運用化歸思想求函數最值的策略*

黑龍江省佳木斯市第一中學 孔祥文

黑龍江省佳木斯大學 方海文

在教學過程中，教師應尊重教育規律，努力把學生培養為學習的主人，使學生的學習真正發生.但是教師要問自己：教室里大多數的學生，學習真的發生了嗎？有的教師無視學生的自主學習動機，剝奪學生做事情的權利，省略與學生的有效對話，抑制學生探索的欲望.為了學生的長遠發展，教師應該把課堂學習的主動權還給學生，課堂應該充滿更真實的對話、認真的意見和真正的引導，展示“真正的學習”是什么樣子的.

1 運用化歸思想解決問題的一般模式及基本觀點

在問題解決的過程中，將待解問題不斷變形、轉化，直至把它歸結為已經解決的或容易解決的問題，最終得到原問題的解答.這就是化歸思想[1].

1.1 運用化歸思想實現問題解決的一般模式

化歸思想一般模式如圖1所示.

圖1

1.2 基本觀點

(1)運動與變化的觀點

事物不是靜止的，它是在不斷地變化著的．解決數學問題時，把靜止變成運動，把常量變成變量，利用運動與變化的方法解決問題．

(2)聯系與轉化的觀點

事物不是獨立存在的，是相互聯系并能夠轉化的．在解決數學問題時，要不斷地找出問題之間的聯系和轉化的方法，來解決數學中的問題.

(3)優選化歸的觀點

一般的數學問題可以分為兩種，一種是創造新方法解決問題，一種是與以前所學的知識相結合共同來解決問題.同時，后一種方法在實際中最常用，并且在解決問題中常常利用化歸的方法.所以，在面對數學問題時，我們通常優先考慮化歸方法[2].

2 運用化歸思想求解函數最值的策略

2.1 等價轉化法求最值

兩個命題A和B，若A?B，則稱A與B邏輯等價.等價轉化法是把待解命題A通過某種方法轉化與其同真同假的等價命題B，通過轉換的方法解決命題B得出結果，就意味著解決了命題A的問題.

例1已知拋物線y2=4(x-1)，試在這個拋物線上找一點P，使點P到焦點與到點(4,1)的距離之和最小.

圖2

2.2 數與形的轉化求最值

通過數與形之間的轉化，不僅可以把數量關系的問題轉變成圖形分析的問題，還可以利用圖形關系的分析，在圖中直接看出變量之間的關系，從而解決問題，節省時間，開發思維能力.

數與形之間的轉換，通常有以下幾種情形：(1)實數與數軸上的點的對應關系；(2)函數與圖象的對應關系；(3)曲線與方程的對應關系；(4)以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念；(5)所給的等式或代數式的結構含有明顯的幾何意義.

(1)用數與形的轉化解平面幾何的最值問題

平面幾何中與三角形、圓等有關的問題，可以利用建立坐標系的方法，把圖形問題轉化為代數式的運算問題來解決.

圖3

化簡，得

(x-3)2+y2=8(y≠0).

(2)用數與形的轉化解圓錐曲線問題

解析幾何中求代數式的最值問題常常可以聯系代數式中各量的的幾何意義，轉化為斜率、截距、距離等模型去解決.與圓錐曲線有關的最值問題，合理應用圓錐曲線的定義是解決此類問題的有效途徑.

圖4

由橢圓定義，可知|PF1|=2a-|PF2|=6-|PF2|.

所以 |PF1|+|PA|

=6-|PF2|+|PA|

=6+|PA|-|PF2|.

2.3 利用基本不等式化歸轉化求最值

利用不等式求最值主要是指運用基本不等式或它的一些變形式求代數式的最值.這種方法主要適用于和為定值或積為定值(或可轉化為和或積為定值)時的最值求解問題.

(1)直接應用基本不等式化歸轉化求最值

若待求式的和或積為定值，則可以直接應用基本不等式求解.使用公式時應注意基本不等式成立的條件.

例4已知x>0,y>0，且滿足3x+2y=12，求lgx+lgy的最大值.

所以lgx+lgy的最大值是lg 6.

(2)應用不等式化歸轉化的技巧

基本不等式的一個主要功能就是求兩個正變量和與積的最值，即所謂“和定積最大，積定和最小”.但有的題目需要利用基本不等式的變形求最值，有的需要對待求式作適當變形后才可求最值.

(ⅰ)加上一個數或減去一個數使和或積為定值.

A.-4 B．1 C．5 D．-1

解：由x<3,得3-x>0，所以

所以f(x)的最大值-1．故選：D.

(ⅱ)平方后再使用基本不等式.

(ⅲ)用“1”的代換法化歸轉化求最值.

解：因為x>0,y>0,所以

3 結語

本文中基于本真課堂系統研究了如何運用化歸思想方法求解最值問題，同時將最值問題通過相互轉化的方法使解題思路變得簡單易懂.通過研究可以得出，最值問題解題思想方法的學習，不僅可以積累解題經驗，還可以鍛煉思考能力和開拓創新能力.因此，最值問題是極其具有研究意義的，也是非常重要的.