“老鼠出洞”問題的另兩種奇思妙解

郭 蓉

甘肅省武威第一中學(xué)，甘肅 武威 733000

“老鼠出洞”問題，是一個(gè)經(jīng)典而有趣的物理競(jìng)賽問題。經(jīng)查閱大量對(duì)該問題研究的文獻(xiàn)資料，發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)[1-3]中只給出了積分法（或者微元法）和圖像法兩種求解的方法。因此，文獻(xiàn)[1]認(rèn)為因高中數(shù)學(xué)知識(shí)不足，直接應(yīng)用積分法（或微元法）求解難度大，圖像法是唯一的方法。文獻(xiàn)[2]也用圖像法做了分析。本文介紹競(jìng)賽訓(xùn)練時(shí)學(xué)生想到的另兩種奇思妙解，以饗讀者。

1 常見分析方法

問題一只老鼠出洞后沿直線奔跑，其速率與離開洞口的距離成反比。已知老鼠在距洞口距離為a的甲處時(shí)，其速率為v0。那么，當(dāng)老鼠從甲處跑到距洞口距離為b（b＞a）的乙處，所需時(shí)間是多少？

1.1 積分法

以洞口為坐標(biāo)原點(diǎn)，以老鼠奔跑的直線建立直線坐標(biāo)系。設(shè)老鼠在任意位置x處時(shí)的速率為v，則，k 為常數(shù)。由題意，x=a時(shí)，v=v0，則 k=av0。

點(diǎn)評(píng)積分法的實(shí)質(zhì)是微元求和取極限，即積分法和微元法的本質(zhì)相同。由于大部分高中生沒有熟練掌握數(shù)學(xué)積分知識(shí)，因此競(jìng)賽輔導(dǎo)中常用微元法分析。

1.2 圖像法

圖1 圖像

點(diǎn)評(píng)圖像法是物理解題中常用的方法，在某些問題的求解中，物理圖像可起到意想不到的效果。

2 另兩種奇思妙解

2.1 等效轉(zhuǎn)化法

等效轉(zhuǎn)化法是常用的物理方法，也是高中生必備的物理學(xué)科核心素養(yǎng)。等效轉(zhuǎn)化法的原則是效果要相同。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，一定要在保證效果相同的前提下，將陌生的、復(fù)雜的、不熟悉的、難處理的實(shí)際問題的分析，轉(zhuǎn)化為與其等效的簡(jiǎn)單的、熟悉的問題的分析，以便抓住問題的本質(zhì)，從而找到復(fù)雜問題的規(guī)律。

獨(dú)特的設(shè)想若能找到一個(gè)簡(jiǎn)單而又熟悉的運(yùn)動(dòng)與老鼠的運(yùn)動(dòng)等效，則通過求解這個(gè)熟悉的運(yùn)動(dòng)所需的時(shí)間，可知道老鼠運(yùn)動(dòng)所需的時(shí)間。

精巧的構(gòu)思由于老鼠運(yùn)動(dòng)速率v與位置坐標(biāo)x成反比，即。設(shè)想一根彈簧一端固定在圖2中坐標(biāo)原點(diǎn)的左側(cè)，另一端固定在一小滑塊上，彈簧自由伸長(zhǎng)時(shí)，滑塊在洞口位置（坐標(biāo)原點(diǎn)）。滑塊離開洞口后向右運(yùn)動(dòng)，在光滑水平面上受向左的彈簧彈力，并設(shè)彈簧彈力F=k0x（k0為彈簧勁度系數(shù)）對(duì)滑塊做功的功率P恒定不變，由力做功的功率公式P=Fv得滑塊運(yùn)動(dòng)的速度

圖2 等效轉(zhuǎn)化的運(yùn)動(dòng)模型圖

巧妙的計(jì)算由題意，當(dāng)x=a時(shí)，v=v0，將其代入（1）式得

滑塊從甲處到乙處的運(yùn)動(dòng)過程中，彈簧彈力對(duì)滑塊做的功為

由（2）（3）式易得滑塊從甲處運(yùn)動(dòng)到乙處的時(shí)間為

點(diǎn)評(píng)從獨(dú)特的設(shè)想，到精巧的構(gòu)思，再到巧妙的計(jì)算，體現(xiàn)了學(xué)生思維的獨(dú)特性和創(chuàng)造性，也體現(xiàn)了學(xué)生解決問題中構(gòu)建物理模型的能力。

2.2 類比猜想法

類比猜想法，是根據(jù)兩個(gè)事物在某些屬性上的相似性，類比猜想出其他屬性也有可能具有相似性的認(rèn)知思維方法。類比的基礎(chǔ)，是要發(fā)現(xiàn)兩個(gè)不同事物之間有某些相似性，從而利用已知事物的規(guī)律去類比探尋（猜想）未知事物的規(guī)律。類比猜想法具有一定的認(rèn)知價(jià)值，是科學(xué)探究中常用的方法。

但是，類比猜想法是由個(gè)別到個(gè)別的非邏輯推理。因此，其結(jié)論的正確性需要用實(shí)驗(yàn)（或者其他方法）來進(jìn)一步檢驗(yàn)。如果類比的兩個(gè)對(duì)象之間共有的屬性越多，則類比出的結(jié)論的可靠性越大。

在“老鼠出洞”問題中，老鼠的運(yùn)動(dòng)雖然不能直接用已學(xué)過的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解，但只要能找到描述老鼠運(yùn)動(dòng)的公式和學(xué)過的物理公式的數(shù)學(xué)形式相似，便可類比學(xué)過的公式形式推測(cè)出解決“老鼠出洞”問題的公式形式。但這樣類比出的結(jié)果不一定正確，其結(jié)果還有待于用其他辦法（或者實(shí)驗(yàn)）進(jìn)一步驗(yàn)證。

類比對(duì)象初速度v0=0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)公式Δs=vΔt和v=at（式中Δs是極短時(shí)間Δt內(nèi)的位移），所以在t時(shí)刻到t+Δt時(shí)刻所發(fā)生的位移為

顯然，（5）（6）式的數(shù)學(xué)形式極為相似。

因此，由（5）（6）式找到物理量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：“老鼠出洞”問題中的時(shí)間t、位置坐標(biāo)x、分別對(duì)應(yīng)初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)中的位移 s、時(shí)間 t、加速度 a 。

由于從洞口到甲處的時(shí)間為t1時(shí)，x1=a；從洞口到乙處的時(shí)間為 t2時(shí)，x2=b，則由（7）式得

所以，老鼠從甲處到乙處所需時(shí)間為

點(diǎn)評(píng)類比猜想法，是科學(xué)研究中的一種很重要的科學(xué)方法，也是一種創(chuàng)造性思維方法。上述求解方法也是一種奇思妙解，但考試中學(xué)生若采用這種方法，即使得出正確的結(jié)果，評(píng)卷判分時(shí)其思考的過程也可能并不能得分，這或許也是我們教學(xué)中值得深思的問題。