動態光散射中非負最小二乘反演算法的研究*

李開瑋 ， 張智明 ，李振華

（1.廣東理工學院智能制造學院，廣東 肇慶 526100；2.廣東理工學院大學物理實驗中心，廣東 肇慶 526100）

0 引言

納米顆粒具有表面效應和小尺寸效應，在環保、生物等技術上被廣泛應用，納米顆粒的尺寸分布對于它的應用來說是一個重要的參數[1-3]。在測量粒徑尺寸的方法中，動態光散射具有實時、快速、無損的優勢，因而得到了廣泛的應用[4-5]。動態光散射是基于液體中懸浮粒子的布朗運動，布朗運動將導致散射光強隨時間漲落，通過散射光的相關分析得到散射光的光強自相關函數，該函數包含了粒子的尺寸信息，通過反演算法可以獲得粒徑尺寸分布。該反演算法的主要功能是求解一類Fredholm積分方程，該方程是一個病態問題，為了提高反演結果的精確性，基于不同的理論，許多優化算法被提了出來。主要的優化算法有累積量法[6-7]、非負最小二乘法[8-9]、約束正則化算法[10]等，每種算法都有自己的優勢和缺點，其中非負最小二乘法因原理簡單、結果精確且能給出尺寸分布函數而得到廣泛應用。

本文接下來將以第一部分介紹非負最小二乘反演算法原理，第二部分介紹程序算法及模擬內容，最后總結非負最小二乘法在動態光散射中的應用方法。

1 動態光散射中非負最小二乘反演算法原理

在動態光散射實驗中，入射光以一角度照射在樣品上，由于顆粒的布朗運動，散射光強將產生漲落現象，對散射光信號進行相關分析可得到光強自相關函數g(2)(τ)，它與光場自相關函數g(1)(τ)具有Siegert關系，如式（1）所示[11]。

其中，β是光學相干因子，τ是延遲時間。而粒子尺寸分布PSD與g(1)(τ)的關系如式（2）所示[12]。

其中，Γ是衰減線寬，G(Γ)是歸一化衰減線寬分布函數，Γ與粒子尺寸關系如式（3）所示。

其中，d是粒子直徑，n是液體折射率，KB是玻爾茲曼常數，T是液體絕對溫度，λ是入射光的波長，η是液體的粘滯系數，θ是散射角。當求解積分方程式（2）得到G(Γ)后，可根據式（3）得到粒徑尺寸分布PSD。

為了計算G(Γ)，將式（2）離散化得到式（4）：

其中，N是粒子尺寸分布的離散點個數，M是相關器的通道個數。式（4）可以被表示成非負最小二乘問題。

其中Aij=exp(-Γiτj)是一個M×N核矩陣，bj=g(1)(τj)是實驗中相關器通道獲得的數據，xi=G(Γi)是所要求的解。由于M≠N且b中含有噪聲誤差，因此式（5）無法求得精確，只能得到最優解，通過使||Ax-b||2最小，如式（6）所示，即可得到最優解。

2 模擬研究

為了得到粒子尺寸分布PSD，求解式（5）即反演算法顯得至關重要，本文以最小二乘法原理為基礎[13]，加上非負約束，編寫了反演算法程序，用來求解式（6）。反演過程如下：首先設定粒子尺寸分布數組｛d1,d2,...dN｝，相鄰兩個尺寸間隔Δd=dk+1-dk設置為相等，然后由式（3）求得衰減線寬數組｛Γ1,Γ2,...ΓN｝，再設定延遲時間數組｛τ1,τ2,...τM｝，創建核矩陣A，然后利用A及實驗數據b，通過非負最小二乘法求解粒子尺寸分布的最優解xbest。

反演算法中，需要對粒子尺寸作離散化處理，是否選擇了合適的粒子尺寸范圍和粒子尺寸間隔Δd創建核矩陣，對反演結果精確性有著很大的影響[12-14]。另外在實驗中b中含有的噪聲信號也會影響反演結果的可靠性[15]。因此在做實驗前有必要研究反演結果與以上各因素之間的關系。

假設粒子尺寸分布理論值為單峰高斯分布。

其中，dc為粒子中心尺寸，σ為峰寬，在模擬中選取實驗參數為KB=1.38× 10-23J/B，T=298.15 K，η=0.89 Pa·s，n=1.331 6，λ=632.8 nm。

首先利用程序反演窄帶高斯分布，設dc=200 nm，σ=10 nm，通過程序反演了不同步長Δd下的粒子尺寸分布PSD，圖1為Δd從5 nm到15 nm變化時的反演粒徑尺寸分布，當步長小于σ時，如圖1（a）所示，粒徑尺寸分布出現許多錯峰；而當步長大于σ時，如圖1（b）所示，粒徑尺寸分布接近真實值，峰值尺寸也十分接近真實值，很好地反映出了粒子尺寸分布PSD。

圖1 不同步長下窄帶高斯分布反演粒徑分布

接下來利用程序反演寬帶高斯分布，設dc=200 nm，σ=30 nm，圖2為Δd從5 nm到40 nm變化時反演的粒徑尺寸分布，如圖2（a）可以看到當步長小于σ時，粒徑尺寸分布出現多峰，與真實分布有較大差距；再看圖2（b），當步長大于σ時，粒徑分布變為單峰，與真實分布幾乎一致，精確性提高了許多。

圖2 不同步長下寬帶高斯分布反演粒徑分布

緊接著，模擬實驗情況，給b加上噪聲信號，探討程序反演算法的抗噪聲性能，設dc=200 nm，σ=10 nm，Δd=10 nm，圖3為噪聲從0.001到0.011時的反演粒徑尺寸分布圖，由圖3可知，在存在噪聲的情況下，峰值都會增高，粒徑尺寸分布仍為單峰分布；當噪聲小于0.005時峰值處粒徑與真實值接近，但峰寬σ收窄；當噪聲大于0.005后，峰值處粒徑與真實值有一定的偏離，總體來說，反演程序具有較好的抗噪聲特性。

圖3 不同噪聲水平下反演粒徑分布

3 結論

通過以上的模擬可以發現，反演結果與粒徑的步長密切相關，當步長小于σ時，反演結果具有多個峰，而且非常尖銳，與真實值差別大；當步長大于σ，或在σ附近時，反演結果具有較高的精確性。在抗噪聲方面，當噪聲比較小時，反演結果能夠保持精確性，但反演的峰寬σ變小；當噪聲偏大時，反演結果有較大偏離。總體而言，該程序具有較好的抗噪聲性能。

在實際的實驗當中，粒徑分布是未知的，b由實驗給出，可以通過改變步長的方法，利用非負最小二乘法程序反演出粒徑分布，然后比較不同步長下的反演結果，選出最優步長，再利用最優步長進行反演計算，最終得到非常精確的粒徑分布。