含高次多項式的分式求值方法探索

孫志東

【摘要】 本文對一道2022年云南中考數學壓軸大題進行了探索，這道試題是有關含高次多項式的分式求值問題，筆者從降冪視角、洞悉代數結構發現整體轉化視角、逆向思維與配湊策略相結合的視角出發，共得到五種方法.

【關鍵詞】 中考壓軸題；高次多項式；降冪；轉化；配湊

1 考題呈現

已知拋物線y=-x2-3x+c經過點（0，2），且與x軸交于A，B兩點.設k是拋物線y=-3x+c與x軸交點的橫坐標，M是拋物線y=-x2-3x+c上的點，常數m>0，S為△ABM的面積.已知使S=m成立的點M恰好有三個，設T為這三個點的縱坐標的和.

（1）求c的值；

（2）直接寫出T的值；

（3）求k4k8+k6+2k4+4k2+16的值.

由于前兩小題都較為基礎，現在直接給出答案：（1）c=2；（2）T=-114；本文重點探索第（3）小題的求值方法.

2 解法視角

解法1 由k是拋物線y=-x2-3x+2與x軸交點的橫坐標可知k2+3k-2=0，

這樣我們可得k2=2-3k，

k4=（k2）2=10-73k，

k6=k2·k4=62-453k，

k8=（k4）2=394-2873k.

所以k4k8+k6+2k4+4k2+16

=10-73k394-2873k+62-453k+2（10-73k）+4（2-3k）+16

=10-73k500-3503k

=150.

注 這種降冪的方法程序性特別強，考慮到分母中每一含k的項的指數分別是2，4，6，8，所以只要用k的一次式表示出k2，則k4，k6，k8都可以化為含k的一次式，從思路上來說比較容易想到，但因為隨著指數越來越大，一次式的系數也越來越大，所以運算量較大.

解法2 由k2+3k-2=0，得

k2=2-3k，

所以k4=（k2）2=10-73k.

設分母為A，則

A=（k8+2k4+1）+（k6+4k2）+15

=（k4+1）2+k2（k4+4）+15

=（11-73k）2+（2-3k）（14-73）+15

=168k2-1823k+164

=168（2-3k）-1823k+164

=500-3503k.

所以所求=10-73k500-3503k=150.

注 這種對復雜多項式利用完全公式、提公因式等進行恒等變形，運算量明顯減少了.

解法3 由k2+3k-2=0知k≠0，

可得k-2k=-3，

所以k2+4k2=7，

k4+16k4=41.

從而 k4k8+k6+2k4+4k2+16

=1k4+k2+2+4k2+16k4

=1k4+16k4+k2+4k2+2

=141+7+2=150.

注 這種方法整體上洞悉了分子和分母的代數式結構，通過分式的基本性質：分子、分母都除以分子，分母便變成了k4+16k4+k2+4k2+2這樣的形式，這樣只需把k-2k=-3兩邊平方便得到k2+4k2=7，再平方便得到k4+16k4=41，最后整體代入就行了.可以看出這種解法計算量非常少，過程十分簡潔，它的神奇之處在于從k-2k=-3兩邊平方去掉無理數后，后面的過程就再也沒有無理數的運算.

解法4 由k2+3k-2=0得

k2=2-3k，①，

則k4=10-73k，②

由①和②得

k4=7k2-4，7k2=k4+4，

所以 k4k8+k6+2k4+4k2+16

=k4（k4+1）2+k2（k4+4）+15

=k4（7k2-3）2+k2·7k2+15

=k456k4-42k2+24

=k456k4-6（k4+4）+24

=k450k4=150.

注 此法采用轉化的思路，通過配方或用k的二次代的四次的形式把分母轉為k的四次式，這是一種變形的策略.

解法5 由k2+3k-2=0得

k2=2-3k，①

則k4=10-73k，②

由①和②得

k4-7k2=-4，7k2-4=k4.

設分母為A，則

A=（k4-7k2）（k4+8k2）+58k4+4k2+16

=-4（k4+8k2）+58k4+4k2+16

=54k4-28k2+16

=54k4-4（7k2-4）

=54k4-4k4=50k4.

所以所求=150.

注 與解法4類似，本法也是采用轉化法的思路，通過配湊或用k的二次代k的四次的形式把分母轉為的k四次式.

小結

這樣一道含高次多項式的分式求值的問題經過思路的不斷探索，找到了降冪的思路，比如解法1和解法2；以及觀察代數式結構實現整體變形、代入的技巧，達到了問題的巧妙而簡單的求解，比如解法3；最后考慮到分母是k4，想法設法直接把分母轉化為k4的形式，這里不僅運用轉化的途徑：配方、提公因式，而且運用了反代的逆向思維，實現了問題的另類求解，達到了思維的創新發展.