扎根知識的“來”“用”“走”：從深度學習到深度教學

顧曉峰 (江蘇省錫山高級中學 214174)

《普通高中數學課程標準(2017版)》的實施將數學核心素養的發展推向了新的高度，其六大關鍵能力的獲得依賴于對數學知識與技能的深層次學習，因而以深度學習為目標的深度教學成為了當下課堂教學改革的必然選擇.

何為深度學習？鄭毓信將其與“淺度學習”做對比時指出，淺度學習主要依靠死記硬背與機械模仿，滿足于內容的簡單積累，最終造成了“知識碎片化”的現象[1].深度學習則有效地避免了學習的膚淺化，重視對知識三個維度的認識：第一，關注怎么來，即知識的來龍去脈、發生過程；第二，關注怎么用，即知識如何納入到已有認知結構，形成基本的數學能力以解決新情境下的新問題；第三，關注怎么走，即知識之間如何交融與綜合，發展到新一層次的認知水平.基于深度學習的特點，深度教學重在引導學生深度參與學習過程并深刻把握學習內容，通過交互式的學習方式，激活原有認知結構，激發內部學習動機，激起思維與情感的體驗，有效落實數學核心素養.

1 追根溯源——理解知識的內涵

在傳統教學中，教師為爭取更多訓練時間，對知識概念通常進行粗放地介紹甚至直白告知，致使學生的學與教師的教難以產生共鳴.而深度學習扎根于知識間的聯系，注重揭示知識的內涵，讓學生感悟知識生成的背景和意義.

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2 情境建構——促發知識的應用

基于高中生的認知程度，要使他們在數學學習的過程中獲得深度體驗，情境的有效建構是必不可少的.正如心理學家克勞德·巴斯蒂安所說，認識的進化并非朝向建立愈來愈抽象的認識，而是朝向把他們放置到背景中[3].因此，在教學中應充分利用學科知識、環境資源與學生的心理特點，建構適宜的情境來深入學習數學.

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再比如筆者了解到班級很多男生喜歡看臺球比賽，于是設計了如下問題：臺球是起源于歐洲的一項高雅室內運動，通過擊中目標球或者對方失誤而得分.現在臺面上有一只白色母球，擊打它后要使它碰到藍色目標球，該怎樣控制球桿的方向呢？由于是以真實的體育項目作為問題背景，頓時吸引了學生的“玩勁”，分析擊打臺球后球是沿著直線運動，于是畫出俯視圖，將臺球分別抽象為圓A、圓B，問題歸結為：找到一個方向，使得圓A的圓心在此方向上運動時，兩圓有交點.筆者追問：(1)在A運動的過程中兩圓一直要有交點嗎？(2)什么叫找到一個方向？怎么確定？問題(1)讓學生意識到圓A在運動中只要能與圓B有公共點即可，這是存在性問題.問題(2)引導學生想到可以用斜率或傾斜角來刻畫方向，故需通過建系對問題進行轉化：平面直角坐標系xOy中，圓B:x2+y2=r2，A(a,b)，直線l過點A且斜率為k，若l上存在一點P，使得以P為圓心，r為半徑的圓和圓B有公共點，求k的取值范圍.這是一個解析幾何問題，如果對圓B和點A的位置稍加變化，就成為了2012年江蘇高考題第12題(PPT展示)，學生“恍然大悟”，原來體育問題還能改編成高考題，而高考題的背后竟然還隱藏著“秘密”！欣喜之余，再次把課堂氛圍推向高潮.

波利亞認為，良好的組織使得所提供的知識容易用上，這甚至比知識的廣泛更為重要.深度學習不刻意加深知識內容本身的難度，而注重對知識內容的綜合應用.因此，深度教學首先要求教師自身進行深度學習，善于發現并建構情境，促發學生將已有的知識(包括技能與思想)應用到那些不再有明確數學腳手架的陌生情境中，讓他們經歷從感性猜測到理性驗證，從設計方案到實際測量，從數學運算到結果解釋的過程.久而久之，不僅能使學生體驗到數學的實用價值，更對實現“三會”的核心目標大有裨益.

3 遷移學習——深化知識的發展

有學者在對國內數學深度學習的研究進行綜述后將其特征歸納為四點：深度理解、深度探究、深度體驗、深度思維[4].其中深度思維指向學生的高階思維，包括對知識的自主學習與創新，這要求學生在面對問題(尤其是具有挑戰性的問題)時具有敏銳的洞察力，批判性的眼光和發散性的思考，而這方面能力的培養，筆者比較推崇實施遷移學習策略.

例如，在評講蘇錫常鎮一模試卷的解析幾何題時，筆者與學生展開了以下探究.

類比原問題的解法，學生很快驗證了猜想(成為結論1)，獲得了一定的滿足感.筆者繼續追問：橢圓是一類特殊的圓錐曲線，大家還有沒有更大膽的想法？課堂氣氛被點燃，有學生舉手提出雙曲線和橢圓“差不多”，肯定也有類似結論！但拋物線和它們“長得”不太一樣，認為應該沒有相關結論.筆者提問，拋物線有焦點、準線、離心率嗎？拋物線有切線嗎？既然都有，那問題的本質屬性有變化嗎？此時學生若有所思，覺得拋物線也可以研究.于是筆者將他們分成兩大組，一組研究雙曲線，一組研究拋物線，任務是提出相關猜想并進行證明，然后上臺展示和說明.最終得出兩個新命題：

將以上三個結論進一步概括、提煉得到結論4.

圖4

結論5設F為橢圓C的一個焦點，n為相應準線，過橢圓C上一點P作橢圓的切線交n于點N，則FP⊥FN.

在課后，通過學習小組的討論研究，發現結論5實際上提供了一種作橢圓一點處切線的方案(過焦點F作F與橢圓上點P連線的垂線并交相應準線于點N，PN就是橢圓的切線).結論5還可以有其他證法，而且該結論在雙曲線與拋物線中依然保留……反思教學過程，種種知識的發現并非是學生(甚至是教師)意料之內的，而是在遷移學習中舉一反三，打通個體知識間的關聯，逐漸形成新的認知結構.由此可知，在以問題解決為核心任務的教學中，深度學習需要建立在一個良好的母題之上，在教師的協助(組織、提示、補充)下以學生為主體進行遷移學習，自主挖掘知識的內部屬性，實現知識的結構重組，在深化知識發展的同時升華數學思維品質.

總而言之，深度教學是促使深度學習的理念跳出紙面，走進課堂，落到實處的深度實踐，它承擔著培養數學核心素養的重大使命.從這個意義上來說，深度教學應具有其明確特征，它表現在講清知識的源起生成(回答怎么來)，構建情境使得所學知識靈活應用(回答怎么用)，創設合適條件進行知識遷移學習(回答怎么走)，以使學生在這樣的深度學習中獲得能力和素養，這甚至可以延伸應用到其他學科的學習與發展中.