四邊簡支板結構的撓電能量采集研究

張旭方，劉 麗，傅佳宏，王鵬飛

(浙大城市學院 工程學院機械電子工程學系，浙江 杭州 310015)

0 引言

能量采集技術是一種利用能量采集器從其周圍環境中獲取能量的技術。能量采集器(俘能器)能夠利用各種新型智能材料、結構或系統，將環境中的能量轉化為電能，并加以存儲和利用[1]。近年來基于能量采集的研究成為學者們關注的熱點之一。壓電式[2-6]是使用最廣泛的能量采集方法，但壓電材料需要預先極化，使用時間過長則存在退極化現象。此外，壓電材料(如PZT陶瓷等)常含有鉛元素，制備過程中易造成環境污染。撓電材料作為一種新興的力電耦合智能材料，引起研究者的關注。正撓電效應反映了應變梯度與電場間的力電耦合關系。近年來研究者基于撓電材料進行了大量的理論與實驗研究，通過不同的理論與實驗方法確定各種撓電材料的正撓電系數與逆撓電系數[7-8]。針對撓電材料的撓電系數研究是為了更好地掌握材料特性，為進一步設計應用于不同工程中的各種撓電器件提供良好的基礎。

WANG等[9]詳細論述了固體中撓電效應近年來的發展、挑戰與前景，給出了宏觀與微觀的撓電效應的理論發展時間軸和里程碑成就。由于撓電效應與梯度有關，撓電效應在納米微小尺度應用[10-12]廣泛。近年來基于宏觀材料尺度的撓電效應也引起了人們的關注。基于正撓電效應設計出各種撓電傳感器、俘能器等對智能結構進行傳感監測與能量采集研究[13-14]。本文設計了基于一般雙曲率殼結構的撓電俘能器[15-16]，該俘能器可應用于大變形的非線性結構和小變形的線性結構，并根據不同結構的拉梅常數與曲率半徑可將基于雙曲率殼結構的撓電俘能器結構應用到不同的板殼結構[17]。

1 四邊簡支板撓電俘能器模型建立

圖1為矩形板撓電俘能器模型。矩形板長度為a，寬度為b，厚度為h。撓電片的厚度為he，上下表面均勻涂有電極，且理想粘貼在彈性板的表面。撓電片上下表面通過導線連接到外部的負載電阻上。由于he?h(h為彈性板的厚度)，故撓電片的質量與剛度對矩形板的影響可忽略。

圖1 四邊簡支板的撓電俘能器示意圖

分析過程中，假設撓電片理想地粘貼在彈性板的表面，因此，彈性板發生變形時，撓電片也相應地發生變形。撓電片的應變即為彈性板的變形，彎曲應變[15]為

(1)

(2)

(3)

式中：kij(i,j=1,2)為彎曲應變；A1,A2為x和y方向的拉梅常數；R1,R2為x和y方向的曲率半徑；ui(i=1,2,3)分別為i方向的位移分量。

對于彈性板結構，分別用x,y,z表示3個方向的坐標，考慮橫向振動時，橫向位移u3占主導，x，y方向的位移u1和u2可忽略。由結構的幾何尺寸分析，矩形板的拉梅常數A1=Ax=A2=Ay=1，曲率半徑R1=Rx=R2=Ry=∞[18]。將板結構的拉梅常數與曲率半徑代入式(1)～(3),得到彈性板的彎曲應變為

(4)

(5)

(6)

根據模態擴展法，動態位移響應u3可用模態參與因子ηmn和模態函數U3mn[19]表示為

(7)

式中:兩個求和符號表示所有參與模態的疊加；m,n分別為x、y方向的模態數；U3mn為橫向振動的(m,n)階模態函數。

結構的模態函數取決于結構的邊界條件與結構尺寸，當矩形板四邊簡支時，結構的橫向振動模態函數[19]為

(8)

當結構尺寸與邊界條件確定時，結構的固有頻率確定。固有頻率與模態為結構的固有屬性，反映了不同模態下的結構振動特性。四邊簡支板結構的(m,n)階固有頻率ωmn[19]為

(9)

式中:D為結構的彎曲剛度，定義D=Yh3/[12(1-μ2)],μ為結構材料的泊松比，Y為彈性板結構的楊氏模量；ρ為質量密度。

(10)

式中δ為狄拉克δ函數。

Nmn為與模態函數相關的常數，對于矩形板可表示為

(11)

圖2 四邊簡支板點激勵示意圖

(12)

式中ζmn為結構(m,n)階的阻尼比。

假設簡諧激勵的激勵頻率與每階模態的固有頻率相同，即每階模態均考慮共振狀態。將式(8)、(12)代入結構的動態響應式(7)可得彈性板結構在外部載荷作用下的動態響應。根據正撓電效應，撓電材料在應變梯度作用下將產生電荷作用。

2 撓電俘能器輸出電壓與功率表達

基于正撓電效應，不同方向的應變梯度在法向的梯度引起的法向的電位移[15]為

μ12(k11+k22)+ε33E3

(13)

式中：μ12為撓電系數；S11,S22為x,y方向的應變；ε33為介電常數;E3為法向方向的電場強度。

由式(13)可知，撓電俘能器的電位移只與彎曲應變有關，與結構的薄膜應變無關，且與結構的非線性項無關。將電位移在有效的電極面積即撓電片的面積Se=(x2-x1)(y2-y1)上進行積分，并根據電流源模型、麥克斯韋方程等，得到板結構的撓電力電耦合的一階方程[15]形式為

(14)

式中：RL負載電阻兩端；VRL為負載電阻兩端的電壓；τ=RLε33Se/he為時間常數；he為撓電片厚度；φmn為撓電俘能器引起的負載電阻兩端的(m,n)階模態電壓，φmn僅與由應變梯度引起的振動響應相關。

將板結構的拉梅常數A1=A2=1，曲率半徑R1=R2=∞與模態函數代入基于一般雙曲率殼的撓電模態電壓，可得到板結構撓電俘能器的模態電壓為

(15)

在(m,n)階共振狀態下，(m,n)階電壓和功率輸出可由式(15)解出，幅值[15]為

(16)

(17)

(18)

(19)

撓電俘能器的能量輸出電壓、功率與結構振動不同模態數、撓電材料尺寸、厚度與位置、模態力參數、外部負載電阻阻值、點激勵位置等參數有關。

3 撓電俘能器參數優化

下面將討論不同參數對板結構撓電俘能器的輸出電壓和功率的影響，從而優化撓電能量輸出。該撓電俘能器的彈性板采用聚丙烯材料，撓電片使用α-PVDF薄膜材料。彈性板結構及撓電片的尺寸、材料參數如表1所示。

表1 撓電片與矩形板結構的材料參數和結構尺寸

3.1 四邊簡支板頻率與模態分析

四邊簡支板的理論頻率如式(9)所示，當板結構的尺寸與邊界固定后，固有頻率與模態固定。利用有限元分析軟件，相同參數條件下與理論固有頻率fmn(fmn=ωmn/(2π))比較，表2為前10階模態的固有頻率對比結果。由表可看出，理論與有限元的誤差在2%內。

表2 理論固有頻率與有限元模擬仿真對比

彈性板橫向振動，模態較低時頻率較低，低頻振動占主導作用。當彈性板結構y方向模態數n保持不變，x方向模態數m不斷增加時，振動模態難以被激勵。因此，固有頻率隨著模態數的增加而增大。對于相同x方向模態數m，固有頻率隨著y方向模態數n的增加而增加。對比理論與有限元仿真振動結果，不同模態時的振動形式不同。為了分別考慮x,y方向的奇、偶數階模態，選取(1, 1)階、(1, 2)階、(2, 1)階和(2, 2)階模態分別進行參數分析，優化能量輸出效果。圖3為四階模態的模態陣型圖。

圖3 有限元模擬不同模態的振型圖

由圖3可看出，不同模態下振型的最大峰值位置不同，不同位置處點激勵引起的模態電壓不同。

3.2 點激勵位置對模態力的影響

圖4 不同位置點激勵對模態力的影響

由圖4可看出，對于同一個模態，外部激振力不影響模態陣型的分布，無論力的大小如何，振動形態始終保持不變。不同模型下，點激勵的作用位置不同，引起的模態力不同。當點激勵作用在各個模態的峰值位置處，引起的模態力最大。不同模態下點激勵的最優位置坐標如表3所示。

表3 不同模態下點激勵與撓電片的最優位置坐標

當明確結構參數與外部激勵后，撓電片的尺寸大小與位置分布將影響撓電俘能器的電壓與功率輸出。根據結構模態的分析，撓電片的最佳粘貼位置與每階模態的陣型密切相關，當撓電片粘貼在模態的峰值位置處，振動引起的能量較大。因此,在下面討論中假設撓電片的尺寸Δx=x2-x1=a/4,Δy=y2-y1=b/4,最優位置與點激勵的最優位置類似，如表3所示。在后面的分析中，點激勵的最優位置與撓電片的最優位置均取第一個位置坐標，即第一個峰值位置。

3.3 撓電片厚度的影響

根據第3.1、3.2節的分析，當撓電片的尺寸面積保持不變時，撓電片厚度對能量輸出的影響如圖5所示。撓電效應對厚度較敏感，厚度增加時,撓電效應減弱。但是對于每階模態，同樣尺寸的撓電俘能器，撓電片的等效電容隨著厚度的增加而減小，此時電壓與等效電容的大小成反比，隨著撓電片厚度的增加而增加。由于不考慮撓電片的質量和剛度對圓環殼結構的影響，因此,輸出功率隨著撓電片的厚度增加而增加。

圖5 不同撓電片厚度對輸出功率的影響

3.4 負載電阻的影響

本文考慮每階模態在共振狀態下的能量輸出。保持撓電片的大小、位置與厚度不變，每階模態下撓電輸出的功率與電阻的關系如圖6所示。不同模態下，在某個特定的負載電阻下輸出功率達到最大。當負載電阻大于或小于該負載電阻時，輸出功率均迅速減小。該特定的負載電阻即該系統的最優電阻，每階模態的最優電阻如圖7所示。

圖6 不同負載電阻對輸出功率的影響

圖7 不同模態的最優負載電阻

該最優的外部負載電阻與電路的截止頻率和電容有關，即電路的阻抗匹配。當外部負載電阻與電路阻抗相匹配時，負載電阻上的輸出功率最大。匹配的阻抗(即最優電阻)與電路的截斷頻率(激勵頻率)和電容成反比，即滿足RL=1/(Cω)。隨著模態數的增加，撓電片的電容保持不變，結構的固有頻率增大，因此,每階模態的最優電阻減小。

4 結束語

基于一般雙曲率殼撓電俘能器模型的理論基礎，本文建立了四邊簡支板結構的撓電俘能器模型，并針對俘能器的不同結構尺寸和撓電材料參數，詳細分析了不同參數對能量輸出的影響。結果表明，每階模態下結構振動的模態陣型不同，陣型直接影響點激勵與撓電片的分布位置。每階模態下，點激勵與撓電片放置在陣型的峰值位置處能量輸出較大。撓電片的尺寸與厚度也影響俘能器能量的輸出。每階模態下，輸出功率均有一個最優的外部負載，即匹配的阻抗使能量輸出最大。分析優化不同參數對輸出功率的影響，為以后的理論設計與分析提供了理論依據。