn)為小明顯得胖一些。因?yàn)樾〖t的體重與身高的比是30∶80，比值是0.375，小明的體重與身高的比是40∶100，比值是0.4。

師：借用除法的思路求出比值，我們發(fā)現(xiàn)比還是數(shù)量間的一種衡量。

第二板塊：為什么學(xué)比？

師：你能很簡(jiǎn)明地表達(dá)數(shù)量之間的關(guān)系嗎？

師：7克糖和100克水配成一杯糖水。

生2：糖和水的比是7∶100，水和糖的比是100∶7。

師：23克咖啡粉和100克水配成一杯咖啡。

生3：咖啡粉和水的和是123。

生4：咖啡粉和水的比是23∶100，水和咖啡粉的比是100∶23。

師：同學(xué)們從和、差、商的角度簡(jiǎn)明地表達(dá)出它們之間的關(guān)系了。如果是7克糖、23克咖啡粉和100克水配成一杯加糖咖啡呢？

生6：糖、咖啡粉和水的比是7∶23∶100。

師：你為什么不用除法、分?jǐn)?shù)來表示數(shù)量間的關(guān)系，反而會(huì)選擇比呢？

生7：用比表示多種數(shù)量之間的關(guān)系更簡(jiǎn)便。

師：人們創(chuàng)造出的“比”更簡(jiǎn)明方便、更具優(yōu)越性，知識(shí)就是這樣發(fā)展的。

教師介紹黃金比0.618、圓周率等。

師：比中有“美”，“美”中有“數(shù)”，我們用比去創(chuàng)造美。

師：圓周長(zhǎng)與直徑的比值是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)。學(xué)習(xí)比，我們遇到了新的數(shù)。

第三板塊：怎樣用比？

師：根據(jù)下面的信息，你能說出哪些比？

師：甲÷乙 = 4。

生1：甲與乙的比是4∶1，乙與甲的比是1∶4。

師：我們根據(jù)除法算式可以說出比。

生2：修好的與全長(zhǎng)的比是2∶5。

生3：未修的與全長(zhǎng)的比是3∶5。

生4：修好的與未修的比是2∶3。

師：我們從分?jǐn)?shù)中發(fā)現(xiàn)了不同的比。

師：蛋糕中的水果、奶油、面粉和糖的比是2∶3∶7∶1。

生5：蛋糕中的水果和奶油的比是 2∶3。

生6：蛋糕中的奶油和面粉的比是 3∶7。

生7：蛋糕中的面粉和糖的比是7∶1。

生8：蛋糕中的水果和蛋糕總量的比是 2∶13。

師：我們可以從多種數(shù)量之間的比中找出其中任意數(shù)量間的比。

師：比可以從不同的角度表示信息。從除法到分?jǐn)?shù)，再到比，知識(shí)是不斷發(fā)展的。

師：我們用4克糖和100克水配成糖水。如果要再配同樣甜度的糖水，怎么辦？

生：用2克糖和50克水配成糖水。

生：用1克糖和25克水配成糖水。

生：用8克糖和200克水配成糖水。

師：4+100 = 104，3+101 = 104，我們用3克糖和101克水配成糖水，行嗎？

師：100-4=96，101-5 = 96，我們用 5克糖和101克水配成糖水，行嗎？

三個(gè)板塊、六個(gè)片段緊緊圍繞比的概念核心，在是什么、為什么、怎么用的思辨中初步完成了比的知識(shí)構(gòu)建。

以上只是比的第一課時(shí)的教學(xué)，只是小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的嘗試性探索，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中需要進(jìn)一步感悟比的意義，引導(dǎo)學(xué)生生長(zhǎng)新的關(guān)于“比”的想法，而不是停留在概念和符號(hào)的疊加上。正如高斯所說：“我們需要的是想法，而不是符號(hào)。”