巧借問題鏈，發展學生的代數推理能力*
——以“立方根”教學為例

朱金霞 孫海鋒

代數推理是推理的一種類型，初中代數推理是將代數式（或關系）變形為特定的目標結構（或關系），用代數方法證明（或說理）。［1］《義務教育數學課程標準（2022 年版）》指出：“在初中數學中，不僅在圖形與幾何領域有推理或證明的內容，在數與代數領域也有推理或證明的內容。”［2］由此可見，在初中階段提高教師代數推理教學的意識，有助于學生理解代數知識，優化思維方式，增強推理能力，提升數學素養。同時能為學生后繼內容的學習做好鋪墊，有效銜接初高中的數學教學。

因此，筆者嘗試在代數概念課的教學中設置環環相扣的問題鏈，培養學生的代數推理能力。下面，筆者結合蘇科版數學教材八年級上冊“立方根”的教學片段與大家分享個人觀點，不當之處請批評指正。

一、教學片段

1.以“問”促憶，回顧舊知

問題1：同學們，平方根的概念是什么？

生：如果x2=a（a≥0），那么x叫做a的平方根。

追問1：為什么a≥0？

追問2：如何表示a的平方根？

【設計意圖】問題1 作為起始之問，幫助學生回憶舊知。追問1幫助學生理解a的含義，凸顯平方的非負性。追問2 制造認知沖突，大部分學生會脫口而出±a，忽視了用字母a表示平方根時，a只能是非負數。此環節幫助學生明確在用字母表示數的過程中要注重分類討論，為研究新知、突破重難點作鋪墊。

2.以“問”促思，生成新知

師：有一個小正方體，它的棱長是1。若搭一個棱長是2的正方體，需要4個相同的小正方體；如果棱長是3，需要27個；如果棱長分別是4和5，則分別需要64 和125 個小正方體。（板書23=8，33=27，43=64，53=125……）

問題2：觀察這些等式，已知棱長求體積是立方運算；反過來，知道正方體的體積是125，你會求它的棱長是多少嗎？

追問1：知道正方體的體積是125 求棱長，是一種什么運算？5叫做125的什么呢？

追問2：如果正方體的體積是2，棱長又是多少？這樣的棱長存在嗎？

提示：我們不妨設棱長為x，得到x3=2。

追問3：這樣的x有幾個？如何表示？

追問4：已知立方結果為2求底數x，是一種怎樣的運算？x叫做2的什么?

【設計意圖】問題2 引導學生運用熟悉的立方運算來計算體積。追問1 提出問題，讓學生初步感受在立方運算的等式中涉及底數和冪兩個變量，可以已知冪求底數。追問2 使學生產生困惑，在學生原有認知中，沒有正整數的立方等于2，打破其原有知識體系。此環節利用4個追問和1 個提示制造思維沖突，引導學生借助數學模型，建立方程解決問題，思考怎樣解一元三次方程，引入新的數學符號和數學運算來解決問題。

問題3：同學們能類比平方根的概念，給出立方根的概念嗎？

生：如果x3=a，那么x叫做a的立方根。

追問1：為什么不需要a≥0？

追問2：回到問題2中，如何求x3=2中的x呢？

師：a的立方根記作3a，讀作三次根號a。類似開平方運算，求一個數的立方根的運算叫做開立方，開立方運算和立方運算是互逆關系。

【設計意圖】有了問題1和問題2的鋪墊，類比平方根的概念，學生較容易得出立方根的概念。追問1 與復習平方根的概念呼應，形成對比。追問2 用新知解決遺留問題，有助于學生從形式和內涵上分析復雜的代數概念，進一步理解新知。

3.以“問”促探，發展推理

問題4：下列各數有立方根嗎？如果有，請寫出來；如果沒有，請說明理由。

追問1：這些數都有平方根嗎？如果有，請寫出來；如果沒有，請說明理由。

追問2：平方根和立方根有什么聯系和區別？

【設計意圖】問題4 通過舉例引導學生探究立方根的性質，引導學生從定義、個數、表示法、被開方數的取值范圍等角度分析平方根和立方根的異同，明確符號的含義，搭建推理運算的階梯。

【設計意圖】問題5 引導學生從互逆運算的角度進行簡便計算，明確運算的關系結構，由簡單的計算到抽象的推理，為后續驗證猜想提供推理依據。平方根和立方根是偶次方根和奇次方根最簡單的形式，由此推廣到n次方根，對n和被開方數a都要分類討論，思維和推理的難度都會增大。

【設計意圖】問題6 中先給出兩個學生熟悉的真命題，基于平方和算術平方根的特殊性，明確x、y只能等于0。追問則是立方和開立方運算，其中x和y可以是正數、0和負數。這是純代數推理題，通過演繹推理可以探究x和y的一般關系，引導學生將合情推理和演繹推理有機結合，進一步提升其代數推理能力。

二、幾點思考

1.精心設問，體現代數推理教學的內在價值

在概念課的不同教學環節中，教師應立足學生的最近發展區，設置有層次、有梯度的問題，幫助學生深入理解概念，理解數學符號和數學推理運算，建構知識框架。在立方根的教學中，筆者設計以“問”促憶、以“問”促思、以“問”促探三個環節，主問題由淺入深，使立方根的概念、表示、性質等形成體系，逐步優化學生思維，讓學生的代數推理能力逐級上升。

2.巧妙追問，挖掘代數推理教學的深度

恰到好處的連續追問，能直接觸及概念的核心，突破教學重難點，在關鍵點處給學生留以足夠的思考空間和思考深度，沖破思維定勢，形成一系列連續有效的數學思維活動，提升學生的邏輯推理能力。例如，在問題2 之后，設置4個連續追問，推動學生主動探索立方根的存在性和唯一性，順利引入立方根的概念，用追問將思維引向深處，為后續學習提供思考。

3.適時反問，提升代數推理教學的廣度

根據教材內容進行適當拓展、提出反問，不僅能夠增加新知的廣度，更有利于學生連貫而理性地思考問題。例如，在問題5 中探究關于立方和開立方運算結合的一般規律是對立方根的又一性質探究，若將n次方運算和開n次方運算相結合，則是對任意次方的探究，需要兼顧等式中每一個字母的取值范圍。此時需要從代數式的運算角度進行思考，對于含多個字母的等式純代數推理題，對抽象思維推理能力要求比較高，教學注重廣度的同時，需要兼顧不同層次的學生的推理能力，幫助學生掌握數學推理的方法，形成理性精神，提升數學素養。

通過設問、追問和反問形成較為完整的問題鏈可以驅動課堂教學的深入和發展。有效的問題鏈設計并非幾個問題的簡單堆積，而是由有各自功能價值的問題依據特定的內在聯系有機組合而成的。［3］在教學過程中，教師要引導學生解決環環相扣、螺旋上升的設問，架構完整的相關代數概念的知識框架，精準理解數學符號和數學運算，拓寬思維的廣度；借助層層遞進、入木三分的追問和反問，理清數量關系的運算和變形，將合情推理和演繹推理相結合，挖掘思維的深度，滲透數學思想方法，培養代數推理能力。