數據驅動的數值分析課程改革
——以金融數學專業為例

◎周雪芹(西安財經大學統計學院,陜西 西安 710100)

1 引 言

金融數學是在華爾街革命的基礎上發展起來的一門將金融與數學進行相互交叉的科學.金融數學是一門前沿學科，發展迅速，進而發展成為各類高校的熱門專業.金融數學專業是一門融合金融和數學的新興交叉應用型專業.它是利用數學工具研究金融問題并進行數據處理、實際建模、模型分析、數值計算等定量分析，目的是挖掘出金融學的潛在規律并用以指導金融機構實踐.金融數學實質上是將數學知識運用到金融學領域當中，這里的數學知識包括概率論與數理統計、數值分析算法、最優化算法等等，其核心的內容是在不確定的隨機環境下，研究最佳的投資組合方式和最優的資產定價等理論與實踐相結合的內容.金融數學的三大基本概念是套利、最優和均衡，這也是金融數學的三個基本經濟思想.因此，掌握金融數學和金融經濟的基本理論和思想方法，利用現代的數學知識和計算機工具對經濟、金融等信息進行分析預測和決策，能夠解決公司的財務管理，能夠對證券組合進行分析，能夠對投資的項目進行評估，能夠對保險進行精算，以解決實際問題，這就要求本專業的學生具備較強的數學建模能力和初步的科學研究能力.

學生想要具備較強的數學建模能力和初步的科學研究能力，就需要掌握數學的有關算法，算法中的數值分析課程所涉及的算法尤為重要.數值分析課程所講授的主要內容有各種插值法、解線性方程組的直接法和迭代法、數值微積分、常微分方程的數值解法等，這些算法對于處理海量數據發揮了重大的作用.數值分析研究的數值算法為數學建模提供了大量的解決實際問題的思路，給金融問題，尤其是數據量很大的金融模型提供了方法簡便、精確度高、性能穩定、操作簡單、易于處理的數學算法.數值分析是為了用計算機解決數學問題而研究出的方法和理論，其內容豐富、研究深刻、實用性很強，其所涉及的算法是為計算機解決數學問題而構造的能用數值計算的實施方案.

針對信息化時代興起的數據驅動，是以互聯網或其他的軟件為工具收集的大量數據，然后對此數據進行整理篩選形成一些信息流，再對形成的信息進行各種提煉和整合處理等操作，即在海量數據的基礎上進行訓練或者擬合或者插值等以此形成模型，然后在企業或機構做決策或者產品運營等優化時,根據不同的需求對信息流進行提煉.也就是說，數據驅動是在海量數據的前提下進行的自動化的業務，形成強大的模型支持自動化的決策.

因此，結合金融數學研究領域的研究內容和數值分析提供的理論算法特點以及數據驅動的實質和作用，提出數據驅動的數值分析課程改革，具有重要的研究和應用價值.

2 數值分析與金融數學

金融數學專業培養具備數學與金融學的基礎理論知識，同時具有運用數學工具分析解決金融實務問題，構造金融產品能力的復合型人才.金融投資過程中，投資者通過金融數學知識建立金融數學模型，通過模型的分析預測，不但可以對金融市場投資風險進行有效的分析，還能準確地確定期權價格，最后通過金融數學對金融投資市場進行實時監控，促進金融市場的繁榮.金融數學所研究的金融問題很多，包括有價證券和證券組合的定價理論、利率及債權的價值分析、股票的價值分析、投資儲蓄行為的風險偏好、套利資產定價、金融衍生品定價等等.數值分析是金融數學專業開設的一門重要的實用課程，內容豐富，研究方法深刻，有自身理論體系，既有純數學高度抽象性與嚴密科學性的特點，又有應用廣泛性與實驗高度技術性的特點，是一門與計算機使用密切結合，實用性很強的數學課程.數值分析課程所學理論算法為這些金融問題提供了可靠有利的研究工具.舉例如下：

(1)以發展有價證券的定價理論為例

證券定價理論是資本市場理論的核心內容，也是證券分析中最重要的關鍵點.證券市場的基本特征決定了價值投資理論的核心內容是對上市公司價值內在的評估.這實際上就是對上市公司的所有的現金流進行的折現值.一般情況下，它所用的數學方法有很多，但主要是提出合適的隨機微分方程或隨機差分方程模型，形成相應的倒向方程，進而建立相應的非線性Feynman-Kac公式，由此導出具有普遍意義的Black-Scholes方程.該方程可表示為線性方程組.針對階數較高的線性方程組，要求得方程組的解，我們可以借助數值分析中所介紹的求解線性方程組的直接法(列主元素消去法、LU分解法等)或間接法(雅克比迭代法、高斯-賽德爾迭代法、針對大型方程組的超松弛迭代法等)，并借助計算機計算出最后的結果.

(2)以經濟預測銷售為例

在信息技術飛速發展的今天，各種無法預測的影響因素，會導致企業的銷售和收入出現波動.因此，正確預測企業資源的未來發展、政府以及其他外界對經濟政策的見解或者工廠加工業生產和經濟增長情況，尤為重要.對某一生產加工企業而言，若供給大于需求，會有產品閑置，間接導致失業的結果；若需求大于供給，增大對進口的需求，會導致資金外流.對供求關系的把控需要一定的估計.數值分析課程中介紹的最小二乘法或拉格朗日插值法或牛頓插值法等內容就提供了解決此類問題的方法，將損失最小化，將社會發展最大化.比如已知某地區某商品在2019年1～12月和2020年1～4月的社會消費品零售總額的當期值，我們可以利用最小二乘法的數學模型進行擬合，對銷售趨勢進行預測，預估出2020年5～12月或未來年份的當期值，企業或工廠生產產品時以預估的當期值作為參考，避免過大的供求差異關系，避免企業或工廠出現產品滯銷的情況，并且能在保證利潤的情況下，將損失降到最小.

(3)以市場期權定價為例

在國內金融市場發展的同時，國際市場的聯系也逐漸變得密切起來.期權作為金融市場發展過程的衍生品，在其中扮演著重要的角色，對期權的合理定價是國際金融市場的一項重大問題.我們可以借助先進的科學技術，考慮期權定價時的各種參數選擇，比如標的價格、波動率、利率行權價等，通過數值分析中的誤差、有效算法、收斂速度等標準判別優劣，然后通過數學的二項式定價方法，用金融數學理論確定是否進行投資、是否建立套利定價模型、是否對期權進行定價等.在這些建模的過程中，我們可以利用判斷算法是否收斂的原理，判斷所給的模型是否合理，以及所給算法是否收斂、收斂速度快慢，避免處理到病態問題.

3 金融數學與數據驅動

2020年3月出臺的《關于構建更加完善的要素市場化配置體制機制的意見》指出，將數據要素正式提升為與土地、人力、技術、資本并重的第五生產要素.也就是說，數據要素已經成為國家戰略.數據不僅是金融產業運行中的副產品，也是推動金融發展的關鍵要素.數據驅動型的金融產業必將到來.

金融領域是數據應用價值最大的行業.數據要素已經將金融資產的底層改變了，現代的生活都是基于用戶的行為數據、社交數據、出行數據等各類數據，結合機器學習構建出風險的評價模型，以便金融機構采取不同的措施應對不同用戶在不同階段出現的不同問題，最具代表性的就是供應鏈金融.金融機構基于搜集到的海量數據開發研制出更受歡迎的金融產品，實現了從產品為中心到以顧客為中心的轉換，以提高產品的吸引力，掌握了業務的主動權.

比如兌付風險模型.某金融機構以全量金融市場數據對證監會30000+金融產品做模型預測，模型預測的準確率高達85%，在第一次的實踐應用中找到了5支兌付風險，在第二次的實踐中找到了7支兌付風險.金融機構發生的風險后果超過了對自身的影響.如果風險達到了機構不能承受的程度或是虧本了，機構必將采取相應措施，以預防風險.這里的數據必須提前采集，進行訓練，形成信息流，即數據驅動的部分；根據信息流建立評價模型，即數值分析的部分.人們利用模型預測出現的問題使機構可以提前采取措施應對風險.整個過程就是金融行業的發展過程.

4 數值分析教學現狀

數值分析要求學生掌握具體數值計算的方法與理論、不同算法的比較、算法的改進與創新，但該課程涉及的理論知識多、抽象的理論算法多等特點，造成學生在該課程的學習難度較大.針對金融數學專業的學生，我們提出通過解決金融實際問題講授數值算法以進行數值分析教學，幫助學生加深對抽象理論與算法的理解，并使學生認識到，數值分析課程的數值算法能夠解決與本專業相關的金融問題，對以后專業課的學習和就業具有重大的應用價值，以使學生產生學習的興趣，使課程的教學質量有所提高.目前國內多數高校的數學專業都開設了數值分析課程，但是對于金融數學專業的學生來說，僅僅將數值分析作為數學課程進行教學具有不足之處.

(1)教學內容重理論

數值分析課程的推導和算法比較多，內容也比較繁雜，計算量相對比較大，知識比較零碎，學生難以記憶，這導致學生學習興趣不高.課堂上教師講授理論知識所用課時太多，要求學生掌握各種數值計算的方法與理論、不同算法的比較、算法的改進與創新等等，教學內容煩瑣，這導致學生學習興趣不高.

(2)教學內容輕實踐

目前，許多高校對本課程的講授著重于數值分析各種算法的數學公式推導和定理證明，而對相關算法的應用講授得太少.學生的理論學習模式化，實踐環節不夠，缺乏應用性，因此在學習過程中學生感覺到枯燥或者學習效果不佳，只能死記硬背公式，不會應用.

(3)教學實例脫離專業

在教學方式上，許多高校仍將本門課程作為數學課程講授，使用傳統的單一的“傳授式”的教學方法，教師在課堂上講，學生在下面記.這種教學方法太注重理論的講解和算法的傳授.教學內容嚴重脫離專業性，導致許多學生在學完本課程后不具備用本課程的相關原理和方法解決與本專業相關的實際問題的能力.

目前是科技迅速發展的時代，這種傳統的教學模式難以達到理想的教學效果，已經不適合時代的發展，也不可能培養出創造型人才，必須進行改革，以適應大數據時代的信息化要求.

5 數據驅動的數值分析課程改革

針對目前數值分析傳統教學中的不足之處、金融數學專業內容特點及數據驅動的時代特點，本文提出數據驅動的數值分析課程改革方式，具體如下：

(1)收集金融專業所研究的問題

教師可以引導學生查閱資料文獻，收集金融數學專業所涉及的金融實際問題，可以是投資決策問題或資產估價問題、股票估價問題、風險投資問題、套利定價等.比如某機構的金融信息.

(2)整理數據

教師可以利用數值分析講授數據處理方法，比如列表法、圖示法、圖解法、逐差法、最小二乘線性擬合法等，對數據進行處理，得到合理的數據，并形成信息流.

(3)確定數值計算方法

教師可以針對收集到的金融實際問題的數據，分析訓練，給出假設和條件建立數學預測模型，并整理相關的數據并進行分析，根據數學模型找出合適的數值計算方法，也可以分組討論，每組采用不同的算法進行求解.具體實例使得抽象內容具體化，可以加深學生對金融專業課基本內容的理解.

(4)詳細講授數值計算方法

教師通過某一個具體的金融案例，求解上述構建的數學模型時，講授數值分析課程的各種相關數值計算方法，加深學生對數值分析課程所講授的數值算法的理解和掌握，并讓學生意識到所學的數值分析課程內容在解決金融相關問題中發揮的作用.

(5)結合實例，用MATLAB程序編程上機操作

教師根據數值計算方法，讓學生利用MATLAB軟件自己編寫相應程序，并進行具體問題的數值仿真實驗，通過實驗使得學生熟練編程技巧，加深對算法的理解，并掌握如何利用數值計算方法對金融中的數學模型進行求解與分析.

各小組完成后，教師鼓勵各組學生將實驗結果相互交流，互作補充，探討實驗過程中的可取之處.教師在一旁做指導并及時進行調控，最后由小組學生代表做簡明匯報，教師再做總結，引導學生歸納出該知識點的主要內容，并寫出一份實驗報告.這樣一方面可以培養學生的歸納和概括能力，另一方面可以鞏固加深學生對知識的理解，還能促進知識的遷移，解決實際問題.

實踐性教學是以金融實際問題為中心,然后根據不同的教學內容提供不同的金融實例，可以激發學生的興趣和探究意識.只要是圍繞著本專業所學知識點或者與之相關的內容的素材,都可以作為學生探究的課題.教師要讓學生在本知識點開始前就思考分析如何設計算法、 如何用計算機程序實現、結果誤差如何，從而提高學生的思考能力，培養其利用所學知識分析問題和解決問題的能力.

6 總 結

教師注重理論與方法的實際背景，盡可能地用與金融數學相關的實例詮釋數值分析中的概念和方法，用數值算法解決金融實例問題并督促學生自己動手完成實驗，是數值分析課程教學建設的一個新嘗試.實例教學以金融專業為背景，以MATLAB為平臺，以主要數值算法為線索，向學生介紹該算法產生的實際背景和金融生活中的廣泛應用，主要是給出數值算法在金融領域的實際運用,結合數學軟件的求解使學生了解現代計算工具的發展和應用，使數值分析的教學內容呈現多樣性和應用性，更加貼合金融數學專業的專業背景，逐步提高學生學習該課程的興趣，使該課程在金融領域發揮出最大的貢獻.

我們對本校幾屆金融數學專業學生進行以上措施的實施，使金融數學專業的學生逐步認識到所學數學類課程與計算機類課程如何為金融相關的實際問題提供理論基礎和解決工具，如何與實際案例相結合，如何寫出更加規范的程序，使他們全面、深刻、系統地理解所學的知識，增強實際操作能力，培養其創新能力和科研能力，并為進一步學習相關課程打下基礎，培養大學生對學習新知識的濃厚興趣，同時提高學生自主學習的能力，為以后工作中的實踐打下基礎.