高考數學對球體考查的新動向

西安市經開第一中學 侯麗莎

2022年高考數學學科的命題在踐行立德樹人為根本教育任務的同時，新情境、數學文化、知識交匯等成為一道亮麗的風景線.高考試題情境緊密聯系生活實際，突出數學文化的引領作用，不同模塊的知識交匯成為新的命題動向.

以往高考中與球體有關的考查，主要以確定球心位置和球半徑為背景，以球體的體積和表面積計算為主要考查內容，涉及柱體、椎體的切、接問題，考查方式以選擇、填空題為主.隨著新高考的改革，球體與臺體的切、接問題已成為基礎考點，在考查球體基礎知識的基礎上，又出現了結合學科內在聯系和知識的綜合性，側重于知識交匯的命題設計[1].既對球體基礎知識的考查達到必要的深度，又把不同模塊的數學知識交匯融合，通過數學知識的類比、聯想、遷移和應用，體現對數學知識整體性的綜合理解與靈活應用.

1 球體與集合的交匯

例1(2022·北京卷·9)已知正三棱錐P-ABC的六條棱長均為6，S是△ABC及其內部的點構成的集合.設集合T={Q∈S|PQ≤5}，則T表示的區域的面積為( ).

分析：本題考查以P為球心，5為半徑的球被底面ABC所截，求得截面圓的半徑后再求區域的面積.

圖1

故選：B.

2 球體與不等式的交匯

例2(2022·全國乙卷·文12理9)已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當四棱錐的體積最大時，其高為( ).

故選：C.

3 球體與旋轉體的結合

例3(2020·新課標Ⅲ·文16理15)已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內半徑最大的球的體積為.

圖2

4 球體與多面體的結合

A.100πB.128π

C.144πD.192π

分析：本題考查球的表面積計算公式.根據題意可以利用正三角形性質求出正三棱臺上下底面外接圓的的半徑，根據球心距、底面外接圓的半徑以及球的半徑之間的關系建立等式，可以求出正三棱臺外接球的半徑，從而求得球的表面積.

故選：A.

高中數學課程知識以單元或模塊的形式呈現，兩個(或多個)知識為什么會產生交匯，關鍵是要理解數學的本質，突破知識界限，活躍思維方式，感受數學是一個整體.

那么引起知識交匯的原因又有哪些呢？筆者從以下幾個方面進行分析.

①數學文化的滲透，可以從不同的角度拓展學生對數學知識的認識，開闊學生思維，促使學生去創新，去思考，弘揚數學人文精神，繼承傳統.因此，數學文化成為多個數學知識交匯融合的一種載體.

②核心知識如集合、函數、不等式等在各自的發展過程中相互聯系，始終是貫穿高中數學知識的主線，揭示了知識與知識之間的內在聯系，這種聯系能使我們運用不同的數學知識解決同一個問題.因此，核心知識的應用是眾多知識交匯的焦點.

③思維導圖，可讓各模塊之間的聯系更加緊密，焦點集中，層次分明，節點相連，把零散的知識有機整合，形成系統.因此，思維導圖為眾多知識交匯牽線搭橋.

④思維方式的不同，解題時捕捉到的題目信息與大腦中原有的信息有效結合方式不同，所產生的的解題思想就不同.把握數學解題中的通性通法，科學有效地構建解題思維鏈，數學思維方法的應用是眾多知識交匯的核心.

總之，2022年高考數學對球體知識的考查多以球體為背景，創設命題情境，突破知識界限，更巧妙、更新穎地交匯命題，是2022年高考數學命題的一個新動向.一線數學教師在教學中應予以重視.