基于發展推理能力的數學實驗教學例析*

許 彬

(江蘇省蘇州中學園區校 215021)

《義務教育數學課程標準(2011年版)》(以下簡稱《課標(2011年版)》)指出：推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式[1]．推理能力是學生適應終身發展和社會發展需求的關鍵能力，是數學課程和數學教學的重要目標．數學實驗是以“做”為支架，學生運用相關實驗工具，通過實際操作、提出猜想、驗證結論，理解數學知識的思維活動．在實驗活動過程中，學生使用合情推理作歸納、類比、猜想，并用演繹推理給予證明，因此數學實驗為學生推理能力發展提供適宜的問題情境，給推理能力發展足夠的活動空間和機會，它是一種發展學生推理能力的有效方式．在蘇州市第5屆數學實驗專題活動中，筆者基于發展學生推理能力設計并執教了“探究圓心運動路徑問題”的數學實驗課，本文筆者以數學實驗的教學設計與思考作例析，以饗讀者．

1 數學實驗教學設計與分析

1.1 數學實驗的教學目標

(1)經歷數學實驗，探究圓在圖形內、外滾動時，圓心經過的路徑長．

(2)在操作、觀察、猜想、歸納中發展合情推理能力，經歷計算、證明等實驗活動，發展演繹推理能力．

(3)通過數學實驗，積累活動經驗，感受數學文化．

1.2 數學實驗的教學準備

授課對象是九年級學生，已經學完江蘇科技版數學九年級上冊全部內容，全班共分6個小組，每組7人，教學時長45分鐘．每組已準備的實驗工具有：半徑1 cm的塑料圓片1個；半徑3 cm的圓圈1個；邊長4 cm的正方形框架1個；邊長 6 cm的正三角形框架1個；萬花尺一套；五彩筆1盒；尖頭細木棒1根；炫彩紙4張；三角尺1副，量角器、圓規各1個．

1.3 數學實驗的教學設計與分析

實驗1：探究內滾圓的圓心路徑長

(1)圓與圓內切時圓心運動路徑長

①操作與計算：將筆尖插入小圓片的圓心，如圖1使小圓沿著圓圈內滾一周，圓心O運動的路徑是多長？

圖1

②猜想并驗證：若⊙O的半徑為r，⊙O′的半徑為R，點O運動的路徑長是多少？

設計分析九年級學生已學完圓的知識，實驗(1)對于他們來說比較容易，開始的低起點能使學生快速融入課堂．從猜想到驗證，合情推理和演繹推理依次訓練．

(2)圓與正多邊形“內切”時圓心運動路徑長

①操作與驗證：將筆尖插入小圓片，如圖2放在邊長為4 cm的正方形框內，小圓片與正方形的邊保持相切滾動一周，求點O運動的路徑長并予以驗證．

圖2 圖3 圖4

②類比與思考：若將①中的小圓片放在邊長為6 cm的正三角形框內，如圖3小圓片與正三角形的邊保持相切滾動一周，點O運動的路徑長是多少？若框架是邊長6 cm的正六邊形呢？

③猜想與歸納：若半徑為r的⊙O在邊長為a(a>2r)的正n邊形內，如圖4小圓片與正n邊形的邊滾動一周，先猜想點O運動的路徑長，再歸納出一般結論．

圖5 圖6

圖7 圖8

實驗2：探究多邊形外滾圓的圓心運動路徑長

(1)操作與觀察：借助兩圓外切的概念(圖9)將筆尖插入小圓片，放在邊長4 cm的正方形框外部，如圖10，沿著正方形邊框滾動一周，此時圓心O運動的路徑長是多少？

圖9 圖10

(2)類比與思考：如圖11，小圓片在△ABC外沿著邊滾動一周，若△ABC的周長是12 cm，類比(1)畫圖并求圓心O運動路徑長．

圖11 圖12

(3)猜想與驗證：如圖12，半徑為r的⊙O在多邊形外部沿著多邊形的邊滾動一周，若多邊形周長是C，試問圓心O運動的路徑長是多少？請猜想并驗證.

圖13 圖14 圖15

實驗3：實驗之美

圖16中是一副萬花尺，將筆尖插入小孔，使小尺在大尺內、外滾動起來，交流、展示筆尖的運動路徑圖案．

圖16 圖17

設計分析該活動與實驗1、2相呼應，使學生體驗實驗之美，感受與數學實驗相關的“繁花曲線”文化．圖17是學生用竹簽或五彩筆插入萬花尺，可在白紙或炫彩紙上畫出如圖18、19的美麗圖案．同時教師向學生介紹“繁花曲線”的創作人楊秉烈先生，講述他發現和創作的經歷，激勵學生要善于發現，勇于創新．

圖18 圖19

2 思考

第24屆“國際數學家大會”圓桌會議達成共識：“培養學生的推理能力應當作為數學教育的中心任務”．《課標(2011年版)》把“推理能力”作為10個核心概念之一，充分體現發展學生數學推理能力的重要意義．

2.1 數學實驗為發展學生推理能力提供適宜的問題情境

該數學實驗教學用精心設計的問題情境引導學生自主探索數學結論，推理能力在數學實驗探究中得到鍛煉和發展．首先，用問題情境激發出學生的探究興趣和求知欲，如“將筆尖插入小圓片的圓心，使小圓沿著圓圈內滾一周”，學生邊操作邊觀察，邊嘗試邊思考，目的是為了正確得到“圓心O運動的路徑長”.一個個這樣的問題情境貫穿數學實驗始末，學生在探究興趣和求知欲的推動下主動觀察、歸納、猜想、驗證，合情推理與演繹推理相互促進發展．其次，用開放性問題情境給學生推理能力發展留出余地，如“半徑為r的⊙O，在多邊形外部，沿著多邊形的邊滾動一周，若多邊形周長是C，試問圓心O運動的路徑長是多少”、用萬花尺畫各種美妙圖案等，這些問題情境的結果都是開放性的、多元的，學生要經過數學實驗操作和驗證才能得出論斷．最后，用可操作性問題情境化抽象數學知識為具象，使學生變“想數學”為“做數學”，變被動接受為主動探究，學生的推理能力和意識在具象化的數學實驗活動中得到切實鍛煉．案例中數學實驗的教學設計思路如圖20所示．

圖20

2.2 數學實驗為發展學生推理能力提供豐富的活動空間與時機