理論力學動靜結合的例題分析

段慶全

（中國石油大學（北京）安全與海洋工程學院，北京 102249）

理論力學是高等教育工科大學生的一門專業基礎課，其任務不僅是為了后續課程的需要，更深層次的意義在于科學素質的培養。理論力學課程的課表教學學時普遍在48-72學時之間。雖然該課程的教學內容與初中物理、高中物理、大學物理存在一定程度的相似，但由于概念眾多、理論性強、解題方法靈活等特點，容易使初學者常因概念昆淆而導致種種錯誤，產生“理論易懂、習題難做”的感覺。因此在理論力學教學中，應把課程的理論體系作為一個系統來研究，引導學生掌握整個課程理論體系的層次結構，探索知識點的邏輯關聯，從而理清課程中不同理論間的脈絡[1]。因此，編寫能夠引起學生思考的例題非常必要，通過具體例題的分析，引導學生開展一題多解的思考，建立起知識間的邏輯關系，將課程知識融會貫通，進而有一種“會當凌絕頂，一覽眾山小”的感覺。

1 力矩、動量矩概念的聯系

力矩、動量矩是靜力學、動力學中的兩個重要概念，描述構件上的作用力、質量為 的某點動量對確定點的矩。盡管作用力、動量的物理意義不同，在數學上可以統一定義為矢量。對于點的矩，定義為，為點到矢量作用線上任一點的矢徑。

在靜力學關于平衡的定義，可以列出二力一矩方程、一力二矩方程、三矩方程等不同形式的平衡方程。其中，選擇不同的點求合力矩，列出矩的平衡方程是分析靜力學題目的重點。在動力學中的動量矩定理中，重點是計算對于不同定點的動量矩，特別是針對質心的動量矩。分析動力學問題的時候，動量矩定理往往與質心的動量定理進行聯立方程。在應用動量矩定理的時候，所對應的點包括固定的點與質心，不是一般意義的動點，對于動點動量矩定理具有較復雜的表達式。靜力學中求合力矩的點，是平面中任意的點，可以在物體上，也可以在物體外面的點。

2 靜力學中的動力學

例1：質量為m、重量為Q、長為L的均質桿件靠在光滑的墻壁上（夾角為），桿件與地面的靜滑動摩擦因數為f，梯子上作用一水平力F，BD=a，求維持平衡時的F。

圖1 例1

取桿AB為研究對象，假設桿向右滑動，畫受力圖受力分析如圖2所示。列出常見的二力一矩方程：

圖2 例1的受力分析圖

聯立式（1）、（2）、（3）可得，

在靜力學中，求合力矩的點一般選擇為桿內部的點或端部點。由受力分析可以看出的交點P，對應于運動學中桿AB的瞬心，因此，針對瞬心求合力矩平衡方程：

式（2）、式（5）聯立求解可得

3 動力學中的靜力學

例2：質量為m、重量為Q，長為L的均質桿件靠在光滑的墻壁，另一端放在光滑的水平地板上，令桿由豎直靜止狀態開始運動，求到達與水平方向的夾角時，角速度、角加速度，以及A、B處的約束反力。

圖3 例2

圖4 例2的運動分析

解法一：

此題屬于動力學中的典型試題，研究桿件的平面運動情況，由于從靜止開始運動，運動分析圖如圖所示，P點為桿AB的瞬心，桿AB的角速度為。初始時刻的動能，運動到任意時刻 t的整個桿的動能為：根據動能定理，，可得

因此，將動能定理進行整理與微分，可得桿的角速度、角加速度分別為

聯立（7）（8）（9）方程，可得

解法二：

由公式（12）可得

上式積分，可得

在以上方程中，包括2個力方程，1個矩方程，如果選擇列二矩一力方程，根據表中的規定，求合力矩的點O、點C的連線方向不能與求合力的方向垂直，則選擇法向（CO方向）的質心動量定理公式（9）。化簡式（9），并將式代入，可得公式（10）相同的結論。

解法三：

在應用質心動量定理的時候，也可以在選擇在水平方向（X軸）、豎直方向（Y軸）應用進行動量定理的微分形式，

4 總結

通過例題中的靜力學、動力學內容的關聯分析，引導學生一題多解，能很好地鍛煉學生的邏輯思維能力與綜合分析能力，學生普遍反映好像感覺到書本變薄了、基本理論內容聯系增加了，公式也變少了，知識點也不再那么零散了。