線上教學背景下的師生有效互動實踐探究
——以“平分三角形面積問題”的專題課為例

200126 上海市民辦福山正達外國語學校 支 鑫

教學互動是指學生與教師、學生與學生之間在教學內容、教學情境等方面的互動．有效互動的形式主要包括師生互動、生生互動以及學生與文本互動．線上教學過程中，師生課上交流的距離變遠了，但課后交流的距離卻變近了．此消彼長，這為數學專題課教學拓展了時間和空間．

良好的互動是圍繞教學目標展開，通過問題設計、比較分析、表達與交流等途徑，引導學生進行深入思考，產生思維碰撞的火花，從而實現教師與學生的共同發展．專題探究課不僅僅是對教材內容的拓展應用，同時更注重培養學生發現和提出問題的能力，以及進行綜合性、探究性學習的能力．因其內容坡度大、思考內容多、思考過程中個體差異大，故傳統課堂教學很難讓每位學生充分體驗到探究的完整過程．為此,筆者充分利用線上教學的優勢，采取多種互動方式，充分調動學生自主探究的積極性，同時結合變式教學，對題目的條件進行變式和推廣，引導學生由淺入深，步步深化，從而提高教學效率．

一、 研讀講義,獨立思考

問題1如圖1，點P為△ABC邊BC上一點，且BP

圖1

從學生的作業完成情況來看，大部分學生都能想到作三角形的一條中線，但實際上學生對這條中線所起到的作用并不明確，對于后續如何確定點Q的位置也沒有思路．根據學生作業情況的反饋，教師提供了一份閱讀講義(如表1所示)，闡述分析思路，引導學生通過研讀講義，自行找出問題中的條件與涉及的知識點之間的內在聯系，從而獨立解決問題．

表1 “過三角形邊上一點作直線平分三角形面積問題”閱讀講義

“書讀百遍,其義自見”，反復閱讀講義的過程也是學生進行深入思考的過程．學生受講義啟發，嘗試再作三角形中線．不難判斷點一定在邊上．那么只需利用平行線的性質推論，構造兩個面積相等的三角形，進而可以找到點Q的位置．

畫法1：取BC邊的中點D，聯結AP，AD(如圖2所示)．過點D作AP的平行線，與AC交于點Q，則直線PQ即為所求．

圖2

從上述解題過程可以看出，解決此題的關鍵在于畫出中線，找到需要進行面積互換的兩個三角形，并由此畫出平行線，進而找到平行線與三角形一邊的交點，即為點Q．此例的設計充分運用了平行線的性質推論,為后續問題的解決提供了最基本的范例．

二、 生生互動，小組交流

與此同時，還有學生提出疑問，既然可以通過作BC邊上的中線來解決問題，那么若作另兩邊的中線，方法是否相同？于是開始嘗試第二種方法，作AC邊上的中線．

畫法2：取AC的中點D，聯結PD，BD(如圖3所示)．過點B作PD的平行線，與AC交于點Q，則直線PQ是△ABC的面積平分線．

圖3

畫法2的產生是由于個別學生提出猜想，主動嘗試并成功解決，得出結論，于是教師建議學生自行錄制講解視頻，將自己的思考過程和題目的做法完整呈現，與其他學生交流分享．學生在錄制講解視頻的過程中反復修改講解稿，學習數學語言的使用規范，研究作圖方法和視頻錄制方法，鍛煉了動手能力以及使用數學語言表述問題的能力．與此同時，其他學生通過觀看視頻、小組交流也掌握了此題的作圖方法．訂正作業的完成情況也得到了改善．由文本互動到生生互動，教師對學生提交的線上作業及時給予反饋，不斷增強學生的自信和繼續探究的興趣．

完成前兩種畫法后，師生共同提出第三種畫法，作第三條邊AB邊上的中線，結果又會如何呢？為了更好地處理這個問題，首先需要總結前兩種方法中的規律．師生發現本題的解題思路分為兩步.第一步，畫出三角形的一條中線，構造一個三角形使其面積等于原三角形面積的一半；第二步，利用平行線的性質，構造等積三角形．

本節專題課進行到此，前兩種方法的解答皆由學生通過自行閱讀講義或觀看講題小視頻來完成．但在畫法3的嘗試中，學生還是遇到了困難．此時教師登場，對此種方法進行講解．通過構造同底等積的三角形，將不規則圖形的面積巧妙轉化為規則圖形的面積．

三、 師生聯手,教學相長

學生在畫圖的過程中發現了問題，在過點C作PD的平行線時，發現它與△ABC的邊的交點并不在三角形內部(如圖4所示).即用于交換的面積相等的兩個三角形△BMP、△BCD有部分(△AMN)不在△ABC中，需再次利用平行線的性質，在△ABC的內部構造△PNQ，使得S△PNQ=S△AMN.

畫法3：如圖4，取AB的中點D，聯結CD，PD．過△ABC的頂點C作PD的平行線，與邊BA的延長線交于點M．聯結AP，過點M作AP∥MQ，與AC交于點Q．則直線PQ是△ABC的面積平分線．

從提出質疑到問題解決，學生經歷了“研讀講義，獨立思考”“生生互動，小組交流”“師生聯手，教學相長”三種互動方式．在線上教學背景下，師生形成了一個互相信任的“學習共同體”，加強了學生對數學知識和思想方法的理解和變通，培養了學生自主分析和解決問題的能力．在這一過程中，教師扮演的角色與其說是說教者，不如說是交流互動平臺的提供者．

學生通過畫圖、研究發現畫法之所以不同的原因之一是受點P的位置影響，從而教師提出思考.若點P為動點，那么點P的位置與以上三種方法之間是否有關聯，有什么關聯？教師將問題一般化，但解決問題的方法實質并沒有變．師生再接再厲，開始迎接第二個挑戰．

問題2點P為△ABC邊BC上任意一點，請過點P作直線l，使該直線把△ABC分成面積相等的兩個部分(嘗試用多種方法畫圖)．

根據問題1的經驗，可通過作三角形的一條中線來輔助完成本題.此時不妨規定選擇作AC邊的中線作為輔助.讓學生嘗試點P選擇不同位置時的畫圖，得出三種結果．如圖5，當點P為BC的中點時(即點P與點D重合時)，直線l就是AP.如圖6，當點P位于BC中點左邊時，會生成上述畫法2的情況．而如圖7，當點P選在BC邊中點的右邊時，會生成上述畫法3的情況，即過點B作PD的平行線時,平行線與AC的交點在△ABC的外部．在鞏固三種畫法同時，也總結出點的位置與以上三種畫法之間的聯系．如此一來，換一個角度，也真正看透了三種畫法的分類本質．

圖4圖5

圖6圖7

四、 類比遷移，逐步感悟數學思想

基于以上思考，教師繼續追問：若點P不選在三角形的邊上，而是選擇在三角形內部，會發現方法失效．對條件進行微調，在變直為曲的情況下，探索畫法是否仍然守恒．

問題3△ABC內有一點P，試在BC上確定點Q，使得折線A-P-Q恰好將△ABC的面積平分.

作法：如圖8，取BC的中點D，聯結PD，過A作PD的平行線交BC于點Q，則折線A-P-Q即為所求．

圖8

本題將點P的位置從“三角形上”移動到“三角形內”，題目的條件雖然發生改變，但解決問題的方法依然離不開畫中線和平行線再構造等積三角形．這是對上述畫法的推廣應用，學生可以拾階而上，類比遷移，逐步感悟數學思想．

學生在經歷了問題2的三種方法后，在知識層面上對于平行線性質推論的掌握和應用能力有了較明顯的提升．同時在分析問題、解決問題等思維能力方面，學生也會主動將問題與學習過的知識建立聯系，大膽嘗試，小心求證，尋求解決問題的方法．更令筆者欣喜的是，學生還會不斷提出新的問題，自主尋求新方法，為這類問題的解決方案提供了更多的可能性．

問題3的作業完成情況有了很大進步.此時，已有學生提出，似乎當點P位置變化時，方法也會不同．于是教師再次乘勝追擊，布置問題4．將原圖中點P的位置稍作調整，探尋點P的位置對畫法的影響．

問題4如圖9，△ABC內有一點P，試在AC上確定點Q，使得折線A-P-Q恰好將△ABC的面積平分．

圖9

學生的分析思路非常有意義，最可取之處在于有判斷、有構思．(1)判斷點Q在邊AC上；(2)假設了三種不同中線的畫法(如圖10所示)，明確了要交換部分的面積(淺灰部分與深灰部分互換)，為進一步畫圖提供了直觀的思路；(3)選擇熟悉的、較規則的圖形進行面積互換．

圖10

下面展示學生的兩種畫法.

畫法1：如圖11，取BC的中點D，聯結PD，過A作PD的平行線，與BC的延長線交于點M，PM與AC交于點E，聯結PC，過點M，作MQ∥PC，交AC于點Q.AD與PQ交于點O．

圖11

畫法2：如圖12，取AB的中點D，聯結CD，過A作PD的平行線交CD于點M；過點M作MQ∥PC，交AC于點Q.通過平行線構造兩組面積相等的三角形，實現面積互換．

圖12

學生自行提出問題、探究解決方案，研究興趣高漲．于是筆者順勢再次調整題目的條件，將點P位置重新移回到三角形邊上．

問題5如圖13，點P在△ABC的邊BC上，試在AC上確定點Q，使得折線A-P-Q恰好將△ABC的面積平分．

圖13

在解決問題的過程中分別選擇了三種中線的情況,但用到的知識和方法大體相同,則畫法1共有三種情況(如圖14所示)．

圖14

問題1到問題5的教學共持續一周時間．線上教學實施過程中，學生的課程學習主要依靠空中課堂和線上直播的方式來完成．在居家學習期間，學生每日的學習時間較為自由，可根據需要自行安排．同時，利用釘釘平臺的視頻會議模式，也可有效開展小組協作、師生互動等活動．在疫情防控、居家隔離的大環境下，學生面臨著學習方式的改變，勢必存在自主管理靠自己、課堂效果難監測等問題．但與此同時，教師可充分發揮線上教學在時間和空間上的優勢，為學生提供各類學習資源，強調以學生為主體的學習模式，從而激發學生學習的積極性和創造性．