圓弧逼近橢圓的方法及橢圓螺紋編程研究

盧小燕

（廣州南洋理工職業學院，廣州 510925）

0 引言

在零件加工中，會碰到非圓曲線加工，而現在的數控設備，一般可以直接采用直線和圓弧插補指令加工，橢圓作為具有代表性的非圓曲線，沒有相應的直接插補指令應用。為了解決這種非圓曲線加工問題，加工橢圓和在橢圓上加工螺紋大家能想到的方法估計就是用宏程序加工，用宏程序加工確實很方便，但對于不會宏程序的人或會宏程序而機床不具備使用宏程序功能的，就可以采用本文介紹的直線逼近橢圓、圓弧逼近橢圓的方法，將橢圓曲線分解成若干段小直線[1]，編程橢圓時，通過建立加工輪廓的節點，利用橢圓方程式和圓弧方程式計算出加工節點的坐標數據，進行編程加工。本文介紹的直線逼近橢圓、圓弧逼近橢圓的方法雖然計算量大，但它通俗易懂，而且精確度很高。

1 零件圖樣分析

圖1所示的零件材料為鋁合金，備料尺寸為φ40 mm×1000 mm，未注長度尺寸允許偏差為±0.1 mm，未注倒角為1×45°，以小批量生產首件編程，要求在FANUC 0i系統數控車床上加工橢圓面、橢圓螺紋、R20的凹圓面、φ38 mm的圓柱面。φ38 mm的圓柱面尺寸公差的上偏差為+0.03 mm,下偏差為0，φ38 mm的圓柱面的表面粗糙度為Ra3.2 μm，R20 的 圓弧面的表面粗糙度為Ra6.3 μm，其它表面粗 糙 度 為Ra12.5 μm，本文只對橢圓及橢圓螺紋的編程進行研究。

圖1 零件圖

2 橢圓節點的設計及坐標值計算

等間距直線逼近法是使每個程序段的某一坐標量相等，然后根據曲線的表達式求出另一坐標值，即可得到節點坐標[2]。本文采用X坐標增量相等，如圖2所示，在X坐標軸上A到R之間以2 mm為單位,正向等間距取點為A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L、M、N、O、P、Q、R分別為0、2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30、32、34 mm,考慮到右端部分R與W之間是誤差最大的部分, 所以在此段以1 mm為單位，正向等間距取點為S、T、U、V、W分別為35、36、37、38、39 mm，但為了誤差更小在W與Z此段插入Y,它的等間距取0.5 mm為單位, 正向等間距取點為Y、Z分別為39.5、40.0 mm。把A到Z的X值代入橢圓標準方程，通過橢圓標準方程X2/402+Y2/182=1算出相應的各點的Y軸坐標值，計算出的各節點Y軸坐標值如表1所示。

圖2 節點圖

表1 各節點Y軸坐標值

3 逼近橢圓的圓心的坐標及半徑的求解

把橢圓方程式求出的各節點的坐標值代入圓方程求出逼近橢圓的圓心的坐標及半徑。

1）根據“不在一條直線上的三個點確定一個圓,”這個定理，把A、B 、C 、D、E、F、G、H 、I 、J、K、L、M 、N、O、P、Q 、R、S、T、U、V、W 、Y、Z 分別以A B C；C D E；E F G；G H I；I J K；K L M；M N O；O P Q；Q R S；S T U；U V W；W Y Z分成12組圓, 把A、B、C代入圓方程X2+Y2+DX+EY+F=0，則有：

用待定系數解這一方程組得D=-5.553、E=-2.750、F=-2950.868；用同樣的方法把C、D、E三點分別代入圓方程得D=-0.033、E=-139.160、F=-2828.995；把E、F、G三點分別代入圓方程得D=-0.767、E=-130.640、F=-2672.865；把G、H、I三點分別代入圓方程得D=-2.333、E=-118.659、F=-2448.350；把I、J、K三點分別代入圓方程得D=-6.594、E=-97.315、F=-2028.064；把K、L、M三點分別代入圓方程得D=-10.863、E=-81.584、F=-1697.459；把M、N、O三點分別代入圓方程得D=-17.544、E=-61.951、F=-1254.392；把O、P、Q三點分別代入圓方程得D=-26.952、E=-40.671、F=-717.407；把Q、R、S三點分別代入圓方程得D=-38.177、E=-21.939、F=-155.926；把S、T、U三點分別代入圓方程得D=-46.720、E=-11.412、F=234.828；把U、V、W三點分別代入圓方程得D=-54.9398、E=-3.998、F=589.636；把W、Y、Z三點分別代入圓方程得D=-62.037、E=-0.241、F=881.495。

2）把A、B、C組合為圓1，代號為O1；把C、D、E組合為圓2，代號為O2；把E、F、G組合為圓3，代號為O3；把G、H、I組合為圓4，代號為O4；把I、J、K組合為圓5，代號為O5；把K、L、M組合為圓6，代號為O6；把M、N、O組合為圓7，代號為O7；把O、P、Q組合為圓8，代號為O8；把Q、R、S組合為圓9，代號為O9；把S、T、G組合為圓10，代號為O10；把G、V、W組合為圓11，代號為O11；把W、Y、Z組合為圓12，代號為O12，根據圓的方程式(x-a)2+(y-b)2=r2與X2+Y2+DX+EY+F=0，得出各節點a、b、r的數值為a1=0.046、a2=0.017、a3=0.384、a4=1.167、a5=3.297、a6=5.432、a7=8.772、a8=13.476、a9=19.089、a10=23.36、a11=27.47、a12=31.019；b1=72.989、b2=69.58、b3=65.32、b4=59.330、b5=48.658、b6=40.792、b7=30.976、b8=20.336、b9=10.970、b10=5.706、b11=1.999、b12=0.121；r1=90.985、r2=87.581、r3=83.305、r4=77.264、r5=66.382、r6=58.232、r7=47.863、r8=36.229、r9=25.311、r10=18.532、r11=12.998、r12=8.983, 即圓弧的圓心坐標為O1（0.046,72.989）半徑為90.985；O2（0.017,69.58）的半徑為87.581；O3（0.384,65.32）的半徑為83.305；O4（1.167,59.330）的半徑為77.264；O5（3.297,48.658）的半徑為66.382；O6（5.432,40.792）的半徑為58.232；O7（8.772,30.976）的半徑為47.863；O8（13.476,20.336） 的 半 徑 為36.229；O9（19.089,10.970）的半徑為25.311；O10（23.36,5.706）的半徑為18.532；O11（27.47,1.999） 的 半 徑 為12.998；O12（31.019,0.121）的半徑為8.983。

4 擬合誤差

用橢圓方程式計算出的Y1橢、Y2橢和用圓方程式計算出的Y1圓、Y2圓進行比較，得出圓弧逼近橢圓的精確度。

1）擬合誤差計算以A、B、C組合為例,在A點與B點中間取X1為1，在B與C之間取X2為3,代入橢圓方程X2/402+Y2/182=1,得出Y1橢=-17.994、Y2橢=-17.949；用同樣的計算方法得出C、D、E的Y1橢=-17.859、Y2橢=-17.722；E、F、G的Y1橢=-17.538、Y2橢=-17.306；G、H、I的Y1橢=-17.023、Y2橢=-16.686；I、J、K的Y1橢=-16.293、Y2橢=-15.840；K、L、M的Y1橢=-15.320、Y2橢=-14.727；M、N、O 的Y1橢= -14.051、Y2橢=-13.281；O、P、Q 的Y1橢=-12.397、Y2橢= -11.375；Q、R、S的Y1橢=-10.172、Y2橢=-9.109；S、T、U的Y1橢=-8.295、Y2橢=-7.363；U、V、W的Y1橢=-6.264、Y2橢=-4.883；W、Y、Z的Y1橢=-3.469、Y2橢=-2.009。

2）以A、B、C為例，將所取得的X1=1、X2=3代入圓的方程式X2+Y2+DX+EY+F=0得Y1圓=-17.991、Y2圓=-17.948；用同樣的計算方法得出C、D、E的Y1圓=-17.859、Y2圓=-17.722；E、F、G的Y1圓=-17.538、Y2圓=-17.306；G、H、I的Y1圓=-17.023、Y2圓=-16.686；I、J、K 的Y1圓=-16,294、Y2圓=-15.840；K、L、M 的Y1圓=-15.320、Y2圓=-14.726；M、N、O的Y1圓=-14.052、Y2圓=-13.280；O、P、Q的Y1圓=-12.399、Y2圓=-11.373；Q、R、S的Y1圓=-10.175、Y2圓=-9.108；S、T、U 的Y1圓=-8.295、Y2圓=-7.362；U、V、W 的Y1圓=-6,267、Y2圓=-4.876；W、Y、Z的Y1圓=-3.472、Y2圓=-1.984。

3）擬合誤差計算。

綜上所述，所組合的12個圓中W、Y、Z的ΔY2誤差最大,但也未超過0.03，所以由它們組合的輪廓很逼近橢圓,讀者可根據自己的需要, 假如橢圓尺寸誤差可大點的話各節點的間距可取大點,反之各節點的間距可取小點。上面所介紹的第1到第3步為逼近橢圓的圓的計算, 第4步擬合誤差為所取圓和橢圓的誤差計算,此誤差計算只是為了證明用圓逼近橢圓的方法的精確度,讀者可以不必花時間做第4步擬合誤差計算。

5 橢圓的編程

將圖2的原坐標的X軸改為Z軸,Y軸改為X軸, 變換后的X值因為要進行的是直徑編程，所以此時的各節點的X值是原來各節點的Y值的2倍，原點改在工件右端面與X軸交點處, 所整理后的坐標如表2所示。加工橢圓的程序如表3所示。

表2 各節點坐標值

表3 橢圓的參考程序

6 加工橢圓螺紋的過程

1）橢圓螺紋走刀路線的設計。

在X坐標軸上從Z-4開始取點記為A，從A到G之間以6 mm為單位,正向等間距取點為B、C、D、E、F、G，每一段都走9刀，前8刀的背吃刀量為0.316,最后一刀作為橢圓螺紋的精加工背吃刀量為0.072，走刀路線如圖3所示。

圖3 橢圓螺紋走刀路線示意圖1

2）各節點的計算。

A、B、C、D、E、F、G的節點可以用上面介紹的橢圓標準方程X2/402+Y2/182=1計算,在此就不重復了,會畫圖軟件的可以用軟件輔助找節點，走9刀的各節點坐標值、橢圓螺紋走刀節點坐標值如表4所示。

表4 橢圓螺紋走刀節點坐標值1 mm

3）橢圓螺紋的編程。

A～B以直螺紋方式走刀，B～C以圓弧方式走刀，C～D、D～E、E～F、F～G以圓錐螺紋方式走刀，每一段都走9刀，前8刀的背吃刀量為0.316,最后一刀背吃刀量為0.072。A～B以直螺紋方式走刀其用意是為了B～C段的圓弧過渡，它本身不是為了加工螺紋，而是為了B～C段螺紋的精定位。從圖3橢圓螺紋走刀路線示意圖的圖形來看A～B段會加工到工件，但實際上因為螺距為2，前面6刀都不會碰到工件，而后面3刀螺紋的點也是在落在B點右邊很近的地方，所以A～B段螺紋走刀不影響橢圓螺紋的美觀。B～C段以圓弧方式走刀是因為此段是所有走螺紋之間誤差率最大的線段，用圓弧走刀誤差率會比直線小，最后幾段因為誤差率都不大所以用圓錐螺紋方式走刀，其中誤差率可以按本文上面介紹橢圓節點的方式計算，在此就不做重復介紹了。橢圓螺紋的編程如表5所示。

第一次加工零件是在晚上,在螺紋刀走到點C處刀具有停頓現象，加工結果是B～C段的螺紋出現亂牙且螺距偏小。筆者分析了一下原因，從程序來看G03用G99進給，且每轉進給與螺紋螺距一致，按道理應該螺距與錐螺紋的一致才對，筆者仔細思考它們的不同點，G03用G99指令走刀，此走刀與轉速及F值有關，錐螺紋和G03的走刀所用的轉速一樣，F值也一樣，是哪里出現問題呢？轉速一致，因此不可能是轉速有問題，F值與進給倍率有關，筆者認真看了一下進給倍率，進給倍率只用了40%，用螺紋指令走刀只受轉速和螺距控制，進給倍率對它沒影響，而用G03指令走刀除了受F值影響外還受進給倍率影響，找到問題后，事情就好解決了，筆者把進給倍率調為100%，重新加工工件，此時B～C段螺紋的螺距問題沒了，但在B～C段還是存在亂牙現象。看來用G03指令走螺紋還是不靠譜，還是用螺紋指令可靠。但在B～C段誤差較大，為了減少誤差，在此段筆者把步距取為3 mm，也就是在B～C段的中間取節點H，調整后的節點如圖4所示。走9刀的H的節點從大到小為X26.246、X25.93、X25.614、X25.3、X24.984、X24.668、X24.35、X24.034、X23.824，重新整理螺紋走刀節點坐標值，整理出的坐標值如表6所示。

圖4 橢圓螺紋走刀路線示意圖2

表6 橢圓螺紋走刀節點坐標值2 mm

在編制程序時，如果存在一組程序段在一個程序中重復出現，可以把這組程序段弄成子程序[3]。因為表5的螺紋程序太長，輸入面板不方便，且螺紋程序已經加工成功，所以為了書寫方便，筆者改成螺紋粗加工用子程序，如表7所示。

表5 橢圓螺紋的參考程序1

表7 橢圓螺紋的參考程序2

用子程序編程時要注意核對最后的X、Z軸的退刀總量，為了確保粗車螺紋的背吃刀量都是0.316 mm，X軸的退刀總量加上X軸的所有移動總量應等于-0.316（粗車螺紋每刀背吃刀量），Z軸的退刀總量加上Z軸的所有移動總量應等于0。

7 結語

在數控教學中，學生對宏程序的掌握很困難，即使老師講解得很詳細，也只有個別學生能掌握宏程序編程。直接用宏程序進行零件的粗加工，背吃刀量不易控制，工件無法加工或不能達到零件的技術要求。怎樣在數控車床上加工橢圓零件呢？通常可以用直線、圓弧逼近橢圓，根據橢圓方程式先用直線逼近方法求出各節點的坐標，然后再用圓的方程式求出圓心的坐標及半徑。選擇逼近線段時，應該在保證精度的前提下，使節點數目盡量少，這樣不僅計算簡單，程序段數目也少。掌握本文所介紹的數學計算方法計算圓弧節點，用圓弧逼近橢圓的方法加工橢圓，在不能用宏程序或不會用宏程序的情況下加工橢圓就不存在問題了，而且精確度還很高。通過對橢圓螺紋的加工，發現在螺紋刀走到點C處刀具有停頓現象，加工結果是B～C段的螺紋出現亂牙且螺距偏小，不用子程序的橢圓螺紋程序太長，程序達到88段，輸入面板不方便，橢圓螺紋程序用子程序才37段，程序簡短了一半以上，節約了程序輸入面板的時間。最后經過研究和加工驗證得出：G03走橢圓螺紋不可靠，用螺紋指令走刀比較理想，在誤差較大的弧段需要再加入節點，以此保證加工精度。本文介紹的用直線、 圓弧逼近橢圓的方法在不能用宏程序的情況下是行之有效的。本文介紹的橢圓面上橢圓螺紋的走刀路線的設計及編程方法，便于同行借鑒使用，又可以延伸到其它類型異型螺紋的編程，在生產加工中有著實際意義。