對(duì)幾道經(jīng)典幾何題輔助線生成的新思考

?上海市嶺南中學(xué) 劉華為

不少經(jīng)典幾何題都有較強(qiáng)的生命力，是課堂教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生演繹推理能力的例題常青樹，深得廣大同仁的偏愛．不過，其中有些題輔助線的生成常常被錯(cuò)誤解讀成模型化硬性操作，只是讓學(xué)生生搬硬套，卻忽略了從教“怎樣想”的角度引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，從而使得教學(xué)價(jià)值打了折扣．下面筆者隨意采擷四例，并從“怎么想到這樣做”解讀輔助線生成的必然性，以期拋磚引玉．

1 例題分析

1.1 輔助線的生成是圖形變換嗎？

例1在Rt△ABC中，∠C=90°，D為AB的中點(diǎn)，DE⊥DF，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AC，BC上．

求證：AE2+BF2=EF2．

圖1

本題是一道經(jīng)典的幾何題，如圖1，常規(guī)思路強(qiáng)調(diào)由D為AB的中點(diǎn)想到把△BDF旋轉(zhuǎn)180°至△ADG的位置，則∠CAG=∠CAB+∠GAD=∠CAB+∠B=90°．連接EG，由“邊角邊”(DG=DF，∠EDG=∠EDF=90°和DE=DE)易證△EDG≌△EDF，得EG=EF，所以AE2+BF2=AE2+AG2=EG2=EF2．

當(dāng)然，也有學(xué)生從倍長中線角度分析，強(qiáng)調(diào)由D為AB的中點(diǎn)想到延長FD至點(diǎn)G，連接AG和EG后仿上也可證得．

顯然，上述兩種解題思路都是指令性的，即看到中點(diǎn)就應(yīng)該怎么操作，至于為什么這樣添輔助線卻沒有作深入剖析，不利于學(xué)生邏輯推理能力的形成與發(fā)展．其實(shí)，若借助“知識(shí)溯源式目標(biāo)分析法”，從要證結(jié)論入手，不僅能闡明輔助線生成的必然性，還能引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)“怎樣想”，進(jìn)而提升他們分析問題的能力．

所謂“知識(shí)溯源式目標(biāo)分析法”就是由要證結(jié)論AE2+BF2=EF2(目標(biāo))出發(fā)，追溯達(dá)成目標(biāo)的相關(guān)知識(shí)源．而由目標(biāo)的結(jié)構(gòu)特征易想到該知識(shí)源就是勾股定理，可惜AE，BF和EF不在同一個(gè)直角三角形中，需等量轉(zhuǎn)化或重新構(gòu)造直角三角形．因?yàn)锳E是所構(gòu)造的直角三角形的直角邊，所以想到過A點(diǎn)作AG⊥AE，且截取AG=BF，則問題轉(zhuǎn)化為證明EG=EF，即證明△EDG≌△EDF．考慮到∠EDF=90°和∠ADE+∠BDF=90°，所以想到證明∠ADG=∠BDF且DG=DF，即△ADG≌△BDF．由∠CAB+∠B=∠CAB+∠GAD=90°，可知∠GAD=∠B，依據(jù)“邊角邊”定理易知△ADG≌△BDF，問題得證．

由此可見，以AE，BF和EF為邊構(gòu)造直角三角形才是圖1輔助線自然生成的本源，是通性通法.因?yàn)轫樠哟怂悸罚沓隼?的輔助線就順理成章了．

圖2

例2在四邊形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD．

求證：AB2+BC2=BD2．

類比例1易想到需構(gòu)造以AB，BC和BD為邊的直角三角形.如圖2，過點(diǎn)B作BE⊥AB，且使BE=BC，則問題轉(zhuǎn)化為證明AE=BD，而從兩線段的位置特征想到，適合用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等來證明．為此需連接AC與CE，易證△ACD與△BCE均為等邊三角形，得CD=CA，CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，進(jìn)而得∠DCB=∠ACE，故△DCB≌△ACE，問題得證．

事實(shí)上，對(duì)圖2輔助線的生成原本都是從旋轉(zhuǎn)角度加以解讀，即由等邊三角形ACD聯(lián)想到把△BCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ACE，然后再證明△ABE為直角三角形．當(dāng)然此輔助線的作法也有一定的合理性，意在通過等量變換把三條線段轉(zhuǎn)化到同一三角形中，不過是一種試探性操作，難免有記憶性的模式化操作之嫌，沒有從輔助線生成本源上引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)“怎樣想”，對(duì)思維能力的形成與發(fā)展意義不大．

總之，根據(jù)倍長(構(gòu)造中心對(duì)稱圖形)和旋轉(zhuǎn)添加輔助線只是手段，是技巧，而構(gòu)造直角三角形才是終極目標(biāo)，是通性通法．

1.2 輔助線的生成是拼圖嗎？

圖3

類似地，關(guān)于三角形中位線定理證明的輔助線生成，一般都是通過沿三角形中位線把原三角形剪開再拼成平行四邊形，從而啟發(fā)學(xué)生添出如圖3所示的輔助線．顯然這種鋪墊式添加輔助線的處理方式有牽著學(xué)生走之嫌(但也符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和認(rèn)知規(guī)律)，而借助“知識(shí)溯源式目標(biāo)分析法”分析，不僅可挖掘輔助線生成的本源，還能引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)“怎樣想”，從而完善思維方式．

若從證明目標(biāo)DE∥BC出發(fā)，追溯之前學(xué)過的與證明兩線平行有關(guān)的知識(shí)源主要有“平行線的判定定理”“平行于同一條直線的兩條直線平行(傳遞性)”“平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線平行” 和“平行四邊形對(duì)邊平行”.雖然從圖形特征易想到運(yùn)用知識(shí)源“同位角相等(或同旁內(nèi)角互補(bǔ))兩直線平行”的判定定理，可惜要證明∠ADE=∠ABC需用到還未學(xué)習(xí)的定理“相似三角形對(duì)應(yīng)角相等”，且又缺少第三條平行線與垂線，所以只好選擇知識(shí)源“平行四邊形對(duì)邊平行”加以證明，即過點(diǎn)C作CF∥AB，交DE的延長線于點(diǎn)F(證明略)．

由此可見，構(gòu)造平行四邊形才是證明三角形中位線定理輔助線生成的本源，是通性通法，而拼圖只是手段．

1.3 輔助線的生成是作高嗎？

圖4

例3如圖4，在銳角三角形ABC中，BE，CF是邊AC，AB上的高，在射線BE，CF上，分別截取BQ=AC，CP=BA．再過點(diǎn)P，Q分別作PM⊥BC，QN⊥BC，垂足分別為M，N．

求證：PM+QN=BC．

圖5

本題的輔助線是過點(diǎn)A作AG⊥BC，垂足為G，如圖5，然后分別證明△ABG≌△CPM，△ACG≌△BQN，得BG=PM，CG=QN．至于怎么想到這樣作輔助線的，一般解讀為由高BE與CF想到作△ABC的第三條高AG(或由垂直比較多的情況下想到作垂線)．這種解釋難免牽強(qiáng)，若從要證目標(biāo)著手分析，則由三條線段間的數(shù)量關(guān)系想到通性通法——“截長”與“補(bǔ)短”．

若采用“截長”，不妨在邊BC上截取BG=PM，則問題轉(zhuǎn)化為證明CG=QN.而由這兩條線段的位置關(guān)系易聯(lián)想到連接AG，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等加以證明．顯然△BQN與△ACG已經(jīng)滿足BQ=AC和∠Q=∠ACG(∠Q+∠QBN=90°和∠ACG+∠CBE=90°)，還需證明另一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等．注意到∠QNB=90°，所以需證明∠AGC=∠AGB=90°，即證明△ABG≌△CPM．由∠PCM+∠CPM=90°和∠CBF+∠PCM=90°，得∠CPM=∠ABG，由“邊角邊”定理易證兩三角形全等，問題迎刃而解．

圖6

若考慮“補(bǔ)短”，不妨延長QN至點(diǎn)H，使QH=CB(如圖6)，連接BH，則問題轉(zhuǎn)化為證明HN=PM．由輔助線的添法和前文作高AG的證法，易證明△BQH≌△ACB(SAS)，得BH=AB=CP，∠H=∠ABC=∠CPM.根據(jù)“角角邊”可證△BNH≌△CMP，則PM=HN，問題又迎刃而解．

由此可見，作高只是輔助線生成的表象，“截長補(bǔ)短”才是處理三條線段間數(shù)量關(guān)系類問題之本，是通性通法．當(dāng)然，對(duì)于輔助線生成后究竟如何表述則不拘一格，化繁求簡(如圖5就可表述成“作BC邊上的高”，以求簡化證明過程)．由此出發(fā)，添出例4的輔助線也就是手到擒來之舉了．

圖7

圖8

顯然BE是三條線段中最長的線段，從補(bǔ)短角度入手，延長DF至點(diǎn)G，使DG=BE(如圖8),則問題轉(zhuǎn)化為證明GF=EF.連接AG，即證明△AGF≌△AEF．根據(jù)同角的補(bǔ)角相等，可得∠B=∠ADG.由“邊角邊”定理得△ABE≌△ADG，所以AE=AG且∠BAE=∠DAG，則∠EAG=∠BAD，進(jìn)而得∠EAF=∠GAF，再依據(jù)“邊角邊”定理可證△AGF≌△AEF，結(jié)論得證．當(dāng)然也可在BE上截取BM=DF(截長)，連接AM，通過證明△AEM≌△AEF而得結(jié)論正確(圖略)．

另外，不少同仁把例4歸納為半角模型，強(qiáng)調(diào)旋轉(zhuǎn)的模式化操作(即把△ABE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ADG的位置)，這顯然有未能透過現(xiàn)象看清本質(zhì)之嫌．

2 兩點(diǎn)感悟

2.1 解題研究要著力于通性通法

毋庸諱言，模型化操作雖然給學(xué)生解題提供了可套用的模型，在一定程度上提升了解題速度，但這畢竟是技巧性操作，不僅應(yīng)用范圍有一定的局限性，而且只是教“怎樣做”，學(xué)生并沒有學(xué)會(huì)“怎樣想”，沒有真正形成分析能力，一旦遇到無模可套的問題便又陷入束手無策的窘境．相反，加強(qiáng)解題通性通法生成過程的研究卻能從根本上豐富學(xué)生解題的思維方式，打通分析問題的思維通道，發(fā)展調(diào)控受阻思維的能力，從而學(xué)會(huì)分析．當(dāng)然研究通性通法一定要堅(jiān)持從目標(biāo)入手分析(如例1、例2中兩條線段的平方和等于第三條線段的平方)，挖掘解題思路生成的知識(shí)源，探求處理問題的基本策略(如例1、例2以目標(biāo)中的三條線段為邊構(gòu)造直角三角形)，優(yōu)化調(diào)控策略(如對(duì)于例3圖5中的補(bǔ)短法，輔助線若表述成“延長QN至點(diǎn)H且使NH=PM”，則給證明制造了不小的障礙；但描述為“延長QN至點(diǎn)H且使QH=BC”，則解題思路豁然開朗)．

2.2 解題研究要追求“以題會(huì)類”

眾所周知，“以題會(huì)類”是習(xí)題教學(xué)的最高境界.但要真正實(shí)現(xiàn)“以題會(huì)類”，除了加強(qiáng)通性通法的研究外，還可開展基于知識(shí)源配套習(xí)題專題整理活動(dòng)，以提升學(xué)生同類題型的系統(tǒng)梳理能力，明確解題的思考方向和思路生成的本源，全面掌握處理同類問題的基本策略，切實(shí)提升分析問題的能力．如，在中考復(fù)習(xí)時(shí)可就“線段中點(diǎn)定義”“直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”“三角形的中位線等于第三邊的一半”“三角形的重心分中線之比為1∶2”和“直接求兩線段長計(jì)算證明”等“線段二倍關(guān)系”的知識(shí)源，配備相應(yīng)例題(限于篇幅，例題從略，感興趣的讀者不妨參閱文獻(xiàn)[1])，提升學(xué)生處理同類問題的能力，追求“以題會(huì)類”的習(xí)題教學(xué)最高境界．

總之，習(xí)題教學(xué)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)鞏固知識(shí)和提升能力的重要環(huán)節(jié)，而借助“知識(shí)溯源式目標(biāo)分析法”，從“教怎樣想”入手，挖掘解題的通性通法，或許是提升學(xué)生分析問題能力的有效舉措.當(dāng)然，如何加強(qiáng)習(xí)題教學(xué)研究是個(gè)“仁者見仁智者見智”的永恒課題，單就“如何研究”和“研究什么”就值得廣大同仁深入探討．