合乎邏輯 自然生長
——以“圓的對稱性”為例

王新奇 (江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)第一中學 215021)

學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者和合作者．教師的引導作用表現(xiàn)在教學設計上，在重要環(huán)節(jié)和學生產(chǎn)生疑惑的環(huán)節(jié)，通過設計問題引導學生思考，以問題的形式引導學生獲取知識，突破教學重點與難點[1]．在蘇科版教材九年級上冊第2章第2節(jié)“圓的對稱性(第1課時)”的教學過程中，一些教師總覺得這節(jié)課的教學效果不好，還有些教師在教學中把結(jié)論直接告訴了學生．會出現(xiàn)這些情況的主要原因有以下三個方面：第一，教師在引導學生探索“圓心角、弧、弦”這三個要素之間的數(shù)量關(guān)系時，由于教學設計不合理，導致課堂上學生的探究活動流于形式；第二，學生在概括探究結(jié)論時，由于主體體驗不足，忽視了前提條件“在同圓或等圓中”，需要教師提醒或直接告知；第三，教學過程主要以教師講授為主，學生學得比較被動．2021年4月，在蘇州市“名師領(lǐng)航”研修活動中，筆者開設了“圓的對稱性(第1課時)”一課，現(xiàn)將教學過程中幾個關(guān)鍵環(huán)節(jié)的教學片段及思考整理成文，與大家探討交流．

1 教學片段

1.1 感悟“圓的旋轉(zhuǎn)不變性”

教師首先利用PPT展示兩個圖形：一個等邊三角形和一個圓．

師：請觀察這兩個圖形，它們有哪些共同的特點？

生1：這兩個圖形都是軸對稱圖形．

師：這兩個圖形又有哪些區(qū)別？

生2：對稱軸的數(shù)量不一樣．等邊三角形有三條對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸．

師：圓是軸對稱圖形，過圓心的任何一條直線都是它的對稱軸．因此，圓的軸對稱性超越一切平面圖形，達到了平面圖形軸對稱性的最高境界，即軸對稱到不能再軸對稱了．

生3：等邊三角形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，至少旋轉(zhuǎn)120度才能與自身重合，而圓是中心對稱，繞著圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都能夠與自身重合．

師：圓是中心對稱圖形，圓的中心對稱性同樣無與倫比，達到了平面圖形中心對稱性的最高境界．通過比較我們可以發(fā)現(xiàn)，“圓”的特點更加鮮明．現(xiàn)在請大家利用桌上的透明紙制作一個半徑為5 cm的圓，然后與同桌合作，把兩個圓的圓心疊合在一起，并將其中一個圓轉(zhuǎn)動一個角度，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生4：轉(zhuǎn)動任意角度都能與自身重合．

師：這就是圓的旋轉(zhuǎn)不變性．

設計意圖通過對兩個基本圖形的觀察和交流，引導學生深刻認識圓的兩種達到最高境界的對稱性，它們是和諧統(tǒng)一的，是圓的同一本質(zhì)的兩種不同表現(xiàn)形式．通過動手操作和體驗，進一步感悟“圓的旋轉(zhuǎn)不變性”，同時激活學生原有的知識經(jīng)驗，激發(fā)學生參與課堂的熱情，也為后續(xù)的進一步探索做好鋪墊．

1.2 初探“圓心角、弧、弦” 的數(shù)量關(guān)系

問題如圖1，在圓O上任取兩點A，B，連結(jié)OA，OB，得到圓心角∠AOB，由∠AOB你能想到什么？

圖1 圖2

師：如何驗證你的發(fā)現(xiàn)？

生5：需要再畫一個等圓，在等圓中作∠A′O′B′=∠AOB，然后把兩個圓的圓心重合在一起，依據(jù)“圓的旋轉(zhuǎn)不變性”，轉(zhuǎn)動⊙O′，觀察兩條弧重合的情況．

師：同桌之間合作一下，驗證后請總結(jié)你的發(fā)現(xiàn)．

生6：在同圓中，相等的圓心角所對的弧相等．

生7：這個結(jié)論在等圓中也成立．

師(追問)：在探究的過程中，為什么要出現(xiàn)兩個圓？

生8：是為了驗證等弧．

師：這個結(jié)論在“同圓或者等圓中”都成立．

設計意圖在“圓心角、弧、弦”三者關(guān)系中，“圓心角”與“弧”的對應關(guān)系是最直觀的．因此，把研究“圓心角與弧”的對應關(guān)系作為“圓心角、弧、弦”三者關(guān)系研究的突破口是自然的，符合學生的認知特點，能夠直接引發(fā)學生的思考，同時幫助學生建立起探究的基本經(jīng)驗．教師追問“為什么要出現(xiàn)兩個圓”，旨在促進學生對“同圓或等圓中”這個前提條件的深刻理解．

1.3 再探“圓心角、弧、弦” 的數(shù)量關(guān)系

問題如圖3，連結(jié)AB，則AB就是∠AOB所對的弦，改變∠AOB的大小，AB的大小會改變嗎？

圖3

生1：AB的大小會改變，AB的大小隨著∠AOB的變化而變化．

師：根據(jù)剛才的探究經(jīng)驗，你能提出什么問題？

生2：連結(jié)CD，若∠AOB=∠COD，則AB=CD．

師：如何驗證你的發(fā)現(xiàn)呢？

生3：需要再畫一個等圓，在等圓中作∠A′O′B′=∠AOB，然后把兩個圓的圓心重合在一起，依據(jù)“圓的旋轉(zhuǎn)不變性”，轉(zhuǎn)動⊙O′，觀察兩條弦重合的情況．

生4：可以證明△AOB≌△COD．

師：驗證后請總結(jié)你的發(fā)現(xiàn)．

生5：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦也相等．

生6：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等．

生7：∠AOB=∠COD，AB=CD．

師：請同學們自主探索并總結(jié)．

2 教學思考

2.1 從“思考”到“操作”，基于深度體悟的需要

體悟數(shù)學是基于數(shù)學核心素養(yǎng)的體悟?qū)W習，數(shù)學學習在本質(zhì)上是體悟的過程，是促進學生元認知能力提升的過程．體悟數(shù)學教學主張學生通過體驗、參與、在活動中切身體會，在實踐中真實感受，使得數(shù)學思維在一次一次拔節(jié)中領(lǐng)悟和醒悟[2]．本課的教學主要依據(jù)“圓的旋轉(zhuǎn)不變性”，如何讓學生深刻感受到這個性質(zhì)非常重要．因此，在教學伊始，筆者設計了“思考與操作”活動，主要目的就是讓學生深度體驗并感悟這一特性．有些教師為了節(jié)省課堂教學時間，選擇把“圓的旋轉(zhuǎn)不變性”這個特點直接告訴學生或者在教學中一帶而過，導致學生主體體驗不足，從而影響了探究的效果．

2.2 從“一個圓”到“兩個圓”，基于知識邏輯的需要

教學內(nèi)容的設計要遵循知識的邏輯關(guān)系，知識形成過程的合理性決定了學生思維的有序性和深刻性．探索圓的對稱性，究竟是從“一個圓”開始還是從“兩個圓”開始，要搞清楚這個問題，首先要知道為什么要用兩個圓．實際上用“兩個圓”是為了解決“一個圓”中的問題．一些教師在處理這節(jié)課的內(nèi)容時直接安排在“兩個圓”中進行，導致在總結(jié)時學生不理解“在同圓或等圓中”這個前提條件，究其原因，還是混淆了二者之間的邏輯順序．從“一個圓”到“兩個圓”，反映的是知識的邏輯順序，基于知識邏輯的教學，學生的理解是自然的、是深刻的．

2.3 從“一個要素”到“三個要素”，基于思維生長的需要

特級教師卜以樓指出：“要教給學生有生長力的數(shù)學，讓學生在發(fā)現(xiàn)、發(fā)明、發(fā)展中生長數(shù)學．”他的教學主張為回歸教學原點，反哺生命成長，彰顯數(shù)學力量．在本節(jié)課的教學設計中，筆者嘗試回歸原點，引導學生從“一個要素”的研究開始探究，在探究中生長思維．首先由一個圓心角引導學生想到圓心角所對的弧，感受二者的對應關(guān)系．接著，改變圓心角的大小，感受圓心角所對應的弧也隨之變化，進而幫助學生積累基本的活動經(jīng)驗．再引入一個相等的圓心角，會有怎樣的發(fā)現(xiàn)呢？自然引發(fā)學生的猜想和驗證．這一環(huán)節(jié)設計從“一個要素”出發(fā)，有效地引發(fā)學生發(fā)現(xiàn)“另一個要素”，從而提升了學生對同圓中的圓心角和所對應的弧的認識．一些教學設計中把“圓心角、弧、弦”三個要素放在一起探索，導致探究過程展開不充分、學生理解不透徹、學生思維無序等現(xiàn)象，關(guān)鍵原因在于沒有關(guān)照學生思維生長的需要．從“一個要素”到“三個要素”，展現(xiàn)的正是學生數(shù)學生長的過程，讓學習真正成為了學生成長的原動力，實現(xiàn)了學習的真正發(fā)生．

正如鄭毓信教授所說，數(shù)學素養(yǎng)的真正核心是通過數(shù)學教學幫助學生學會思維，并能逐步學會想得更清晰、更深入、更全面、更合理．