對一道解三角形求取值范圍問題的思考*

呂佳峻 (山東省平度市第九中學2020級4班 266700) 指導教師 姜尚鵬

1 問題提出

近期做了一道有關解三角形的高考題，題目如下：

(1)求角B；

(2)求cosA+cosB+cosC的取值范圍．

第(2)題，因為知道了角B，實際上就是求cosA+cosC.對于雙變量問題，我們習慣化成單變量問題解決，這樣這個題的關鍵就是怎樣把兩個角化成一個角．cosA可以化成cos(π-B-C)，再通過誘導公式化簡，因為角B在第(1)題已經求出，所以原式就轉化成了只含一個變量的式子，又因為三角形是銳角△ABC，即三個角都是銳角，所以可求出角C的取值范圍，進而求出原式的取值范圍．

下面是解答過程．

這道題目的解答比較常規，也沒有什么特別難的地方，但研究高考題關鍵是從高考題中總結出高考題考查的方向，從而為迎接后面的高考做準備，所以我對這道高考題進行了深入的思考．

2 幾點思考

2.1 從三角函數的名稱角度進行變式

思考1 既然高考題可以考查兩個角余弦的和的取值范圍，那是不是也可以考查兩個角正弦的和的取值范圍呢？

2.2 從三角函數的運算角度進行變式

思考2 既然可以考查兩個角正弦的和的取值范圍，那是不是也可以考查它們的差、積、商的取值范圍呢？

通過搜集其他高考題發現，題目5的類型確實在2019年全國統一高考數學試卷(新課標III文)考查過，題目如下：

(1)求B；

(2)若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍．

第(2)題的解答過程是不是與題目5的解答驚人地相似？心中油然而生一種自豪感，原來我也可以命制高考題了．

2.3 從三角形中邊的角度進行變式

思考3 三角形的元素分為角和邊，前面主要都是求角的正弦或余弦的取值范圍，那么是不是也可以求邊的取值范圍呢？

思考4 三角形內角的三角函數之間可以通過加減乘除求取值范圍，那三角形的邊是不是也可以通過加減乘除求取值范圍呢？下面讓我們來研究一下吧！

題目7—9很顯然都可以化成邊對應角的正弦求解，轉化成前面熟悉的問題，對于題目8還可以用基本不等式求解．

2.4 從三角形中邊的幾何意義進行變式

思考5 由題目1我發現，命題老師沒有簡單考查cosA+cosC的取值范圍，而是考查了cosA+cosB+cosC的取值范圍，所以我想題目6考查a+c的取值范圍，是不是也可以考查a+b+c的取值范圍呢？這樣的好處是三條邊的和有幾何意義，可以直接說求△ABC的周長的取值范圍．

思考6 同樣，對于求ac的取值范圍，也可以賦予這個式子幾何意義，改成求△ABC面積的取值范圍．

思考7 既然有些式子是有相應的幾何意義的，那是不是可以借助于幾何意義解題呢？

關于求△ABC周長和面積的取值范圍也是高考命題的熱點，原來出題老師是經歷了這樣的一個過程才命制出來的，不得不佩服，出題老師真的是煞費苦心了．

這樣，就可以總結出解三角形中求取值范圍問題的解決策略：(1)化角——轉化為一元函數求取值范圍；(2)化邊——結合基本不等式求取值范圍；(3)化形——利用數形結合思想求取值范圍．

3 結束語

通過這次對高考題深入的思考，我發現自己對解三角形知識的認知更上一層樓，并且發現原來高考題不是隨便命制出來的，也是有一定的命制原則的.當我們能從數學的思維和邏輯出發，對高考題多思考一下，說不定我們也可以命制出高考題．同時，我也發現命制一道高考題凝聚了命題人的心血，因此，在后面的數學學習生活中，我會用更加認真的態度來對待數學，并懷著崇敬的心情求解數學題．

指導教師點評：呂佳峻同學的這篇文章，從學生的視角給我們展現了對于一道高考題，可以從哪些角度進行思考．他先從簡單的變換角的三角函數名入手進行變式，之后上升到運算的變式，再之后由角過渡到邊的變式，最后又賦予了邊的運算相應的幾何意義進行變式，整個思維過程層層深入，思考也越來越有深度，很好地展現了一位高中生良好的數學素養．同時關于求解解三角形中取值范圍問題的解決策略也是不斷地增加，從最初的“化角”，到中間的“化邊”，到最后的“化形”，解法不斷完善．題目的不斷變式，體現了呂佳峻同學掌握知識的廣度和思考問題的深度；解法的不斷完善，體現了呂佳峻同學解決問題能力的厚度，這篇文章為高中生如何思考數學問題提供了范例，值得借鑒．