課本題：開展數(shù)學探究活動的切入點
——以蘇教版教材《數(shù)列》一道習題為例*

徐愛勇 (江蘇省江浦高級中學 211800)

數(shù)學教育家弗賴登塔爾曾說：學習數(shù)學唯一正確的方法是讓學生進行“再創(chuàng)造”.即數(shù)學知識應由學生自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造，教師的任務是幫助和引導學生進行“再創(chuàng)造”工作，而不是把現(xiàn)成的知識灌輸給學生，這與新課程所倡導的探究活動的理念是一致的.課本是學生學習的最重要的課程資源，其中的閱讀、思考、探究、例習題等都是編者從學科整體的角度出發(fā)，經(jīng)過精心挑選編寫出來的，符合學生的認知特征，是開展數(shù)學探究活動的極好素材.

如《普通高中教科書·數(shù)學選擇性必修第一冊》(蘇教版)第四章《數(shù)列》第3節(jié)習題4.3第13題，筆者以此作為開展數(shù)學探究活動的切入點，嘗試從“由已知到已知”“由已知到未知”“由未知到已知”“由未知到未知”等四個方面開展探究，從而達到對“數(shù)列求和”的深度學習，努力構(gòu)建“課堂上如何開展數(shù)學探究活動”的操作范式，激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣.現(xiàn)將筆者的教學實踐過程整理出來，以期拋磚引玉.

問題(蘇教版選擇性必修第一冊第156頁習題4.3第13題)[1]求和：Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1.

1 由已知到已知

數(shù)學探究活動最原始的形式是“由已知到已知”.所謂“由已知到已知”，是指探究的結(jié)果或方法可以直接從已有的結(jié)果或方法中得到，最常見的手段就是模仿或類比.

師：我們曾著重研究過等比數(shù)列相關(guān)問題，同學們還記得等比數(shù)列的求和公式是如何推導出來的嗎？

生1(學生回答，教師板演)：利用“錯位相減法”求和！

師：很好！再想一想，如何解這道題呢？

師：能談談你是怎么想到的嗎？

生2(在教師的引導下)：當一個數(shù)列的每一項都是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應項的積時，可以用“錯位相減法”求和.

師：很好！這是一種“由已知到已知”的數(shù)學探究活動,它是在我們能夠識別數(shù)列通項結(jié)構(gòu)的基礎上的解題模仿活動.

2 由已知到未知

通常情況下，在利用“錯位相減法”求解完這道題以后，解題探究活動也隨之結(jié)束了.雖然學生知道數(shù)列求和還有“分組求和”“裂項相消”等方法，但覺得這些方法在這里壓根就用不上，因此也就不會去思考這一問題.此時就進入了數(shù)學探究活動的第二層級，即“由已知到未知”.所謂“由已知到未知”是指學生以往掌握的知識或方法在新的條件下不再有效，或者說探究從原有條件下的“已知”變成了新條件下的“未知”問題.這種情況是數(shù)學探究活動中經(jīng)常遇到的現(xiàn)象，面對這種現(xiàn)象往往需要對原有的條件或結(jié)論進行變形、推廣、引申，從而產(chǎn)生新結(jié)論或新方法.從心理學角度來看，就是通過順應將舊知識適當改變以后再納入新知識的體系當中[2].

生3：用“裂項相消法”求和！

師：“裂項相消法”本質(zhì)是把數(shù)列的通項分解為另一個數(shù)列的相鄰兩項的差，即表示成an=bn-bn-1(n≥2，n∈N*).那么，能否用這種方法來解決這道題呢？

師：不妨先研究這里的特殊情況(課本第156頁第12題)[1]：

師：這是一種典型的從“已知”到“未知”的探究性學習活動.我們從運算規(guī)則的層面考察“錯位相減法”與“裂項相消法”之間的關(guān)聯(lián)，其實質(zhì)都是將不規(guī)則的運算轉(zhuǎn)化為規(guī)則的運算.

3 由未知到已知

相比“由已知到已知”和“由已知到未知”，數(shù)學探究活動中更難的是“由未知到已知”.所謂“由未知到已知”，就是在探究的結(jié)論或方法是學生先前未知的情況下探究新的知識.由于學生先前沒有任何這方面的經(jīng)驗或知識積累，這種探究就更困難，同時也更具有挑戰(zhàn)性.遇到這種情況，往往需要通過對知識內(nèi)核進行挖掘探究.本節(jié)課中，學生通過“錯位相減法”和“裂項相消法”解決本題以后，一般都認為已經(jīng)很完美了，沒有什么內(nèi)容再需要探究了.但如果從數(shù)學知識的內(nèi)在本質(zhì)再去挖掘，我們或許還會有新的發(fā)現(xiàn).這種發(fā)現(xiàn)對于學生來說是先前未知的，因此是一種“由未知到已知”的探究活動.

師：我們對數(shù)列求和的一些方法進行化歸，將不規(guī)則的運算轉(zhuǎn)化為規(guī)則的運算.如果我們能跳出數(shù)列的框架束縛，在所學的其他知識板塊中，能否聯(lián)想到一些“結(jié)構(gòu)相似點”？

師：這是一次“由未知到已知”的精彩演繹，通過構(gòu)造函數(shù)f(x)=xn，利用導數(shù)來解決數(shù)列求和問題.這樣的解法太富有創(chuàng)造性了![3]

4 由未知到未知

“由未知到未知”是數(shù)學探究活動的最高境界.所謂“由未知到未知”，是指學生在掌握了類比這一探究方法以后，能自覺地尋找探究課題，或?qū)㈩惐确椒☉玫阶约号龅降男聠栴}、新情境當中.比如，本節(jié)課學習后，若學生主動探究以下問題，就達到了“由未知到未知”這一最高境界.

問題2(蘇教版選擇性必修第一冊第188頁求導公式8)[1]求函數(shù)f(x)=xn的導數(shù).

問題3(2007年江蘇高考卷第20題)已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列，a1=b1，a2=b2≠a1，記Sn為數(shù)列{bn}的前n項和.

(1)若bk=am(m,k是大于2的正整數(shù)，求證：Sk-1=(m-1)a1.

(2)b3=ai(i是某一正整數(shù))，求證：q是整數(shù)，且數(shù)列{bn}中每一項都是數(shù)列{an}中的項.

(3)是否存在這樣的正數(shù)q，使等比數(shù)列{bn}中有三項成等差數(shù)列？若存在，寫出一個q的值，并加以說明；若不存在，請說明理由.

在開展數(shù)學探究活動時，設置的問題應來源于課本且高于課本，應整體設計、分步實施探究活動，以實現(xiàn)“已知與未知”之間的轉(zhuǎn)換，引導學生從類比模仿到自主創(chuàng)新、從局部實施到整體構(gòu)想，積累發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的經(jīng)驗，養(yǎng)成獨立思考與合作交流的習慣[4].