道是無“圓”卻有“圓”

李紅波 聶震萍

應用數學知識解決物理問題是學習物理需要具備的關鍵能力之一，運用幾何圖形分析物理現象是一種常用的解題手段。在高中物理的學習過程中經常會遇到這樣一些問題，若采用常規方法求解往往比較煩瑣，但根據題中情境畫輔助“網”，利用“網”的相關數學知識解決起來就方便得多。下面舉例說明，供同學們參考。

一、利用等勢輔助圓解決靜電場中的電勢、電勢能問題

因為點電荷形成的電場的等勢面是以點電荷為中心的一組同心球面，所以畫出其等勢圓可以直觀方便地判斷出諸如電勢高低、電勢能的變化情況等問題。

例1 （2020年高考全國Ⅲ卷）如圖1所示，∠M是銳角三角形PMN中最大的內角，電荷量為q（q>0）的點電荷固定在P點。下列說法中正確的是（

）。

A.沿MN邊，從M點到N點，電場強度的大小逐漸增大

B．沿MN邊，從M點到N點，電勢先增大后減小

C．正電荷在M點的電勢能比其在N點的電勢能大

D．將正電荷從M點移動到N點，靜電力所做的總功為負

點評：根據等勢輔助圓可以直觀地看出M、N兩點與點電荷位置的遠近關系，根據離帶正電的場源電荷越近，場強越大，電勢越高，正電荷的電勢能越大，可以快速準確地完成各個選項的判斷。

二、利用動態輔助圓解決帶電粒子在磁場中運動的臨界問題

因為帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，所以畫出軌跡圓，利用幾何關系結合物理規律可以直觀準確地求解相關問題。求解帶電粒子在磁場中運動的臨界問題常用到畫縮放輔助網和旋轉輔助網的方法。

（1）縮放圓：若帶電粒子從某一點以方向不變而大小在改變的速度射人勻強磁場中，或帶電粒子從某一點以恒定的速度射人磁感應強度大小不斷變化的勻強磁場中，則帶電粒子在勻強磁場中做半徑不斷變化的勻速圓周運動。把其軌跡圓畫在同一個圖中，就是與入射點相切并放大或縮小的“動態網”。

（2）旋轉網：若帶電粒子從某一點以大小不變而方向不限定（在0～180°范圍內變化）的速度射入勻強磁場中，則帶電粒子在勻強磁場中做半徑不變的勻速圓周運動。把其軌跡圓畫在同一個圖中，就是根據速度方向的變化以入射點為旋轉軸的“旋轉圓”。

例2如圖3所示，在熒光屏MN上方分布著沿水平方向的勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里。距離熒光屏d處有一粒子源S，能夠在紙面內不斷地向各個方向同時發射帶電荷量為+q，質量為m，速率為v的粒子，不計粒子自身重力，已知粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡半徑也恰好為d，則（

）。

點評：本題中帶電粒子在勻強磁場中的運動軌跡半徑一定，粒子速度大小不變、方向改變，故采用“旋轉圓”的方法找到粒子運動軌跡的臨界狀態，即可順利確定相關物理量的求解方法。

三、利用勻速圓周運動的參考圓解決振動問題

因為勻速圓周運動的投影是簡諧運動，所以在解決簡諧運動問題時建立與之相關的參考網，利用質點做勻速網周運動的周期相當于振子完成一次全振動所用的時間，可以順利求解一些直接利用簡諧運動規律難以求解的問題。

例3 （2021年高考江蘇卷）如圖6所示，半徑為R的圓盤邊緣有一釘子B，在水平光線的照射下，網盤的轉軸A和釘子B在右側墻壁上形成影子O和P，以O為原點在豎直方向上建立x坐標系。t=0時刻從圖示位置沿逆時針方向勻速轉動圓盤，角速度為ω，則影子P做簡諧運動的表達式為（

）。

點評：做勻速圓周運動的質點在T軸方向上的投影的運動是簡諧運動，且圓周運動的周期與簡諧運動的周期相等，因此可以把二者聯系起來進行分析。用畫參考圓的方法來研究簡諧運動，可以簡便地分析那些不在特殊位置的質點的運動問題。

四、利用單位輔助圓解決測定折射率問題

在測定玻璃折射率的實驗中，以入射點為網心，以適當長度為半徑畫出單位輔助圓，只需測量兩段線段的長度，即可利用幾何關系求出折射率，使得測量變得簡單易行。

例4 一位同學用“插針法”測兩面平行的玻璃磚的折射率。

（1）該同學發現沒有量角器來量入射角和折射角的角度，于是在完成了光路圖以后，以O點為圓心，以OA為半徑畫圓，交OO'延長線于C點，過A點和C點作垂線分別交法線于B點和D點，如圖7所示。測量有關線段長度，可得玻璃的折射率n=____ 。（用圖中線段表示）

點評：若只利用量角器量出入射角、折射角的大小來求解折射率，則需要查閱正、余弦函數表，讀出入射角和折射角的正弦函數值；若只利用刻度尺測量長度（A、C為入射光線和折射光線上的任意兩點）來求解折射率，則需要測出四段線段的長度；而利用圓規畫單位圓的方法求折射率，可以把正、余弦函數值的數量關系轉化為幾何關系，只需測出兩段線段的長度，簡單方便。

跟蹤訓練

1．如圖8所示，直角三角形ABC由三段細直桿連接而成，AB桿豎直，BC桿水平，AC桿粗糙且絕緣，其傾角為30°，長度為2l，D為AC桿上的一點，且BD⊥AC，在BC桿中點O處放置一帶正電的點電荷Q，一套在細桿上的帶負電小球，以初速度v0。由C點沿AC桿上滑，滑到D點時的速率恰好為零，之后沿AC桿滑回C點。已知小球的質量為m”，電荷量為q，重力加速度為g。下列說法中正確的是（

）。

A.小球沿AC桿上滑過程中，先勻加速后勻減速

B．小球沿AC桿下滑過程中，靜電力先做負功后做正功

C．小球再次滑回C點時的速率vc=

D．小球沿AC桿下滑過程中，其動能、電勢能、重力勢能三者之和增大

2．如圖9所示是半徑為R的一網柱形勻強磁場區域的橫截面，磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向外，磁場外有一粒子源，能沿一直線發射速度大小不等的同種帶電粒子，帶電粒子的質量為m，電荷量為q（q>0），不計重力。現粒子以沿正對c0中點且垂直于c0的方向射入磁場區域，發現粒子恰能從b、d兩點之間飛出磁場，則（

）。

A.從b點飛出的粒子的速度最大

B．從d點飛出的粒子的速度最大

C．從d點飛出的粒子在磁場中的運動時間最長

D．從b點飛出的粒子在磁場中的運動時間最長

3．如圖10所示，一彈簧振子沿x軸方向做簡諧運動，其平衡位置在坐標原點O。t=0時刻振子的位移為 0.1 m，t=1 s時刻振子的位移為0.1 m。下列判斷中正確的是（

）。

A.若振幅為0.1 m，則振子的周期可能為詈s

B．若振幅為0.1 m，則振子的周期可能為2s

C．若振幅為0.2 m，則振子的周期可能為4s

D．若振幅為0.2 m，則振子的周期可能為6s

4．如圖11所示是利用“插針法”測定玻璃磚折射率的實驗中得到的光路圖，光線從玻璃磚的AB面射入，從玻璃磚的CD面射出，且AB面和CD面并不平行。則：

（1）出射光線與入射光線 _____（選填“仍平行”或“不再平行”）。

（2）以入射點O為網心，以半徑R=5 cm畫網，與入射光線PO交于M點，與折射光線OO'的延長線交于F點，過M、F點分別向法線作垂線，量得線段MN的長度為1. 68 cm，線段EF的長度為1.12 cm，則該玻璃磚的折射率n=____。

參考答案：1.C 2．AC 3．ABD

4．（1）不再平行 （2）1.5

（責任編輯 張巧）