二次函數(shù)中動(dòng)點(diǎn)圖形的面積最值問題探究

?揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 胡雅雯

1 真題呈現(xiàn)

[2021年重慶市中考數(shù)學(xué)(B卷)第25題]如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx-4(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),B(4,0),與y軸交于點(diǎn)C．

圖1

(1)求該拋物線的解析式；

(2)直線l為該拋物線的對(duì)稱軸,點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于直線l對(duì)稱,點(diǎn)P為直線AD下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA,PD,求△PAD面積的最大值.

2 解法探究

所以,該拋物線的解析式為y=x2-3x-4.

本題第(2)問可采取以下解法.

2.1 補(bǔ)形法

2.1.1 解法提煉

在平面直角坐標(biāo)系中求“斜”△APD的面積時(shí)，可以將該三角形補(bǔ)形為一個(gè)易于計(jì)算面積的“規(guī)則圖形”,然后將補(bǔ)后圖形的面積與所補(bǔ)圖形的面積相減，從而得出結(jié)果.此種方法可化未知為已知、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單,實(shí)現(xiàn)巧妙求解.

2.1.2 試題解析

圖2

如圖2所示，過點(diǎn)P作PF垂直于y軸，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.易求得直線AD的解析式為y=-x-1.

因P為直線AD下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，故設(shè)P(m,m2-3m-4)(-1

故PF=-m2+3m+3-m=-m2+2m+3.

所以S△APD=S△APF-S△PDF

=-2(m-1)2+8.

所以當(dāng)m=1時(shí)，△PAD面積的最大值為8.

2.2 “鉛錘高，水平寬”面積法

2.2.1 解法提煉

如圖3所示,過△APD的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，則外側(cè)兩條直線之間的距離a就叫作△APD的“水平寬”，中間這條垂線與AD相交于點(diǎn)E,則線段PE的長(zhǎng)度h就叫作△APD的“鉛垂高”.由此可以得出一種計(jì)算三角形面積的方法:

圖3

即三角形的面積等于其水平寬與鉛垂高乘積的一半[1]．

2.2.2 試題解析

如圖4所示，過點(diǎn)P作PE垂直于x軸交直線AD于點(diǎn)E,易求得C(0,-4),D(3,-4)及直線AD的解析式為y=-x-1.因點(diǎn)P為直線AD下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，故設(shè)P(m,m2-3m-4)(-1

PE=-m-1-(m2-3m-4)=-m2+2m+3.

=-2(m-1)2+8.

所以當(dāng)m=1時(shí)，△PAD面積的最大值為8.

圖4

2.3 公式法

2.3.1 解法提煉

本題可利用點(diǎn)到直線的距離公式求出△APD的高，然后結(jié)合配方法，求得高的最大值或直接求△APD面積的最大值.

圖5

推導(dǎo)：如圖5所示，設(shè)AD所在的直線方程為y=kx+b,過點(diǎn)P作AD的垂線PG，垂足為G,則直線PG的解析式為

2.3.2 試題解析

易求得AD的斜率k=-1.因點(diǎn)P為直線AD下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，故設(shè)P(m,m2-3m-4)(-1

=2|-m2+2m+3|

=-2(m-1)2+8.

所以當(dāng)m=1時(shí)，△APD面積的最大值為8,此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-6).

2.4 切線法

2.4.1 解法提煉

如圖6所示，在△APD中，底邊AD是確定的，平移直線AD，當(dāng)其與拋物線相切于點(diǎn)P時(shí)，AD邊上的高取最大值，即△APD的面積取最大值.

圖6

2.4.2 試題解析

如圖7所示，過點(diǎn)P作PG⊥AD，PH垂直于x軸，分別交AD于點(diǎn)G，H.過點(diǎn)P作直線l1平行于AD,當(dāng)l1與拋物線相切時(shí)，AD邊上的高PG取最大值.

易求得C(0,-4),D(3,-4)及直線AD的解析式為y=-x-1，故設(shè)直線l1的解析式為y=-x+n.

圖7

令Δ=4-4(-n-4)=0,解得n=-5.

所以l1的解析式為y=-x-5,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,-6)，點(diǎn)H的坐標(biāo)為(1,-2),此時(shí)高PG取到最大值，最大值為

PG=PH·sin∠PHD

=PH·sin 45°

即當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,-6)時(shí),△PAD面積的最大值為8.

2.5 “中橫結(jié)論”法

2.5.1 解法提煉

ax2+(b-k)x+c-m=0.

2.5.2 試題解析

如圖8所示，過點(diǎn)P作PK垂直于x軸，交x軸于點(diǎn)K,過點(diǎn)D作DM垂直于x軸，交x軸于點(diǎn)M.根據(jù)上述“中橫結(jié)論”得

圖8

所以P(1,-6)時(shí),S△APD取最大值，此時(shí)

S△APD=S△APK+S梯形MDPK-S△ADM

即當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,-6)時(shí),△PAD面積的最大值為8.

2.6 “于函定理”法

2.6.1 解法提煉

“于函定理”：如圖9所示，在拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上任意取三點(diǎn)A,P,D，過P作對(duì)稱軸的平行線，交直線AD于點(diǎn)E，設(shè)PE長(zhǎng)為d,點(diǎn)A，D到直線PE的垂線段長(zhǎng)分別為m1，m2，則有d=|a|·m1·m2[3].

圖9

利用“于函定理”，可以推導(dǎo)出一種新的計(jì)算三角形面積的公式.

簡(jiǎn)證：由圖可知，

由“于函定理”，得d=|a|·m1·m2.

顯然有m1=|x1-x2|,m2=|x2-x3|,

m1+m2=|x1-x3|.

2.6.2 試題解析

由(1)求得該拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)a=1.

因點(diǎn)P為直線AD下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，故設(shè)P(m,m2-3m-4)(-1

=2|m-3||-1-m|

=-2(m-3)(m+1)

=-2(m-1)2+8.

即當(dāng)m=1時(shí)，△PAD面積的最大值為8,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,-6).

3 解題感悟

綜合分析以上六種解法，數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想是破解此類問題的“金鑰匙”.在解題時(shí)，一是要以轉(zhuǎn)化思想為引領(lǐng)，合理構(gòu)造輔助線，將幾何問題代數(shù)化，復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，實(shí)現(xiàn)由形轉(zhuǎn)數(shù)；二是要以數(shù)形結(jié)合思想為橋梁，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形相結(jié)合，使抽象問題具體化，實(shí)現(xiàn)由形析數(shù).此外，二次函數(shù)中動(dòng)點(diǎn)圖形的面積最值問題題目變化無窮，且上述解題方法在最優(yōu)題型適用上存在一定差異，建議教師在教學(xué)中既要帶領(lǐng)學(xué)生深入剖析題目本質(zhì)，也要引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握以上解法，以便靈活應(yīng)對(duì)不同題目.