盲校小學數學圖形與幾何教具的設計與應用

沈光銀

學習空間幾何有助于培養學生的邏輯思維能力、空間觀念以及解決實際問題的能力。［1］《盲校義務教育數學課程標準（2016年版）》（以下簡稱《課程標準》）指出，盲生在圖形與幾何學習過程中應經歷圖形的抽象、分類、性質探討、運動、位置確定等過程，掌握圖形與幾何的基礎知識和基本技能；建立空間觀念，初步形成幾何直觀和運算能力，發展形象思維與抽象思維；在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數學活動中，發展合乎情理的推理和演繹推理能力等。［2］然而，由于盲生視覺通道受阻和盲用數學教具匱乏，盲校小學數學圖形與幾何的教學目標與實際教學間存在著鴻溝。

《“十四五”特殊教育發展提升行動計劃》要求“進一步優化完善殘疾學生特殊學習用品、干預訓練及送教上門教師交通費補助等政策”。《課程標準》也提出，教師應努力收集、開發制作簡便實用的教具和學具。如何設計適合盲生使用的圖形與幾何教具？具身動力學認為，個體可以通過具身動作開展邏輯分析、問題解決、意義建構和推理論證等認知活動。［3］基于此，2014年亞伯拉罕森和林德格倫在《劍橋學習科學手冊（第二版）》中提出了具身設計的基本原理。［4］在盲校小學數學圖形與幾何教學中，教師可以依據具身設計的原理，將傳統視覺通道的教具改造成可借助觸摸覺和運動覺等通道使用的教具，提高盲生圖形與幾何學習成效。

一、利用圖形繪制教具與結構搭建教具發展空間觀念

空間觀念是個體對空間中物體的位置以及位置之間關系的感性認識，主要包括：根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據語言的描述畫出圖形；等等。［5］教師可以通過觸摸覺教具幫助盲生豐富觸摸覺表象，建立實物與圖形的聯系，從而發展其空間觀念。

（一）形成觸摸覺表象，發展空間感知能力

空間觀念是在空間知覺的基礎上形成的。關于物體形狀、大小和位置關系的表象則是在綜合同一類事物的多次感知的基礎上形成的。［6］在盲校小學數學圖形與幾何教學中，教師可以開發相關的觸摸覺教具，指導盲生通過觸摸來認識各種圖形，明確圖形特征，正確建立圖形的觸摸覺表象。

例如，為了幫助盲生構建基本的平面圖形的觸摸覺表象，筆者設計了“基本圖形繪制儀”（見圖1）?；緢D形繪制儀包括繪圖板、繪圖筆和繪圖膠膜三個部分：繪圖板由面板和背板鉸合而成，面板上分別鏤空著正方形、長方形、圓形、梯形、平行四邊形和菱形的基本形狀及變式形狀；繪圖筆的筆頭由金屬制成；繪圖膠膜夾在面板和背板中間。盲生可利用繪圖筆在繪圖板中的圖形凹槽內進行繪制，使繪圖膠膜上形成凸起的可觸摸的平面圖形。該教具可以幫助盲生建構圖形的基本形狀和變式形狀，理解圖形基本特征，從而發展空間感知能力。

（二）建立實物與圖形的聯系，培養空間想象力

關于物體形狀、大小和位置關系的表象是想象的必要素材，是形成空間想象力的基礎?？臻g想象力既包括從現實物體到平面圖形的抽象，也包括從平面圖形到現實物體的想象，還包括對平面方位的認識及利用方位判斷物體所在位置的能力。空間想象力的培養需要盲生上手操作練習，因此開發方便盲生使用的結構搭建教具顯得尤為重要。

筆者設計了“結構搭建與認知教具”，實現幾何圖形的自由搭建和立體圖形與平面圖形的轉化，便于盲生訓練與提升空間想象力。該教具由立方體組塊和平面圖形展示板組成：立方體組塊可以根據需要自由組合，構成不同形態的幾何形體；平面圖形展示板則由邊緣凸起的正方形矩陣構成。盲生可通過觸摸覺和運動覺進行自由搭建，發展對三維空間以及立體圖形組合、分解和變形的認知能力。同時，盲生還可以運用平面圖形展示板對所搭建的立體圖形進行平面解析，探索平面圖形與立體圖形的關系及轉化原理，在觀察、操作、猜想和驗證的反復活動中發展空間想象力。

二、借助制圖教具與數形結合教具發展幾何直觀

幾何直觀是指借助見到的或想象出來的幾何圖形及其形象關系，對空間形式和數量關系進行直接感知及整體把握的能力。盲生需要借助有效的數學教具發展幾何直觀，以便將復雜的數學問題變得簡明、形象。

（一）利用制圖教具，加強對空間形式的整體把握

盲生對圖形與幾何的學習主要基于數學教科書中的圖示，是僅運用觸摸覺認識空間中抽象出的圖形的學習過程，難以感知圖形生成的原理和過程，因而影響了幾何直觀的發展。

為了培養盲生的幾何直觀，筆者設計并應用“平行線制圖儀”“角的制圖儀”“圓的制圖儀”等制圖教具，幫助盲生認識圖形生成的方法與過程，在各種凸圖的摸認與學習過程中加強對空間形式的整體把握。以平行線制圖儀為例，它包括繪圖板、繪圖筆和繪圖膠膜三個部分。平行線制圖儀提供了一個便捷的繪圖模型，方便盲生將三角板移動到合適的位置，用繪圖筆沿著直角邊畫一組平行線。平行線制圖儀將繪制平行線的視覺認知過程轉化成視覺、觸摸覺和運動覺協同合作的認知過程，為盲生提供了獨立繪制并認知圖形生成原理的機會，有利于其加強對空間形式的整體把握。

（二）利用數形結合教具，建立對數量關系的直接感知

幾何直觀不僅表現為圖形的感知，還表現為借助見到或想到的幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知。［7］教師可以設計并應用數形結合教具，讓盲生借助可觸摸的、直觀的圖形有序關系來理解抽象的數量關系。

幾何直觀具有解釋功能，恰當地運用幾何直觀可以更好地建立數形的聯系。究其原因，是由于幾何直觀有助于將抽象的數學對象直觀化、顯性化。例如，為了幫助盲生理解表內乘法口訣的生成邏輯與規律，筆者突破傳統的、抽象的“幾個相同數加法的簡便運算”的逐個推演，通過數形結合的方式開發“表內乘法口訣的數形學習器”（見圖2），利用幾何直觀表征數量關系。

表內乘法口訣的數形學習器分為圖形和數字兩部分：圖形由邊緣凸起的9×9方格構成；數字則分成橫縱兩列，有序地標識在相應數序的方格側面。該教具可以方便盲生運用觸摸覺數方格來理解表內乘法口訣的原理與規律，有利于盲生利用幾何直觀將抽象的數量關系顯性化、直觀化，從而更好地完成表內乘法口訣的學習。

三、依靠推理教具發展推理能力

推理是數學的基本思維方式，也是人們在學習和生活中經常使用的思維方式。［8］推理一般包括合情推理和演繹推理：合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸類和類比等推斷出某些結果；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規則（包括運算的定義、法則、順序等）出發，按照邏輯推理的法則證明和計算。推理能力培養是《課程標準》規定的核心目標之一，也是盲校小學數學教學的重難點。教師在教學中可以設計相應的教具，幫助盲生豐富圖形與幾何的操作經驗，建立規則與證明過程的關系，從而發展其推理能力。

（一）利用教具豐富圖形與幾何的操作經驗，發展合情推理能力

合情推理可在重復的圖形與幾何操作經驗的基礎上，通過歸類和類比形成直覺能力，是對事物本質規律的探索與解析過程。為了發展盲生的合情推理能力，教師可以從觸摸覺和運動覺通道出發，設計適合盲生使用的圖形與幾何教具。例如，在教學長方形面積的過程中，由于盲文制圖是一種由凸點圍合而成的圖，所以無法呈現長方形的形狀和大小特征，更難以借助該類圖形直觀演示長方形面積的推理過程?！伴L方形面積推理器”（見圖3）依據具身設計的原理設計而成，方便盲生經由操作體會長方形面積的推理方法與過程。

長方形面積推理器由操作板和正方形單元塊組成：操作板為長方形，中間操作區為長方形凹槽，用于擺放正方形單元塊；正方形單元塊為正面是正方形的長方體，其底面粘著磁塊，以固定在操作板上。該教具將長方形面積的推理原理轉化成固定的計算模型，方便盲生按照類似“4×2”的矩陣擺放正方形單元塊，構成多種大小的長方形。同時，該教具還將長方形面積推理的視覺認知過程轉化成視覺、觸摸覺和運動覺共同參與的操作過程，方便盲生點數矩陣中正方形單元塊的數量，用加法計算長方形的面積；點數矩陣中相鄰兩條邊的長度，用乘法計算長方形的面積。盲生在兩種計算方法的對比分析中體會長方形面積的合情推理方法與過程，發展合情推理能力。

（二）利用教具建立規則與證明過程的聯系，培養演繹推理能力

演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）出發，按照規定的法則（包括邏輯與運算）證明結論的正確性。演繹推理是幾何證明的核心能力，是基于事實建立規則、證明聯系的思維過程。盲生在演繹推理的學習中，一方面表現出因缺乏感知經驗而對基本事實和規則的學習理解不夠深刻，另一方面表現出規則與證明過程的脫離，需利用教具建立規則與證明過程的聯系。以同底等高三角形為例，鑒于盲生難以在視覺通道的主導下感知同底等高三角形因頂點移動而發生變化的方法與過程，“同底等高三角形學習器”的設計從觸摸覺和運動覺通道出發，使盲生可以借助觸摸覺感知同底等高三角形的形態變化，幫助他們依據對現象的感知判斷獲得邏輯推理的結論。

同底等高三角形學習器由操作面板、三角形、固定旋鈕和滑槽四個部分組成：操作面板是一塊薄長方體的實木板，板上鏤空一條水平方向的滑槽，背面裝著一個支架，便于將操作面板安穩地放置在桌面上；三角形由一條有彈性的皮筋圍合而成，三角形的三個端點固定在固定旋鈕上；固定旋鈕用來固定三個端點，其中，三角形頂點的固定旋鈕可以沿著水平滑槽左右移動，底邊兩個端點的固定旋鈕不能移動；滑槽是與三角形底邊相平行的一條水平線，可以讓三角形頂點的旋鈕左右滑動，從而構建同底等高的一組三角形。該教具方便盲生基于觸摸覺和運動覺的操作，理解同底等高三角形的形成過程及相互關系，進而根據“同底等高”的特征應用三角形面積公式證明同底等高三角形的面積相等，建立規則與證明過程的聯系，發展演繹推理能力。

視覺功能障礙以及盲文書寫方式的異化導致盲生既難通過觀察分析來認識抽象圖形，又難通過繪制圖形來理解其生成的方法與原理。在盲校小學數學圖形與幾何教學中，教師可以設計并應用有效的教具來豐富盲生的圖形摸認與繪制體驗，幫助盲生建立數與形、證明與規則的聯系，從而提高圖形與幾何學習成效。