比對(duì)試題悟真知 追尋結(jié)構(gòu)“道”歸來

510800 廣州市花都區(qū)第二中學(xué) 楊偉達(dá)

511316 廣州市增城區(qū)荔城中學(xué) 林樹宏

在解題教學(xué)中，如何提高學(xué)生的解題效率？相關(guān)問題一直困擾著數(shù)學(xué)教育工作者.筆者舉例進(jìn)行探究.

一、 試題呈現(xiàn)

例1(2019屆廣州市高三調(diào)研測(cè)試?yán)?17) 在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且cos2B-cos2C=sin2A+sinAsinB.

(1)求角C的大小.

(1)當(dāng)PB是⊙O的切線時(shí)，求證：∠PBD=∠DAB.

(2)求證：BC2-CE2=CE·DE.

(3)已知OA=4，E是半徑的中點(diǎn)，求線段DE的長．

二、 比對(duì)求同，架接聯(lián)系，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

比對(duì)上述兩道題，例1是一道高中數(shù)學(xué)試題，主要考查了有關(guān)解三角形的綜合內(nèi)容；例2是一道初中數(shù)學(xué)試題，主要考查了有關(guān)圓的綜合知識(shí)，觀察兩題，筆者發(fā)現(xiàn)了一個(gè)關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，例1為□2-△2=○2+△○，例2為□2-△2=△○．觀察、比對(duì)結(jié)構(gòu)式，發(fā)現(xiàn)等式左右兩邊形式相似，分析思路類似，只是選取的角度不同(一道題作為已知條件，以角的形式出現(xiàn)；而另一道題作為證明結(jié)論，以線段的形式出現(xiàn)).需要對(duì)試題的這種結(jié)構(gòu)進(jìn)一步逐層分析，直到滿足已知條件為止，這樣問題即可完美解決．

三、 比對(duì)求異，拓寬視野，尋找最優(yōu)解法

(一)對(duì)于例1

對(duì)于例1已知部分的□2-△2=○2-△○這一結(jié)構(gòu)，即cos2B-cos2C=sin2A+sinAsinB.

分析1：移項(xiàng)后得□2=△2+○2-△○，比對(duì)這一結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)與一個(gè)公式類似，不妨先將角變?yōu)檫叄儆糜嘞叶ɡ斫獯鸺纯?這也體現(xiàn)出命題專家考查學(xué)生的初衷.

分析2：左邊是□2-△2，化簡(jiǎn)為(□+△)(□-△)，觀察發(fā)現(xiàn)，許多學(xué)生將其變成□+△或□-△時(shí)不能再繼續(xù)化簡(jiǎn)，而個(gè)別學(xué)生發(fā)現(xiàn)消元后化簡(jiǎn)(消去∠A)即可，但涉及積化和差、和差化積、倍角公式及三角形內(nèi)角和公式等，化簡(jiǎn)運(yùn)算比較繁雜，需要較高的運(yùn)算技巧.

分析3：先用降冪公式，把2次式降為1次式，即為■1-▲1=●1+▲●，再用和差化積、三角形內(nèi)角和公式，消元后(消去∠A)化簡(jiǎn)，對(duì)技巧要求較高，不少學(xué)生對(duì)此感到膽怯，不能再繼續(xù)化簡(jiǎn).

(二)對(duì)于例2

對(duì)于例2求證部分的□2-△2=△○這一結(jié)構(gòu)，即BC2-CE2=CE·DE.

思考1直接用平方差公式化簡(jiǎn)為(□+△)·(□-△)，觀察圖1，發(fā)現(xiàn)找不到合適的線段替換□+△或□-△，所以這種情況不可能.

思考2將△○換成☆2，變成勾股定理□2-△2=☆2，在三角形中找直角，觀察發(fā)現(xiàn)，圖1中找不到直角，所以這種情況也不可能.

思考3移項(xiàng)后變成□2=△2+△○，最后得□2=△(△+○)．觀察圖1，可以找到一條線段☆替代△+○，即變?yōu)椤?=△☆，變形后線段成比例，即可轉(zhuǎn)化為由兩個(gè)三角形相似，問題得到解決．

例2(1)(3)解答略．

四、 比對(duì)釋悟，追尋“道”法

比對(duì)上述兩道試題，筆者得到如下教學(xué)感悟．

(一)加強(qiáng)對(duì)公式結(jié)構(gòu)的再認(rèn)識(shí)

一直以來，數(shù)學(xué)問題公式化是數(shù)學(xué)知識(shí)的考查重點(diǎn)，也是命題專家希望看到的初心．它要求學(xué)生熟練掌握，靈活應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)方法和技巧，令不少學(xué)生有畏懼心理．盡管當(dāng)前教學(xué)改革的方向已經(jīng)發(fā)生改變，考試命題的專注點(diǎn)也已經(jīng)改變，但可以肯定的一點(diǎn)是，數(shù)學(xué)始終離不開公式．因此，加強(qiáng)對(duì)公式結(jié)構(gòu)的再認(rèn)識(shí)是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的重要法寶．一個(gè)數(shù)學(xué)問題可以從不同的角度審視，往往需要用到不同的數(shù)學(xué)公式．因此，首先要做好公式的選取；其次審視公式的結(jié)構(gòu)，做好公式的正用、逆用；最后對(duì)一些公式進(jìn)行變形及轉(zhuǎn)化(這里需要學(xué)生有更高的解題技巧)．例如人教版高中教材必修4的三角公式，必修5的正、余弦定理等公式都是高考的命題熱點(diǎn)，公式多而繁雜，學(xué)生要記得準(zhǔn)、記得快、記得牢，就必須厘清公式的來龍去脈，關(guān)注公式結(jié)構(gòu)，多做公式推導(dǎo).當(dāng)前，不少高中學(xué)生運(yùn)用公式時(shí)丟三落四、虎頭蛇尾，要確保原式不變、答案準(zhǔn)確，常常需要培養(yǎng)“缺什么補(bǔ)什么”“缺什么找什么”“缺什么改什么”“涂什么改什么”“問什么設(shè)什么”“乘什么除什么”“加什么減什么”等常見的思維習(xí)慣．

(二)加強(qiáng)對(duì)問題審題的訓(xùn)練

審題是解題教學(xué)的必備環(huán)節(jié)，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)思維的最好載體．選取一道好題，選好一個(gè)角度，做好例題的導(dǎo)向功能，能極大提高學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣．對(duì)于典型的數(shù)學(xué)例題，可以從不同的角度思考、分析，逐層推進(jìn)，層層分解，最終找到解決問題的方法．這些需要教師在平時(shí)的教學(xué)中重點(diǎn)剖析，這樣學(xué)生才能養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣．誠然，不少學(xué)生能夠熟練記住公式，可一到考試就無從下手，不知道選用哪一個(gè)公式，有時(shí)公式雖然寫了，但常常錯(cuò)誤百出，搭不上題，缺少目標(biāo)和條件，缺少具體聯(lián)系，缺少審題環(huán)節(jié)和理解題意．更有甚者，一些學(xué)生還沒有看清楚已知條件和結(jié)論就匆匆下筆做題，缺少分析思路，長此以往會(huì)形成一個(gè)惡性循環(huán)．俗話說“好題讀三遍”，教師一定要讓學(xué)生理解題目的意思后再下筆做題．

五、 比根尋源，鏈接高考

比對(duì)教材，筆者發(fā)現(xiàn)人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修5第20頁的第14題有相似的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)；比對(duì)高考，2019年全國Ⅰ卷第17題中也可以找到類似的影子．

教材原題(人教版必修5 P20-14) 在△ABC中，求證：c(acosB-bcosA)=a2-b2.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的綜合問題，主要涉及正弦、余弦定理等．對(duì)于□2-△2結(jié)構(gòu)，有幾種思路進(jìn)行發(fā)散．

高考題(2019全國Ⅰ卷理-17) △ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．設(shè)(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC．

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于(□-△)2=○2-□△這一結(jié)構(gòu)，先用完全平方公式，化簡(jiǎn)后變?yōu)椤?+△2=○2+□△，再用余弦定理解決．

(1)求cosB的值；

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于(□-△)2=○2-□△這種結(jié)構(gòu)，比對(duì)2019年全國Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第17題，發(fā)現(xiàn)它們的結(jié)構(gòu)有異曲同工之妙．