直觀助生成，想象育思維
——由“圓柱與圓錐的認識”教學引發的思考

江蘇省無錫市經開區東絳第二實驗學校 趙秋如

“圓柱與圓錐的認識”作為小學認識圖形的最后一個板塊，是在二年級粗略認識圓柱基礎上的一次精加工，對學生空間觀念的形成起著承上啟下的作用。本文以“圓柱與圓錐的認識”的教學為例，談一談對于小學立體幾何教學的幾點思考。

一、舊知到新知，搭建內容與方法的橋梁

知識從來都不是以孤立的形態出現的，正如空間立體圖形的認識從來都不能與平面圖形割裂一樣。蘇教版數學教材將小學立體圖形特征的認識都設置在了六年級，從六年級上冊的長方體、正方體的特征到六年級下冊圓柱與圓錐的特征，無不說明立體幾何特征教學始于六年級，并會對學生的空間觀念產生深遠的影響。因此，教師的教學設計以立體圖形的三個要素，即點、線、面的運動導入，在運動時揭示三者之間的關系，通過“面動成體”引出長方體和正方體，激活舊知記憶，并在運動的過程中，更進一步補充學生對立體圖形形成的認知。在明晰了整個知識結構之后，以研究方法和研究角度進行橫向遷移，由此比較發現在研究圓柱與圓錐的特征時也可以從點、線、面這三個角度進行觀察和思考，這樣便完成了從舊知到新知的初步聯動。

皮亞杰的建構主義理論認為：知識的習得，是學生主動構建知識的過程。學生不是被動的信息接收者，而是信息意義的主動建構者。可見，知識的獲得不應該是簡單的記憶與判斷。體現在日常教學中，教師應更多扮演“傳道者”的角色，為學生提供腳手架，讓學生真正成為學習活動的主體。因此，教師在初步認識到圓柱與圓錐的研究可以從點、線、面的角度去思考后，引導學生通過獨立思考，主動聯系舊知，并在認知過程中 “順藤摸瓜”，輕松掌握舊知與新知之間的聯系。這樣，點、線、面三個元素構成了本課學習的邏輯線索，學生在后續的探究活動中就能找準切入點和對應思考方向，突破重難點，搭建相應思維模型。

如此，由舊知到新知，通過新知來激活舊知，以研究方法和角度為橋梁，自然過渡，為接下來的小組合作探究圓柱與圓錐的特征奠定了基礎，從而構建立體圖形研究的模型，幫助學生進一步生成與提升空間觀念。

二、直觀到抽象，拉近現實與數學的距離

在學習本課內容之前，作為日常生活中常見的圖形，學生能夠結合已有的認知和生活經歷，直觀判斷出一個物體是不是圓柱或圓錐。但這只是對整體的一個直覺認知，還沒有經過任何數學加工，依然處于較粗淺的層次。因此，在教學認識特征時，教學設計要以小組為單位，教師要引導學生利用相關學具，在小組內進行自主合作探索。在探究的過程中，學生通過多感官協同，從點、線、面三個角度觀察與討論圓柱與圓錐的相關特征。

在討論圓柱的線的特征時，對于“高”的概念能夠模糊地概括為一條直直的線段，但是對于“高”是從哪里到哪里，為什么圓柱的高有無數條并沒有明確的答案。關于這兩個問題，在傳統的空間幾何教學里只是反復強調想象，這樣反而會給學生的理解制造障礙。因此，在教學時，教師從生活中選取素材——掛面，形象生動地展示了圓柱的高就是上下兩個底面之間的距離，想象當掛面足夠細時，圓柱的高就有無數條。這樣的設計有兩個好處：第一，生活中的實物是數學圖形的“影子”，對于小學生而言，認識圖形特征需要建立在直接觀察的基礎上，有了基礎再加以想象，想象難度就會大幅度下降，就容易理解；第二，滲透數學與生活有著密切聯系的思想，拉近現實與數學的距離，讓學生體會到數學來源于生活，并在生活中有著廣泛的應用。這樣的特征認識是扎實的，而不是機械的記憶，是經得起時間的考驗的。

經歷利用實物探究特征后，學生能將其抽象成圖形的基本特征，并能夠反過來根據特征判斷生活中的實物是不是圓柱或圓錐。例如，在判斷腰鼓是不是圓柱時，教師可以讓學生先判斷，在學生判斷錯誤之后，出示腰鼓實物，從“不是圓柱”到“是圓柱”，在辯證思考的過程中，學生完成了對特征的深度內化。隨之，教師可以將實物抽象出圖形，提出是什么決定了圓柱、圓錐的高矮或粗細。在比較中學生進一步加深了對圖形特征的認識。

如此安排，在現實與圖形之間來回徘徊，可以讓學生的認知始終處于螺旋上升的態勢。在這個過程中，學生能切實感受到圖形與現實生活之間的密切聯系，同時也能體會到學習立體圖形的價值，體悟到幾何圖形對人類社會的重要作用。

三、想象到創造，感悟平面與立體的聯系

新課標中關于空間觀念的定義是“根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據語言的描述畫出圖形等”。可見幾何圖形的認識，特別是關于空間圖形的認識，不僅要從靜態去觀察，更要通過動態過程來豐富認知，最后通過平面圖形來創造出立體圖形，進一步提升學生的空間觀念。

立體圖形特征的學習，觀察是最基本的學習方法。為了避免學生只是機械地靜態觀察，教學時，教師設計了三個探究活動——滾一滾、看一看、切一切，以此提高觀察的深度與趣味性。在每個活動開始之前，教師都會給予學生一定的思考時間，讓學生的動手過程成為驗證想象的過程。例如，在滾一滾的活動中，學生對于圓柱側面滾動的痕跡初步的想象是一個長方形，此時學生通過動手操作發現也有可能是一個正方形，教師利用油漆滾輪來模擬圓柱側面滾動的情況，幫助學生將想象落地留痕。經過想象—驗證—結論，學生的空間推理能力得到了進一步的發展。一直以來，立體圖形的橫截面教學都是一個難點，原因就是沒有一個很好的載體。本課設計中，教師創造性地以圓柱體與圓錐形的花泥為載體，讓“切一刀”的過程不再是學生的想象，立體模型實物呈現在學生面前，實際動手操作時發現可以有三種切法：水平切，豎直切，斜著切。切面各有特點，拓寬了學生觀察的視野與想象的空間，很好地補充了學生認知的缺口。

在觀察的基礎上，教師引導學生將立體圖形轉化成平面圖形可以方便學生進一步內化立體圖形的特征，此時，幫助學生體會如何將平面圖形轉化成立體圖形便成了亟待解決的問題。因此，在教學設計中，在學生認識特征之后，教師可以以組塊的形式，利用學生的動手實踐操作過程，讓學生在活動中感知面與體之間的聯系。

教學中，教師可以為每個小組提供一張紙、一些大小相同的圓片、一個直角三角形、一個長方形、兩根小木棒，讓學生思考如何利用這些材料創造出一個圓柱或圓錐。在小組合作的過程中，學生群策群力，想出了幾種方法：（1）選取一張白紙和兩張大小相同的圓片，將白紙卷一卷，再搭配兩個圓片得到一個圓柱；（2）選取一些大小相同的圓片，因為圓片本身就是圓柱，不過是高而短的圓柱，同時大小相同的圓片疊在一起也是圓柱；（3）選取一個長方形或三角形和一根小棒，利用旋轉運動來想象出圓柱或圓錐。出乎意料的是，有少數學生通過將圓片對折得到半圓進而折成了圓錐的側面，這反映出在經歷一系列的活動之后，學生的空間想象能力已經得到了一定的提升。

在以上教學過程中，教師將活動分成了兩大板塊，由體到面和由面到體。教師先幫助學生建立了立體圖形整體印象，引導學生自主活動去觀察和創造，結合自身實際動手操作去發掘圖形的特征與聯系；接著，教師根據學生的想象和猜測做出推理分析并予以驗證，幫助學生自動模糊二維圖形與三維圖形之間的界限，通過運動和想象實現平面與立體之間自如地轉化。

四、知識到能力，體會空間與圖形的價值

在絢麗多彩的圖形王國里，我們通過運動和想象在二維平面圖形與三維立體圖形之間架起了一座溝通的橋梁。愛因斯坦認為，想象比知識重要，知識是有限的，而想象力概括著世界上的一切，推動著進步，并且是知識進化的源泉。在尤瓦爾·赫拉利的《人類簡史》中就提到：想象是區別動物與人類一切成就的根本因素。回首人類史，無疑想象是人類文明得以不斷前行的重要動力。

從長方體與正方體到圓柱與圓錐，立體圖形課程的價值不應該僅僅局限在圖形基本知識上，關注知識的生成無疑更為重要。在知識生成的過程中，要想實現想象能力的遷移，光靠書本內容肯定是遠遠不夠的，所以在從書本獲得最基礎的知識與技能之后，教師在課標的指導下，把握尺度，設計相關的實驗活動無疑是學生感受圖形價值的重要路徑。因此在教學中，應將知識模型化，讓學生參與模型的創建與優化，在模型到建的過程中，學生通過操作實物，直觀認識模型來展開想象，去認識與研究立體圖形的特征。讓學生借助實物表象，空間想象越過對空間模糊的認識，豐富對點、線、面基礎元素及其關系的認知，補全學生對立體圖形的認知。由此可見，學習立體圖形，可以發展學生的空間想象能力，有利于其理解數學圖形與日常生活之間的密切聯系，也有利于其空間推理能力與創新意識的培養，對提升學生的基本能力素養有著重要的意義。

現代教育學家認為，學校的教育內容應涵蓋以下四個板塊：批判性思考、溝通、合作和創意。而在這節課中，教學設計很好地體現了這四點，小學階段是人一生當中空間觀念發展最重要的階段，而立體圖形課程是學生對現實生活的一次數學化認識，相信通過直觀的觀察活動，學生能在腦海中生成相關模型，承上啟下，為形成初中、高中的直觀想象做好鋪墊。同時，在經歷一系列的實踐活動后，學生能更深入地體悟到空間與圖形，以及與日常生活的緊密聯系，可以用數學的眼光來觀察世界，運用想象推理能力解決問題。