巧處理“閱讀與思考”環(huán)節(jié) 真落實文化育人功能*
——以“勾股定理”教學為例

?安徽省淮北市淮北師范大學數(shù)學科學學院 雷紅艷

?安徽省合肥市合肥師范學院附屬西安路學校 喻 悅

《義務教育數(shù)學課程標準(2022版)》(簡稱課標)在2022年4月22日正式頒布，課標指出：“在教材內容編寫時，要注重教材創(chuàng)新，就要拓展視野，如教材中介紹數(shù)學文化、數(shù)學發(fā)展前沿等，內容設計要反映數(shù)學在自然與社會中的應用，展現(xiàn)數(shù)學發(fā)展史中偉大數(shù)學家，特別是中國古代與現(xiàn)代著名數(shù)學家，以及他們的數(shù)學成果在人類文明發(fā)展中的作用，增強學生的愛國情懷和民族自豪感”[1].為此，“閱讀與思考”等成為各版本教材不可或缺的欄目.

在實際教學過程中，“閱讀與思考”等類似欄目的設置初衷并沒有得到有效落實，主要原因包括不少教師忽視欄目價值、缺少應用指導等.為有效落實數(shù)學文化的育人功能，本文中以人教版“勾股定理”教學設計為例，分析了HPM視角下“閱讀與思考”在情境創(chuàng)設、新知探究、新知應用和課后拓展等不同環(huán)節(jié)的四種處理方式.

1 人教版教材中“閱讀與思考”的統(tǒng)計分析

“閱讀與思考”欄目是人教版初中數(shù)學教材凸顯數(shù)學文化育人的特色欄目.筆者對人教版教材涉及到數(shù)學史素材的“閱讀與思考”進行了統(tǒng)計:共26個“ 閱讀與思考”欄目，涉及數(shù)學史素材的有12個，占比將近一半.數(shù)與代數(shù)中包括：從算術發(fā)展到代數(shù)歷史；《九章算術》中的“正負術”；方程的起源與發(fā)展；《九章算術》比例算法；引發(fā)第一次數(shù)學危機；《九章算術》中的“方程術”；勾股定理的三種證明方法；托勒密《天文學大成》.圖形與幾何中包括：幾何學的起源；金字塔《畫法幾何》；《周脾算經(jīng)》徑一周三、劉徽“割圓術”.

這表明，作為落實數(shù)學文化綜合育人價值的重要載體，數(shù)學史素材是“閱讀與思考”欄目的重要組成內容.這些素材是教材編寫者集體智慧的結晶.教師不應輕易脫離教材去重新選擇其他素材，應深入研究這些素材，以達到綜合育人的價值與實現(xiàn)途徑.對此欄目教師可以有效改進教學，激發(fā)學生的學習興趣，感受古人智慧的魅力，養(yǎng)成民族自豪感.

2 HPM視角下的四種處理方式

汪曉勤[2]提出了將數(shù)學史融入數(shù)學教學的四種方式——附加式、復制式、順應式和重構式.

“勾股定理”位于人教版八年級下冊第17章，包含“勾股定理的證明”“費馬大定理”兩個“閱讀與思考”欄目.在上述四種處理方式的指導下，以“勾股定理”教學為例，本文中分別展現(xiàn)“勾股定理的證明”在情境創(chuàng)設、新知探究、新知應用和課后拓展等教學環(huán)節(jié)的四種創(chuàng)新應用.

2.1 附加式——巧用數(shù)學故事，創(chuàng)設問題情境

“情境創(chuàng)設”是數(shù)學教學的起始環(huán)節(jié).適當?shù)那榫呈?以數(shù)學故事、歷史事件、生活情境等)導入，學生更能投入到問題情境中，為新知探究做好鋪墊.但是，對于問題情境的有效創(chuàng)設，不少教師出現(xiàn)平鋪直敘和一味追求創(chuàng)新性兩種極端，導致情境與學生認知、興趣并不匹配，反而令教學效果大打折扣.在教學實踐中，合適的數(shù)學故事蘊含豐富的數(shù)學文化信息，有利于學生更好地體會故事中的數(shù)學知識內涵，升華學生的情感態(tài)度以及價值觀念.

在“勾股定理”教學伊始，教師可將“勾股定理的證明”加工成蘊含豐富中國元素的數(shù)學故事，創(chuàng)設問題情境，激發(fā)學生對數(shù)學歷史故事的興趣并引發(fā)數(shù)學思考.

師：若未來技術可以實現(xiàn)黑洞穿越，我們回到西周開國時期的朝堂上，同學們可以聽到周公與商高討論勾股測量的對話.來看一段據(jù)《周髀算經(jīng)》記載的對話視頻.展示視頻內容[3](以動畫展示)：

(周公知商高精通數(shù)學，謙虛詢問其如何測定“日高”和“地寬” ，商高答道：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一.故折矩，以為句 (同勾)廣三，股修四，徑隅五.既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五.兩矩共長二十有五，是謂積矩”.)展示故事中的“勾廣三，股修四，徑隅五”的圖形(圖1、圖2和圖3).

圖1 既方之

圖2 外半其一炬

圖3 環(huán)而共盤

師：同學們，視頻中有哪些數(shù)學知識點呢？

生1：在測量“日高”時，提到句 (同勾)廣三，股修四，徑隅五，這是刻畫某個圖形的關系量.

師：生1提到的視頻中的勾廣三，股修四，徑隅五，其實，這是我們今天要學習的新知識——勾股定理.什么是勾股定理呢？又如何證明它呢？

全班學生陷入了思考……

設計意圖：首先，教師以情境導入數(shù)學故事，并用多媒體展示其內容，從教學起始就抓住學生的感知，激發(fā)學生的學習興趣，啟發(fā)學生進一步思考.其次，以問題驅動的形式“提取”視頻中的關鍵內容，精準定位學生要學習的目標與任務.

2.2 重構式——巧設驅動問題，引導新知探究

“探究新知”是數(shù)學教學的核心環(huán)節(jié).一個好的探究過程是學生高效掌握知識、實現(xiàn)深度學習的基本保障.探究過程的科學設計，既需要分析教材與學情，注重數(shù)學知識的邏輯線與學生的認知線的統(tǒng)一，還需要注意認知負荷理論的運用，不能給與學生過多的額外認知負擔.

圖4

在“勾股定理證明”的教學過程中，證明思路的自然獲得是教學難點，不少教師選擇趙爽弦圖(圖 4).該方法涉及到的基本圖形數(shù)量、拼圖情況都較多，給學生的探究與發(fā)現(xiàn)帶來較大困難.以人教版“閱讀與思考”中勾股定理的第三種證明方法——美國第20任總統(tǒng)詹姆斯·加菲爾德的證法為素材，筆者對其進行重構，改進了傳統(tǒng)的探究過程.

圖5 拼接圖

師：同學們，你們能用手中的兩個全等三角形來證明剛剛的猜想嗎？

(學生利用課前準備的兩個相同的直角三角形分組嘗試不同的拼接方法，得到如圖5所示的圖形.)

師追問：圖5中的白色三角形的面積與兩個陰影直角三角形的面積之和之間有什么關系[3]？

生2：我認為白色三角形的面積等于兩個陰影直角三角形的面積之和.(其他學生肯定生2的回答.)

師：為什么呢？

師：生3詳細地展示了證明過程，但最后的結果并不是面積相等，而是得到了c2=a2+b2，即直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，即得到并證明了勾股定理.

設計意圖：課前讓學生準備教具(2個相同的直角三角形)，引發(fā)學生探究數(shù)學內容的積極性和好奇心.利用兩個相同三角形拼接的方法，既符合數(shù)學實驗教學模式，還降低了學生的認知負擔，提高了教學效益.同時，學生經(jīng)歷了完整的“問題—猜想—證明”的過程，有效提升了合情推理與演繹推理素養(yǎng).

2.3 順應式——巧設活動支架，體會數(shù)學精神

“新知應用”是促進學生對新知的深入理解和檢驗學生掌握知識的重要環(huán)節(jié).例題和練習題的有效設置與變式是傳統(tǒng)教學的優(yōu)勢.在這里，緊跟“新知探究”環(huán)節(jié)，可以繼續(xù)運用數(shù)學史素材，在新知應用中融入數(shù)學故事，讓學生親身體會數(shù)學故事所蘊含的精神.

師：剛才已經(jīng)證明了勾股定理.如果已知一個直角三角形的兩條直角邊長分別為7 cm和12 cm，那么斜邊的長度是多少？(題目較簡單，多數(shù)同學可知.)

圖6

師：接下來，請同學們思考如下問題.三個邊長分別為a，b，c的正方形，拼接為如右圖6所示的圖形，其中∠C=90°.連接BF，CD，過點C作CL⊥DE，交AB于點M，交DE于點L，連接CL.證明正方形ADEB的面積等于正方形AFHC與正方形BIGC的面積之和.

全班學生再次陷入深思……

題目難度稍大，學生不能直接想到解題思路.教師適時引導學生觀察圖中三個正方形的位置和數(shù)量關系，尋找合適的支架，將上面兩個正方形和下面的正方形進行聯(lián)結，思考是否可以利用三角形的性質來研究正方形的性質.

學生分組討論之后，派代表回答，由此證明了結論a2+b2=c2，得出勾股定理.

設計意圖：勾股定理的發(fā)現(xiàn)導致無理數(shù)的誕生，產(chǎn)生了第一次數(shù)學危機,《幾何原本》記載了西方畢達哥拉斯對勾股定理的證明.利用數(shù)學史中有趣且真實的數(shù)學故事，融入新知應用的課堂中，學生更能從中領會數(shù)學精神，感受教學背后的數(shù)學史價值.同時，由易到難、層層推進的練習，使學生能熟練掌握新知，激發(fā)起學生更高知識水平的求知欲.

2.4 復制式——巧設拓展項目，提升文化修養(yǎng)

“課后拓展”是檢驗教師教學效果、拓展學生核心素養(yǎng)的重要途徑.從古至今，勾股定理不僅應用廣泛，最重要的是它貼近人們的實際生活，因此對它的證明從未停止探索.新的證法不斷出現(xiàn)，其證明方法至今已有500余種.由此，教師可拓展課后學習項目，布置拓展項目作業(yè)：查閱相關資料，探究勾股定理的證明方法(至少兩種).通過在教室設置“勾股定理展覽區(qū)”、勾股定理證明方法微視頻或PPT、講故事等方式進行展示匯報.

設計意圖:通過拓展項目作業(yè)的完成過程，學生可以跨越時空，與古代數(shù)學家隔空“對話”，從中感受數(shù)學史帶來的文化沖擊，激發(fā)數(shù)學學習興趣，了解數(shù)學史背后蘊含的價值，培養(yǎng)良好的資料檢索、表達交流等能力.

3 結語

著名數(shù)學史家李文林[4]曾提出“為教育而歷史”.數(shù)學史融入數(shù)學教育，具有深刻的教育價值.基于教材“閱讀與思考”中的“勾股定理”一節(jié)內容，以數(shù)學史作為輔助教學工具，形象展示了數(shù)學知識形成的背景以及發(fā)展過程.筆者以“勾股定理”中融入數(shù)學史的四種方式，巧妙地處理“閱讀與思考”環(huán)節(jié)并進行教學設計，激發(fā)學生的學習興趣和探究新知的好奇心、體會數(shù)學精神、提升數(shù)學修養(yǎng)，真正地落實數(shù)學文化育人功能；同時，還可提高教師的數(shù)學素養(yǎng)，其內在專業(yè)知識結構也能不斷得到更新和豐富；對數(shù)學課程也具有一定的實用價值，一些優(yōu)秀案例可為數(shù)學課程增添教學素材，實現(xiàn)其教學價值.一線教師切不可忽視教材中的“閱讀與思考”欄目，合理運用并將其中的數(shù)學史融入教學中，是當代教師課堂教學研究的重中之重.