例談動量守恒定律在“滑缺一斜（曲）面”模型中的應用

王惠婷

自從2017年考試大綱將“選修3 - 5”模塊調整為必修必考內容之后，將動量、能量、動力學知識融合在一起進行考查的試題就成了高考命題的熱點之一。下面就以涉及“滑塊斜（曲）面”模型的問題為例，剖析動量守恒定律在此類問題中的具體應用，供同學們參考。

一、“滑塊一斜（曲）面”模型解讀

1．“滑塊 斜面”模型：如圖1所示，質量為M的斜面體靜止在光滑水平面上，一個質量為m的小球沿水平面以速度v0滑向斜面體。假設小球不能越過斜面，則小球到達斜面上的最高點（小球沿豎直方向的分速度為0）時，斜面體和小球具有相同的水平速度。

2．“滑塊 曲面”模型：如圖2所示，質量為M的曲面體靜止在光滑水平面上，曲面體的光滑弧面底部與水平面相切，一個質量為m的小球沿水平面以速度v0滑向曲面體。假設小球不能越過曲面，則小球到達曲面上的最高點（小球沿豎直方向的分速度為0）時，曲面體和小球具有相同的水平速度。

總結：在“滑塊斜（曲）面”模型中，雖然系統所受合外力不為零，但是若在水平方向上受到的合外力等于零，則可以在水平方向上利用動量守恒定律分析求解。在此模型中斜（曲）面體和小球一起運動，當以斜（曲）面體為參考系時，小球到達最高點時相對斜（曲）面體的水平速度為0，二者共速。

二、利用動量守恒定律求解“滑塊一斜（曲）面”模型問題

例1 如圖3所示，一表面光滑的斜面體放置在光滑冰面上，斜面體右側一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰塊均相對冰面靜止。某時刻小孩將冰塊以相對冰面3 m/s的速度向斜面體推出，冰塊平滑地滑上斜面，在斜面體上能夠上升的最大高度h=0.3 m（h小于斜面體的高度）。已知小孩與滑板的總質量m1=30 kg，冰塊的質量m2=10 kg，小孩與滑板始終無相對運動，取重力加速度g=10 m/s2。

（1）求斜面體的質量。

（2）通過計算判斷冰塊與斜面體分離后能否追上小孩。

解析：（1）規定向左為正方向，冰塊在斜面體上上升到最大高度時二者具有共同的速度，設此共同速度為v，斜面體的質量為m3。選由冰塊和斜面體組成的整體為研究對象，在水平方向上動量和機械能均守恒，則

（2）規定向有為正方向，設小孩推出冰塊后，小孩（含滑板）的速度為v1，選由小孩、滑板和冰塊組成的整體為研究對象，根據動量守恒定律得m1v1-m2v0=0，解得v1=1 m/s。設冰塊與斜面體分離后，冰塊和斜面體的速度分別為v2和v3，把冰塊滑上斜面和滑下斜面看成一個運動過程，則在這個過程中，由冰塊和斜面體組成的整體在水平方向上受到的合外力為零，動量和機械能均守恒，冰塊的速度v2與小孩推出冰塊后小孩（含滑板）的速度v1相同，且冰塊處在小孩（含滑塊）后方，所以冰塊不能追上小孩。

點評：本題將“滑塊斜面”模型與追及相遇問題相結合，考查動量守恒定律和機械能守恒定律。判斷冰塊能否追上小孩時，把冰塊滑上斜面和滑下斜面看成一個過程，列動量守恒和機械能守恒方程式即可求出冰塊與斜面體分離后冰塊的速度，然后利用追及相遇的判斷條件即可得出正確結論。

例2 如圖4所示，一質量為。的小球以速度v0滑上靜置于光滑水平面上的光滑網弧軌道。已知圓弧軌道的質量為2m，小球在上升過程中始終未能沖出圓弧軌道，重力加速度為g，求：

（1）小球在圓弧軌道上能夠上升的最大高度。（用v0、g表示）

（2）小球離開圓弧軌道時的速度大小。

解析：（1）小球在圓弧軌道上上升到最大高度處時，二者的速度相同，由小球和網弧軌道組成的系統在水平方向上動量守恒，規定速度v0的方向為正方向，則mv0=3mv，解

（2）規定速度v0的方向為正方向，設小球離開圓弧軌道時，小球和網弧軌道的速度分別為v1和v2，把小球滑上圓弧軌道和滑下圓弧軌道看成一個運動過程，則在這個過程中，由小球和圓弧軌道組成的整體在水平方向上受到的合外力為零，動量和機械能均守

點評：本題是典型的“滑塊 曲面”模型，（1）問直接列水平方向的動量守恒和機械能守恒方程式即可求出小球在圓弧軌道上能夠上升的最大高度，（2）問需要將小球滑上和滑下圓弧軌道看成一個運動過程，利用水平方向動量守恒和機械能守恒列式求解速度。

例3 如圖5所示，質量為。的半網形軌道小車靜止在光滑的水平地面上，其水平直徑AB長為2R，現將質量也為m的小球從距A點正上方h0高處由靜止釋放，然后由A點滑人半圓形軌道后從B點沖出，在空中能夠上升的最大高度為h0/2（不計空氣阻力），則（

）。

A.由小球和小車組成的系統動量守恒

B．小車向左運動的最大距離為1/2R

C．小球從B點落回半網形軌道后一定能從A點沖出

D．小球從B點離開半圓形軌道后做斜上拋運動

解析：由小球和小車組成的系統在水平方向上受到的合外力為零，在豎直方向上受到的合外力不為零，因此系統在水平方向上的動量守恒，而系統的總動量不守恒，選項A錯誤。規定向有為正方向，設小球從B點沖出時小車向左的位移為x，根據水平方向動量守恒得選項B錯誤。因為由小球和小車組成的系統在水平方向上動量守恒，在釋放小球瞬間，系統的總動量為零，小球從B點離開半圓形軌道時，小球和小車在水平方向上達到共速，所以小球與小車沿水平方向的速度為零，即小球從B點離開半網形軌道后做豎直上拋運動，選項D錯誤。設小球第一次滑過半網形軌道的過程中克服摩擦力做的功為

點評：本題將“滑塊 斜面”模型與圓周運動和拋體運動相結合，考查動量守恒定律和動能定理。因為由小球和小車組成的系統在水平方向上的動量守恒，總動量不守恒，所以小球第一次到達B點和第二次到達A點時，小球的水平速度均為零，豎直速度均不為零，均做豎直上拋運動。

跟蹤訓練

1．如圖6所示，質量為M的楔形物體靜止在光滑的水平地面上，其斜面光滑且足夠長（底端為微小段平滑連接的曲線形狀），與水平方向間的夾角為θ。一個質量為m的小物塊在水平面上以初速度v0滑向楔形物體，當它從斜面底端沿斜面向上運動到最高點時，速度大小為v，距地面高度為h，則下列說法中正確的是（

）。

2．如圖7所示，水平放置的輕彈簧的一端固定在豎直墻壁上，質量為m的光滑弧形槽靜止在光滑水平面上，底部與水平面平滑連接，一個質量也為，m的小球從弧形槽上h高處開始自由下滑，則（

）。

A.在以后的運動過程中，由小球和弧形槽組成的系統的動量始終守恒

B．在下滑過程中，小球和弧形槽之間的相互作用力始終不做功

C．小球被彈簧反彈后，小球和弧形槽都做速率不變的直線運動

D．小球被彈簧反彈后，由小球和弧形槽組成的系統的機械能守恒，小球能回到弧形槽上h高處

3．如圖8所示．光滑水平面上靜置一光滑的半圓形槽，槽的左側有一固定在水平面上的物塊。現讓一小球自左側槽口A點的正上方從靜止開始下落，自A點與半圓形槽相切進入槽內，并從右側槽口C點飛出，則以下結論中正確的是（? ? ）。

A.小球在半圓形槽內運動的全過程中，只有重力對它做功

B．小球在半圓形槽內運動的全過程中，由小球和半圓形槽組成的系統在水平方向上的動量守恒

C．小球自半圓形槽的最低點B向C點運動的過程中，由小球和半圓形槽組成的系統在水平方向上的動量守恒

D．小球離開C點后，將做豎直上拋運動

參考答案：1.C 2．C 3．C

（責任編輯 張巧）