2022年全國(guó)高考數(shù)學(xué)乙卷導(dǎo)數(shù)壓軸題的簡(jiǎn)單解法

曹會(huì)洲

(安徽省定遠(yuǎn)中學(xué) 233200)

2022年全國(guó)高考數(shù)學(xué)乙卷第21題是一道導(dǎo)數(shù)壓軸題，題目如下：

已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)+axe-x，其中a∈R．

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；

(2)若f(x)在區(qū)間(-1,0)和(0,+∞)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

本題第(1)題較容易，不再贅述.以下重點(diǎn)討論第(2)題，給出一個(gè)簡(jiǎn)單解法：

由題意知，f(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+∞)各恰有一個(gè)零點(diǎn)?方程ln(1+x)+axe-x=0在區(qū)間(-1,0),(0,+∞)各有一個(gè)實(shí)根?函數(shù)g(x)=exln(1+x)與y=-ax的圖象在區(qū)間(-1,0),(0,+∞)各恰有一個(gè)交點(diǎn)．

至此可以作出g(x)的大致圖象，如圖1所示．又g′(0)=1，所以g(x)在x=0處的切線方程為y=x，要使函數(shù)g(x)=exln(1+x)與y=-ax的圖象在區(qū)間(-1,0),(0, +∞)各恰有一個(gè)交點(diǎn)，則-a>1，從而a<-1．

圖1