巧用洛倫茲力處理帶電粒子在復合場中的運動

應德勇

帶電粒子在復合場中運動時，由于除了受到洛倫茲力還受到其他力的作用，使得帶電粒子的運動往往不是單一的勻速網周運動。在處理帶電粒子在復合場中的非勻速圓周運動問題時，可以將洛倫茲力進行分解，再結合動力學觀點、動量觀點等分析求解。下面結合三個實例剖析帶電粒子在復合場中做非勻速網周運動時的三種處理方法。

一、正交分解洛倫茲力，結合動力學知識分析求解

帶電粒子在磁場中運動，若受到軌道的限制，做曲線運動，則可將洛倫茲力正交分解，根據動力學知識確定帶電粒子在兩個方向上分別做什么類型的運動，利用運動的合成與分解規則分析求解。

例1 如圖1所示，下端封閉，上端開口，高h=5 m，內壁光滑的細玻璃管豎直放置，管底有一質量m=10 g，電荷量q=0.2 C的小球。整個裝置以速度v=5 m/s沿垂直于磁場方向進入磁感應強度B=0.2 T，方向水平（垂直于紙面向里）的勻強磁場中，由于外力的作用，玻璃管在磁場中的速度保持不變，最終小球從上端管口飛出。取重力加速度g=10 m/s2。

（1）判斷小球的電性。

（2）求小球在管中運動的時間

（3）求小球在管中運動的過程中增加的機械能。

解析：（1）最終小球從上端管口飛出，說明小球在玻璃管中所受洛倫茲力方向豎直向上，又有磁場方向垂直于紙面向里，小球沿水平方向向右運動，根據左手定則可知，小球帶正電。

例2如圖3所示，光滑絕緣水平面上有一處于鎖定狀態的壓縮輕質絕緣彈簧，其彈性勢能Ep=2mv0，彈簧兩端與兩小球P、Q接觸但不拴接，質量為rn的小球P不帶電，小球Q的質量為m，帶電荷量為+q。彈簧解除鎖定后，小球P、Q向兩邊彈離。小球Q離開彈簧后垂直于邊界MN進入右側多層緊密相鄰的勻強磁場和勻強電場區域，磁場與電場的寬度均為d，長度足夠，各磁場的磁感應強度大小相同，方向豎直向下；各電場的電場強度大小相同，方向水平向右。小球Q穿出磁場1區域時，速度方向與磁場邊界間的夾角θ=60°，假設電場和磁場均有理想邊界，兩小球均可視為質點。

三、運用速度分解觀點，將一個洛倫茲力變為兩個洛倫茲力分析求解

當帶電粒子在電場（重力場）與磁場疊加的復合場中做復雜的曲線運動時，將帶電粒子的初速度進行分解，使得其中一個方向的速度產生的洛倫茲力恰好與靜電力（重力）相平衡，另一個方向的速度產生的洛倫茲力提供帶電粒子做勻速圓周運動所需的向心力，這樣帶電粒子的曲線運動就可以分解成勻速直線運動和勻速圓周運動兩個分運動，利用動力學知識分析求解。

例3 如圖4所示，一質量為m，帶電荷量為+q的粒子，以初速度v0。從左端中央沿虛線射入正交的電場強度為E的勻強電場和磁感應強度為B的勻強磁場疊加區域，若v0>E/B，當粒子從右端某點c（圖中未畫出）離開時速率為vc，側移量為s，粒子重力不計，則下列說法中正確的是（

）。

跟蹤訓練

1．在某些精密實驗中，為了避免變化的電場和磁場之間的相互干擾，可以用力學裝置對磁場中的帶電粒子進行加速。如圖5所示，表面光滑的絕緣平板水平放置在磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向垂直于豎直面（紙面）向里。平板上有一個質量為m，帶電荷量為q的粒子，初始時刻帶電粒子靜止在絕緣平板上，與絕緣平板左側邊緣的距離為d。在機械外力作用下，絕緣平板以速度v1豎直向上做勻速直線運動。一段時間后帶電粒子從絕緣平板的左側飛出，并垂直入射到一塊與絕緣平板相互垂直的熒光屏上，不計帶電粒子的重力。

（1）判斷帶電粒子的電性，并說明理由。

（2）求帶電粒子在絕緣平板上的運動時間t。

（3）求整個運動過程中帶電粒子沿豎直方向位移的大小^。

2．如圖6所示，光滑絕緣水平面上的磁場邊界MN處，有一處于靜止狀態的小球Q，小球Q的質量為rn，帶電荷量為+q。在小球Q的左側有一質量為m，不帶電的絕緣小球P。現給小球P-水平向有的初速度v0，小球P與Q發生彈性碰撞后，小球Q垂直于邊界MN進入相鄰的勻強磁場和勻強電場區域，磁場與電場的寬度均為d，長度足夠，各磁場的磁感應強度大小為B，方向豎直向下；各電場的電場強度大小為E，方向水平向有。小球Q穿出第一個磁場區域時，速度方向與磁場邊界間的夾角θ=60°。假設電場和磁場均有理想邊界，兩小球均可視為質點，求：

（l）小球Q在第一個磁場中運動的時間t。

（2）小球P的初速度大小v0。

（3）若要小球Q恰好不穿出第三個磁場的右側邊界，求電場強度的大小。

3．在磁感應強度為B的勻強磁場中，一質量為m，帶電荷量為+q的小球在O點由靜止釋放，小球的運動軌跡如圖7中曲線所示。重力加速度為g，求：

提示：（2）帶電粒子在豎直方向上做勻速直線運動，受到向左的洛倫茲力，在水平方向上做勻加速直線運動，根據牛頓第二定律和運動學公式可以求得帶電粒子在絕緣平板上的運動時間。（3）帶電粒子在絕緣平板上運動時，在豎直方向上隨絕緣平板一起做勻速直線運動，根據運動學公式可以求得帶電粒子上升的高度h1。帶電粒子離開絕緣平板時具有豎直向上的速度v1和水平向左的速度vx，帶電粒子離開絕緣平板后以速率v= 做勻速網周運動，根據洛倫茲力提供向心力和幾何知識可以求得帶電粒子離開絕緣平板后沿豎直方向的位移h2，h1+h2即為整個運動過程中帶電粒子沿豎直方向位移的大小。

提示：（1）粒子的初速度為零，可分解為水平向有的速度v1和水平向左的速度v1，其中水平向有的速度v1對應的洛倫茲力與重力平衡，粒子的運動是水平向右速度為v1的勻速直線運動和初速度水平向左，大小為v1的逆時針勻速圓周運動的合運動。（2）粒子的初速度為零，可分解為水平向右的速度v2和水平向左的速度v2，其中水平向左的速度v2對應的洛倫茲力平衡重力與靜電力的合力，粒子的運動是水平向左速度為v2的勻速直線運動和初速度水平向右，大小為v2的順時針勻速圓周運動的合運動。