靈活運(yùn)用判別式巧解題

?江蘇省鹽城市亭湖初級(jí)中學(xué) 孫 東

“解一元二次方程”是人教版九年級(jí)上冊(cè)第二十一章第二節(jié)的教學(xué)內(nèi)容.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生掌握了解一元二次方程最基本的三種方法，其中公式法中常用到的判別式Δ=b2-4ac的意義和作用十分重大.判別式不僅能夠判斷一元二次方程是否有解，更重要的是，利用判別式解題是一種便捷、實(shí)用的方法，靈活運(yùn)用判別式能夠解決代數(shù)式變形、解方程、解(證明)不等式、解三角等許多問題.

下面通過典型例題說明靈活運(yùn)用判別式解題的方法與技巧.

1 構(gòu)造方程巧證明

對(duì)于含有字母類較復(fù)雜的代數(shù)恒等式證明題，當(dāng)直接證明有困難時(shí)，可以巧妙地運(yùn)用判別式，通過構(gòu)造法將其變形為一元二次方程的形式，用代入或代換的方法完成證明.

例1已知a，b，c均為實(shí)數(shù)，且a-b=8，ab+c2+16=0.求證：a+b+c=0.

證法1：已知a-b=8，則a=b+8，所以有

(b+8)b+c2+16=0.

即(b+4)2+c2=0.

解得b=-4，c=0，a=4，所以a+b+c=0.

證法2：由于a+(-b)=8，a·(-b)=c2+16，因此以a，-b為根的一元二次方程是

x2-8x+c2+16=0.

①

由a，b，c均為實(shí)數(shù)，知其判別式

Δ=(-8)2-4(c2+16)≥0.

則4c2≤0，即c=0.從而方程①為x2-8x+16=0，故a=4，b=-4.所以a+b+c=0.

方法與技巧:證法1采用的是代入法；證法2把題設(shè)改寫成a+(-b)=8，a·(-b)=c2+16，把a(bǔ)，-b看成了一個(gè)一元二次方程的根，構(gòu)造一個(gè)一元二次方程，靈活運(yùn)用判別式法，更富有技巧性.

2 變形巧解方程組

判別式本來是適用于只含有一個(gè)未知數(shù)的一元二次方程，對(duì)含有兩個(gè)以上未知數(shù)的方程組似乎無能為力；但是我們?nèi)绻麚Q個(gè)視角，把方程組看作或變形為只含有一個(gè)未知數(shù)的一元二次方程，也可運(yùn)用判別式法求解.

②

把②的x，y看作是一個(gè)關(guān)于m的一元二次方程的兩個(gè)根，得新方程m2-2m+1+z2=0，則Δ=(-2)2-4(1+z2)=-4z2≥0，即z=0.

將z=0代入②，得x=y=1.

所以原方程組的實(shí)數(shù)解為x=1，y=1，z=0.

方法與技巧：本題是一個(gè)含有三個(gè)未知數(shù)的方程組，用常規(guī)的方法求解比較困難，但是通過觀察發(fā)現(xiàn)方程組中有x+y與xy的特殊形式，于是設(shè)法將其變形為一個(gè)新的一元二次方程，然后用判別式法巧妙求解.

3 活用整除巧求值

對(duì)某些復(fù)雜的需要解方程的求值類問題，可以根據(jù)“判別式是完全平方數(shù)”，將其形式轉(zhuǎn)化為不定方程后，再靈活應(yīng)用整除的理論來求解.

例3設(shè)m是不為零的整數(shù)，關(guān)于x的二次方程mx2-(m-1)·x+m=0有有理根，求m的值.

解：Δ=(m-1)2-4m=m2-6m+1.

因?yàn)榉匠逃杏欣砀詍2-6m+1是完全平方數(shù).設(shè)k是非負(fù)整數(shù),且

m2-6m+1=k2.

③

則(m-3)2-8=k2，即(m-3)2-k2=8，于是

(m-3+k)(m-3-k)=8.

④

因?yàn)閙-3+k，m-3-k是整數(shù)，且m-3+k≥m-3-k，所以它們可以取得的數(shù)值對(duì)應(yīng)如下：

m-3+k84-1-2m-3-k12-8-4

.

將m-3+k與m-3-k相加，并考慮到m-3也是整數(shù)，且m≠0，可得m=6.

方法與技巧:解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)“判別式是完全平方數(shù)”，列出如同③式這樣含有多個(gè)未知數(shù)的不定方程，再把它轉(zhuǎn)化成④式這樣的特殊乘積形式“(……)×(……)=整數(shù)”，再應(yīng)用整除理論巧妙獲解.

4 巧變函數(shù)為方程

如果令二次函數(shù)的解析式為0，就能將二次函數(shù)的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的問題，就能用判別式法求解了.

例4對(duì)任意實(shí)數(shù)x，二次三項(xiàng)式2kx2-4x+k-1的值皆為正，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

解：設(shè)y=2kx2-4x+k-1.因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)x，函數(shù)值y皆大于0，所以相應(yīng)二次函數(shù)的圖象在x軸上方開口向上，且方程2kx2-4x+k-1=0無實(shí)根.則有

解得k>2.

方法與技巧:將二次三項(xiàng)式中的x看作變量，即可得到二次函數(shù)y=ax2+bx+c，且y>0.利用二次函數(shù)圖象性質(zhì)，即圖象與x軸無交點(diǎn)，得到相應(yīng)的判別式小于0，從而順利求得k的取值范圍.

5 巧解三角形

在解三角形問題中，可根據(jù)三角形的性質(zhì)和邊角關(guān)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為解一元二次方程的問題[1]，靈活運(yùn)用判別式解決問題.

例5△ABC中，∠B=60°，且∠B所對(duì)的邊b=1，求其余兩邊和的最大值.

解法1：令y=a+c，x=c.

在△ABC中，由余弦定理，得

AC2=AB2+BC2-2·AB·BC·cosB.

即12=x2+(y-x)2-2x(y-x)cos 60°.

化簡整理，得3x2-3y·x+(y2-1)=0.

因?yàn)閤是實(shí)數(shù)，所以Δ=(-3y)2-12(y2-1)≥0.

又因?yàn)閥>0，所以0

故a+c的最大值為2.

圖1

解法2：如圖1，作AD⊥BC于點(diǎn)D，設(shè)AB=c，BC=a，BD=x.

所以

12x2-6xy+(y2-1)=0.

因?yàn)閤是實(shí)數(shù)，所以Δ=(-6y)2-48(y2-1)≥0，即y2≤4，故|y|≤2.因?yàn)閥>0，所以0

故0

方法與技巧:通過觀察我們發(fā)現(xiàn)，題目涉及到三角形的兩邊和夾角，所以解法1由余弦定理即可求出與a+c有關(guān)的函數(shù)解析式，最后運(yùn)用判別式即可求出最大值；解法2作出BC邊上的高，通過解兩個(gè)直角三角形，得出與AB+BC有關(guān)的函數(shù)解析式進(jìn)而解決問題.

從上述各例的技巧分析中可以看出，靈活運(yùn)用判別式“五巧法”能夠化繁為簡，快捷地解決多種數(shù)學(xué)問題，具有極大的優(yōu)越性與實(shí)用性.在教學(xué)中要適當(dāng)拓展、訓(xùn)練這些方法與技巧，提高學(xué)生的綜合解題能力.