基于問題驅動的函數的微分教學探討

吳小臘 李澤華

一、引言

函數的微分是高等數學中的一個教學難點，也是微積分教學的重點之一。傳統的教學方法通常是基于正方形金屬薄片的面積受溫度變化影響的實例，分析面積的變化量與正方形邊長變化量之間的關系，給出函數微分的定義，然后通過純邏輯推理證明定義的合理性，舉例給出基本初等函數微分的計算，并討論微分在近似計算中的應用。結果是，同學們能依樣畫瓢地完成簡單函數微分的計算，但根本不理解微分的數學思想，也不明白微分究竟有什么用。同學們對微分概念的理解遠未達到預期教學目的。這與獨立學院培養應用型人才的育人目標相距甚遠。

獨立學院的學生，因數學基礎薄弱和學習習慣相對較差，大部分學生對數學的學習興趣較低。傳統的教學方法，主要采用演繹思維，純粹的符號邏輯，帶給同學們的是枯燥的演算，扼殺的是本身就不太濃厚的學習興趣。興趣是最好的老師。改革獨立學院高等數學課堂教學需要從培養學生的學習興趣開始。認知心理學告訴人們，興趣來源于需求，根源于問題的解決。因此，問題驅動教學法成為探索課堂教學改革的重要方法之一[1～3]。

問題驅動教學，是一種教學方法，也是一種教學模式，更是一種教學思想。與傳統的先學習理論知識再解決實際問題的授課方法不同，該方法強調以學生為主體，以問題為核心，指導和幫助學生在分析問題和解決問題的過程中達到對知識學習和能力培養目的的一種教學方法[4]。“問題驅動”教學法是以建構主義教學理論為基礎，從具體的教學問題出發，通過設計層層深入有效的問題，向學生展示知識點的形成過程[5]。該方法的關鍵是構建合理的“問題鏈”，其前提是明確教學目標、充分了解學生并創設適當的問題情境，其邏輯基礎是思維的訓練，其價值導向是思想的構建。

本文基于問題驅動教學法教學改革實踐，以函數的微分為例，總結并展示基于問題驅動教學法的教學設計過程和實施策略，為高等數學課堂教學改革實踐提供參考。

二、問題分析

(一)學情分析。從教材內容上看，函數的微分是在學完函數的連續性和導數概念后引入的。即，先建立極限思想，由極限思想建構連續性和導數概念，然后給出函數微分的定義，進而討論微分的計算和微分在近似計算中的應用。該邏輯是通順的，但也是機械的。該邏輯有利于從形式上展示函數的連續性、導數和微分的知識架構，但很難幫助一個初學者建構相關的數學思維。函數的連續性、導數和微分，本質上都是函數的增量問題，其共同的基礎概念是增量，共同的數學思想是極限。函數的連續性討論的是當自變量的增量趨于0時，函數值的增量是否也趨于0；導數討論的是函數值的增量與自變量的增量的比的極限，即變化率問題；微分則主要討論函數值的增量與自變量的增量的近似關系，即局部線性化問題。因此，在學習微分的概念時，需要緊扣增量概念和極限思維，重點剖析函數的局部線性化近似思想。這是微分概念教學中問題鏈構建的基本出發點。

從教學內容上看，函數的微分主要包括四個內容：微分的定義、微分的幾何意義、微分的計算和微分的應用。這四個內容對應著數學教學過程中的三大基本類型，即概念教學(定義和幾何意義)、計算教學和應用教學。不同的類型，所采用的教學方法是不同的，“問題鏈”的構建也是不同的。

微分的定義包括顯式定義和隱式定義。顯式定義是指dy=f′(x)dx或dy/dx=f′(x)。一般地，教材僅把它作為一個結論給出，學生都能從形式上記住該式子，但大部分學生并不理解該式所表達的實際含義。隱式定義是指教材上的定義，即

設函數y=f(x)在某個區間內有定義，x0及x0+Δx在這個區間內，如果增量

Δy=f(x0+Δx)-f(x0)

可表示為

Δy=AΔx+o(Δx)

其中A是不依賴于Δx的常數，那么稱y=f(x)在點x0是可微的，而AΔx叫做函數y=f(x)在點x0相應于自變量增量Δx的微分，記作dy，即dy=AΔx。

微分的隱式定義是微分概念教學中的難點。其困難主要表現為：一是微分的名稱與其字面涵義不符，屬于數學中典型的起名不當的概念之一。二是定義中的A屬于形式邏輯的符號表示。當學生的抽象思維達不到形象思維與符號抽象的一致時，學生們就很難在思維上產生共振。從而表現為“聽不懂”或“沒感覺”，進而演變成聽課“分心”或“走神”。三是從隱式定義dy=AΔx過渡到顯式定義dy=f′(x)dx，中間還需要證明A=f′(x)，這對大部分同學來說都是不簡單的，也是微分概念教學中需要重點突破的難關之一。

從學生的基本情況來看，獨立學院在本科招生時屬于“三本”，需要學習高等數學的專業主要是工科類專業和經濟管理類專業。在中國高等教育大眾化的發展背景下，“三本”的學生，其基礎相對較差，其特征表現為數學基礎知識不夠扎實、學習習慣較差、對數學的學習興趣偏低、獨立思考和抽象思維的能力偏弱。因此，面向獨立學院的高等數學課堂，應根據學生的基本情況，適度調整教學難度，降低思維起點。

(二)教學目標與教學策略。根據學情分析和教學大綱，確定本節課的教學目標：一是理解微分的顯示定義和隱式定義，二是掌握基本初等函數的微分的計算，三是了解微分在近似計算中的應用。

由于微分的核心思想是非線性函數的局部線性化，主要解決函數值增量的近似計算問題。因此，本節課主要圍繞線性化方法展開相關的知識結構和思維結構的構建。

在微分的定義中，隱式定義dy=AΔx與實際應用聯系最緊密，顯式定義與微分的計算和理論應用關系最親。因此，教學設計思路中，分別依據微分的隱式定義和顯式定義，構建相關的問題鏈。主要教學思路如圖1所示。

圖1 教學過程設計思路

三、教學過程設計

答：3點多，或3到4之間。

學生們開啟思考，但茫然無措，陷入沉思。

此時，大部分同學都能想到，函數在一點的導數表示函數在該點處的切線的斜率。于是，同學們都能在圖像上畫出過點(9,3)處的切線。設該切線方程為y=L(x)，如圖2所示。

圖2 函數的圖像

問5：能否寫出切線方程的表達式？

問7：由于線性函數具有簡單易算特點，因此，我們能否推導出非線性函數局部近似計算的一般方法呢？

設非線性函數的一般表達式為y=f(x)，在定義域內滿足連續可導，則在曲線y=f(x)上點(x0,f(x0))處的切線方程為

y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)

設該切線方程為y=L(x)，則

L(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)

這個線性函數L(x)稱為函數f(x)在點x=x0處的線性化。如果用該線性函數L(x)近似替代x=x0處附近的非線性函數f(x)，則有

f(x)≈L(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)

這就是非線性函數在局部范圍內線性化的一般方法。

通過該部分的討論，可以培養學生的抽象思維和歸納思維，即由具體的實例歸納和抽象出一般性方法。

(三)微分的隱式定義。由非線性函數的局部線性近似方法，討論函數值的增量問題。此處，結合微分的幾何意義圖像，通過問題鏈構建微分的隱式定義。如圖3所示。

圖3 微分的幾何意義

問8：如圖3所示，直線y=L(x)是曲線y=f(x)在點x=x0處的切線。假設在x=x0處的附近，非線性函數y=f(x)的值用線性函數y=L(x)近似替代。當自變量x從x0變化到x0+Δx時，函數y=f(x)的增量是多少？用線性函數y=L(x)近似替代計算時，實際所得的增量是多少？這兩個增量之間的誤差是多少？兩個增量和誤差之間的關系如何？

答：函數y=f(x)的增量是EF，實際計算所得的增量是EP，誤差是PF，它們之間的關系是

EF=EP+PF

即

Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=f′(x0)Δx+PF

或者

Δy=f(x0+Δx)-f(x0)≈f′(x0)Δx

令dy=f′(x0)Δx，則稱dy為函數y=f(x)在點x=x0處的微分。它是x從x0變化到x0+Δx時函數y=f(x)的增量的近似。

(四)微分在近似計算中的應用。例1 設有一批半徑為1cm的球，為了提高球面的光潔度，要鍍上一層銅，厚度為0.01cm。請估算每個球需要用銅多少g(銅的密度是8.9g/cm3)？

問9：球的體積公式是什么？

問10：在銅的密度已知時，估算銅的用量，關鍵是估算什么？

答：估算體積。

問11：根據微分的含義，估計銅的體積的計算公式是什么？

問12：當R=R0=1,ΔR=0.01時，ΔV=?

所需銅的用量是多少？

答：ΔV≈4×3.14×12×0.01=0.13(cm3).

每個球需要用銅約為

0.13×8.9=1.16(g).

(五)微分的顯式定義。問13：微分主要研究函數的增量問題。函數的微分表示函數增量的主要部分。其中涉及四個概念：自變量的增量、自變量的微分、函數值的增量和函數的微分。這四個概念之間有什么關系呢？如何用符號來表示它們？

答：自變量的增量記為Δx，自變量的微分記為dx，這兩者表示同一個概念，即Δx=dx。函數值的增量記為Δy,Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，函數的微分記為dy,dy=f′(x)dx，當|Δx|很小時，Δy≈dy。一般地，

Δy=dy+誤差=f′(x)Δx+o(Δx)。

因為微分dy是函數值的增量Δy的一種線性近似值，因此常常被稱為線性主部。當Δx→0時，誤差項是自變量增量的高階無窮小量，記為o(Δx)。

有了這些記號，函數的微分通常寫為

該式稱為函數微分的顯式定義。導數也叫做“微商”。

(六)微分的計算。有了微分的定義，理論上可以計算任何函數在可微點處的微分。一般地，計算復雜函數的微分通常是基于基本初等函數的微分公式和微分的運算法則而得到的。有了前面的求導公式，基本初等函數的微分公式很容易根據微分的顯式定義得到，此處不必重復。

此外，微分的定義還可以幫助記憶前面已經證明的反函數、復合函數和參數方程的求導公式。

問14：如何借助微分的定義記憶反函數、復合函數和參數方程的求導公式？

四、結語

對高等數學中函數的微分的部分知識采用了問題驅動教學，并給出了教學設計過程。教學實踐表明，采用問題驅動教學，將復雜的微分概念通過問題鏈拆解為一系列前后銜接的簡單問題，降低了認知難度和思維難度，能激發學生的學習興趣，有效提高學生課堂注意力，課堂氛圍活躍，課后作業質量明顯改善。期末考試中，有關微分考題的得分較往年明顯提高。

問題驅動教學法實施的關鍵是問題鏈的設計，其價值導向是雙向“驅動”。一方面驅動學生積極思考，在解決問題的過程中獲得持續的學習內驅力；另一方面驅動教師深入研究教學內容和研究學生，從認知角度化解思維上和認知上的障礙。當然，問題驅動教學法只是眾多教學方法中的一種，它與其他教學方法和教學模式并不是獨立的，它也不一定能適應高等數學中所有知識點的教學。因此，積極探索問題驅動教學法與其它教學方法的融合，將是推進高等數學課堂教學改革持續向好的重要方向之一。