不畏浮云遮望眼 只緣“構造”在心頭
——幾種構造函數的方法在高考解題中的運用

周 萍

(江蘇省昆山經濟技術開發區高級中學 215300)

函數是高中數學的重要內容，近幾年間構造函數法在高考試題中屢次出現．本文介紹幾種構造函數的方法來解決高考數學試題．

1 用同構法構造函數

1.1 簡單的函數構造

點評通過觀察，這兩個方程相似，所以只需結合三角公式將第二個方程進行適當的變形，便可得出與第一個方程相同的形式，再構造函數．

例2(2021年南通一模)若alna>blnb>clnc=1，則下列關系正確的是( )．

A．eb+clna>ec+alnb>ea+blnc

B．ec+alnb>eb+clna>ea+blnc

C．ea+blnc>ec+alnb>eb+clna

D．ea+blnc>eb+clna>ec+alnb

1.2 對稱法構造函數

例3(2019年鄭州三模)已知f(x)在R上存在導函數f′(x)，對任意x∈R，有f(x)-f(-x)=x3，在(0,+∞)上有2f′(x)-3x2>0，若f(m-2)-f(m)≥-3m2+6m-4，則實數m的取值范圍是( )．

A．[-1,1] B．(-∞,1]

C．[1,+∞) D．(-∞,-1]∪[1,+∞)

1.3 ex與ln x型同構式構造函數

此類同構式常用形式有xex和xlnx，即xex=eln xex，xlnx=(lnx)eln x；還有x+ex和x+ lnx，即x+ex=eln x+ex，x+lnx=eln x+lnx．

A．[1,+∞) B．[e,+∞)

例5(2020年新高考全國Ⅰ卷)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna．

(1)略；(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍．

點評同構式函數其實是復合函數的另一種改寫方式，只要復合函數能解決的問題，同構式基本可隨之解決．近幾年高考中的一些不等式恒成立求參數范圍問題、零點存在問題及不等式證明中，用同構式的方法屢次出現．

以上構造函數的方法主要可通過因式分解、移項、通分、除以同因式、兩邊取對數等手段，將方程或不等式“改頭換面”，使其變成結構相同的方程或不等式，亦或是復合函數形式等，進而構造出較易解決的新函數．這就要求學生善于觀察題設中的函數形式，挖掘其本質，并熟悉常見的函數形式，抽絲剝繭，系統分析．

2 用放縮法構造函數

在高中壓軸題中，不等式的證明或者參數范圍的求解往往蘊含較復雜的形式，需要利用不等式的傳遞性，將原有形式進行放大或縮小，進而簡化求解過程．高中階段最常用的有三種放縮，其原理都是利用曲線的切線，將指數、對數、三角函數放縮成一次函數形式．

2.1 基于指數放縮ex≥x+1構造函數

例6(2021年蘇州期初調研)已知函數f(x)=xeax-lnx，其中a>0．

(1)略；(2)對于給定的常數a，若f(x)≥bx+1對x∈(0,+∞)恒成立，求證：b≤a．

點評本題函數結構較復雜，所以先“同構”，使得變量統一成ax+lnx這一整體，再立足于指數放縮式ex≥x+1，得到eax+ln x≥ax+ lnx+1，最終達到消除變量的目的．

2.2 基于對數放縮x-1≥ln x構造函數

例7(2021年南京一模)設函數f(x)=ax+e-x(a>1)．

(1)求證：f(x)有極值點；

(2)設f(x)的極值點為x0，若對任意正整數a都有x0∈(m,n)，其中m,n∈Z，求n-m的最小值．

點評本題中涵蓋除變量x外的某些參數，受其結構和參數的影響，其處理步驟無法順利進行，所以采用對數放縮x-1≥lnx，簡化求解過程．

2.3 基于三角放縮sin x≤x≤tan x構造函數

例8(2021年八省聯考)已知函數g(x)= ex+sinx+cosx．

(1)略；(2)若g(x)≥2+ax，求a．

當x<0時，同理可得a≥2，故a=2．

點評本題將三角放縮和指數放縮完美結合，化曲為直，使放縮這一構造函數的方法在導數不等式的求解中大放異彩．

3 極值點偏移條件下的函數構造

在“極值點偏移”條件下構造函數，一般用于f(x)是連續函數，在(x1,x2)上有唯一極值點x0，且在f(x1)=f(x2)成立的前提下，x1,x2與極值點x0之間不等關系的證明．處理這類問題主要有以下兩種方法.

3.1 主元對稱化構造函數

例9(2021年新高考卷)已知f(x)=x(1- lnx)．