“完整地學”：小學數學學科育人的有效路徑

江蘇南京市長江路小學（210018） 丁愛平

盡管數學課程改革不斷強調要發揮數學學科的育人價值，但是現實情況不容樂觀。一是學生缺少整體思維。教與學的割裂形成的碎片化教學，學習內容與學生發展脫節，均會使得學生沒能建立完整的認知結構。二是學生缺失過程體驗。過度重視結果性考量，會導致學生沒有經歷自主探究和學習進階的全過程，難以形成持久的學習力。三是學生缺乏價值體認。部分教師過分去情境化和兒童化，很少關注學習情感、態度和價值觀的培育，使得學生感受不到數學學習的樂趣和價值。這些問題在一定程度上阻礙了學生數學素養的全面發展。

學生的數學學習應當是一個完整的過程，因為學生要成長為一個完整的人，就需要完整地學習。基于此，筆者提出“完整地學”的教學主張，為小學數學學科育人提供有效路徑。

一、“完整地學”的內涵特征

“完整”是指具有或保持著應有的部分，沒有損壞或殘缺，完好無缺。在本文中“完整”是指完全展開、過程充分、具有整體結構、不斷走向自我完善。

“完整地學”是指在學科育人背景下，基于數學素養體系和結構課程論提出的一個小學數學教學主張。“完整地學”有三層含義：

其一，學習內容的整體關照。教師立足數學課程的整體框架，運用高觀點對數學知識的本源、發展和聯系做整體分析。學生在教師的引導下自主建構意義，獲得對知識的深度理解與自主遷移，構建完整的認知結構，為后續的數學學習儲備知識和數學思想方法。

其二，認知過程的完整關注。學生在充分的獨立探究、交流合作和評價反思中積累豐富的活動經驗，獲得學習知識的過程性、生長性和完整性。

其三，生命成長的全面關懷。學生的學習不是追求快速獲取學科知識和技能，而是能夠在充滿智慧、自由、分享的學習環境中充分感受學科的精神價值，獲得智力的發展，以及形成高尚的品格和道德，實現完整愉悅的生命成長。

基于核心素養的教育背景，“完整地學”這一教學主張以培養人、塑造人為宗旨，由真實的學習促進學生完整地成長，實現從“教為中心”向“學為中心”的教學轉型，讓學科育人真正落地生根。

二、“完整地學”的實踐策略

1.“U型”教學思考：學習內容的整體性建構

在傳統的教學設計中，教師主要思考的是“教什么”和“考什么”，“教”和“考”點對點，連接成一條“線段”，而作為主體中心的“學”被擠掉了。“U 型”教學思考則能突出“學”和“教”的關鍵要素。它源自企業管理領域中的“U 型思考”，其核心理念是做任何一個重要決策之前，需要先通過下探核心問題發現問題的本質，再解決問題。小學數學“U 型”教學思考是對教學內容做統攬和貫通，做出深入淺出的“U 型”教學決策。教師要努力把目標“化解”成任務，把知識“轉譯”成問題，把方法“沉淀”成活動，這是一個整體性的建構過程。

首先，聚焦數學核心知識，實現教與學的融通。

教師先透過數學知識的外顯層確定核心問題；再到達中間的思維方式方法層，找到數學知識的本質和蘊含的數學思想方法；然后抵達數學知識最深處的隱性層，即在數學知識探索過程中所積淀的各種價值體驗；最后再“上浮”，用符合兒童思維特點的教學方法，比如創設故事情境、多元表征、批判思考、滲透文化等，呈現解決問題的顯性層。

例如，圖1 為“分數的基本性質”一課的“U 型”教學思考。左側下沉的是層層深入的教學分析：教師先近觀學情，基于學生的經驗（關于“大小相等”的直覺思維）確定一個核心問題（探究“大小相等”的數學道理）；再引導學生抽象概括，思考知識的本質，即計數單位和個數共同決定數的大小；最后，分析知識的工具價值，得出的分數的基本性質為后續分數的四則運算提供支撐。往更深處看，這類關于數的性質的教學內容滲透的數學思想主要是推理和建模，教師要有意識地引導學生運用推理和建模思想去發現數學內部或生活中的“變中有不變的規律”。右側是學程規劃，由學理深處向上浮現出具體的學習環節：關聯思考是大部分學生比較欠缺的，需要教師有意識地引導；感受文化和批判思考是引領理性思維抵達知識本質的重要渠道；再往上，就是承載核心問題的情境，要最大限度地發揮學生的自主性，給予學生多元表征的機會。

圖1

其次，用好“世界”這本活教材，實現從知識技能到實踐智慧的聯通。

教育的目的是培養“完整的人”，這個“完整的人”聯結的是“真實世界”。如果將數學學科育人的目標只鎖定在知識技能，而忽視關鍵能力、學科素養、價值目標等，那么學生的發展必然不充分和不完整。因為，知識會被慢慢遺忘，只有關鍵能力、學科素養等才會終身發揮作用。“完整地學”著重讓學生自己成為學習的網絡連接者、內容組織者、實際應用者，從而用好“世界”這本活教材，樹立正確的學習觀和價值觀。該語境下的“U型”教學思考，“U型”的左側是學生習得的數學知識技能和數學思想方法，“U 型”的右側是數學素養在學生學習和生活中的價值體現，是學生的實踐智慧。

例如，筆者所在學校的操場比較小，每次開運動會都很擁擠，對此，數學組的教師在全校開展“我來籌劃運動會”的跨學科學習活動。高年級學生繪制操場平面圖，計算人員密度，估算各項比賽的時長和所需場地的面積，撰寫秩序冊。在這個過程中，有的學生通過實驗反復驗證后得出“跑道太短會影響長跑成績”的結論，建議學校擴建操場；有的學生設計了操場空間結構圖，提出“空中裁判員和觀眾席”的設想；有的學生創作圖文并茂的運動會宣傳卡片；有的學生測算出攝像機的點位、角度和距離……如此，數學和兒童的生活世界完全聯通，數學以它的嚴謹求真、廣泛應用、至善尚美為兒童創造了“完整的世界”。

2.“進階式”課堂學習：認知過程的全方位體驗

數學課堂學習應以“進階式”行進，以學生親歷探究過程為主要方式。學生只有完整地經歷獨立嘗試、深層互動、評價與反思，經歷拾級而上的思維爬坡，才能在真實、深刻、完整的認知體驗中有所收獲。

首先，精準設“階”，讓認知體驗富有層次。

教學并不只是解決學生認知發展過程中的問題，還需要明確學生認知發展過程中用以“踏腳”的具體的點——這就是學習的“階”。學習的“階”是學生與知識之間主客體共同決定的結果，教師只有找到學生每一次進步的“踏腳點”，設計有挑戰性的任務和評價——一個個“階”，才能幫助學生獲得更為深刻而完整的認知。

例如，學習“認識周長”時，學生在經歷了四個“階”的思維推進后，對“周長”這一概念的數學理解實現了“經驗性—原理性—文化性”的完整學習。筆者先在《課前小研究》中設計了兩個“階”。第一階“認周長。觀察身邊的物體或圖形，說一說、畫一畫你眼中的‘周長’”。第二階“量周長。你能想辦法量出樹葉、長方形、凸字形圖形的周長嗎？”。每個學生都在自己的最近發展區踏“階”行歌。 然后，筆者在課堂上讓學生交流《課前小研究》，感悟化曲為直、化繁為簡，優化學生思維后再進入第三階“玩周長。一根絲帶怎樣‘玩出周長’？”學生在小組合作中深刻理解概念：所謂“周長”，“周”是特征，“長”是本質。最后，筆者給出第四階“愛周長。請依次觀察和描摹所在省、市等版圖的周長。”

其次，重視親歷全過程，讓認知體驗更加深刻。

陶行知先生的“教學做合一”理論認為，學生是創造的主體，必須使這個主體身體力行，躬行實踐。他說：“《墨辯》提出三種知識：一是親知，二是聞知，三是說知……我們拿‘行是知之始’來說明知識之來源，并不是否認聞知和說知，乃是承認親知為一切知識之本。聞知與說知必須安根于親知里面方能發生效力。”重視“親知”是實現“完整地學”的有效之策。數學作為一門以理性和邏輯為特質的學科，具有高度的抽象性。小學生的學習以感性和直觀為主，教師要讓他們在學習數學的過程中多一些體驗，給予他們自主探求“親知”的機會，只有這樣，他們才會通過獨立思考和合作探究發展高階思維。

例如，教學“認識軸對稱圖形”時，學生在課始會提出很多問題：軸是什么？和車軸的意思一樣嗎？軸對稱圖形在生活中有什么用？……對此，筆者一共設計了三個數學活動。第一個數學活動是“怎樣用一張紙撕出一個愛心”。學生在動手操作的過程中發現折痕起到至關重要的作用，只要畫出一側圖案就能得出一個完美的愛心，于是對“軸”“對稱”有了豐富的感性認識。第二個數學活動是“想一想，它們都是軸對稱圖形嗎？”，展示各種平面圖形，要求學生在觀察、猜想、操作、驗證后獲得批判性的理解。第三個數學活動是“創造軸對稱”，先通過黑體字“平”和“朋”強化學生對軸對稱概念的理解；再要求學生設計各種與軸對稱有關的圖案、玩具、工具，學生的想象力和創造力由此得到了自由生長；最后展示享譽世界的中國古典建筑、京劇臉譜、剪紙藝術等，涵養學生的文化自信。

值得注意的是，不是所有的數學知識都需要學生親自體驗其發生和發展過程。讓學生探求“親知”，是針對當下學生的認知體驗不完整而言的。“完整地學”倡導不同學習方式的優勢互補，用高質量的“進階式”課堂學習支撐學生數學素養的長程發展，為學生未來的數學學習賦能。

3.“話題式”作業與測試：學業評價的創新式旨趣

小學生的數學學習是為將來的學習和生活打基礎，它應該帶給學生美好的童年記憶。“話題式”學業評價是“完整地學”教學主張的一個創新舉措，能讓學生在一個個洋溢著數學味和人文氣息的話題中正確認識自我價值。

其一，設計“話題式”作業，賞析學生的思維藝術品。

如果有一份數學作業，答案封閉單一，作業評價只有冷冰冰的“√”“×”“訂正”，那么這份數學作業是不完善的。作業承載著育人功能，“話題式”作業就是一個“思維在場”的對話，它以一個開放性、挑戰性的話題作為題干，吸引學生主動探究并且用喜歡的方式（文字、算式、圖表、實驗、表演等）將自我理解表達出來，凸顯個性與創造，既讓學生感受數學有趣又有用，又滲透了德育。圖2 就呈現了“話題式”作業設計的整體布局，彰顯了數學作業的育人價值。

圖2

例如，（三年級下冊“認識分數（二）”單元的課后作業）尋找丟失的鉛筆：小馬虎不小心丟了一些鉛筆。如圖3所示，盒子里的鉛筆數是總數的，所有長鉛筆的支數是總數的。小馬虎說：“我記得丟的那3 支鉛筆都是短的。”他說的是真的嗎？資料顯示，一支木質鉛筆大約需要消耗3 克的木材。你想對小馬虎說什么？

圖3

“話題式”作業的空間很大，而“尋找丟失的鉛筆”是學生所熟悉的情境，集數學的計算、語文的表達、品德的思考于一體。首先，推測小馬虎說的話是不是真的，就能引導學生用數學的眼光觀察“丟失鉛筆”這個生活事件，用數學的思維思考丟失鉛筆的數量及其長度。其次，數學服務于生活，“你想對小馬虎說什么”這個話題滲透了節約資源的環保意識。數學使人聰明，更教人求真、至善，這樣的作業是有靈魂的，是有力量的。

其二，創新“話題式”測試，提升超越課堂的真學力。

傳統的小學數學紙筆測驗給學生的印象是填空、計算、選擇、操作、解決實際問題，冰冷而枯燥。這樣的測試很難測評學生“真正的學力”，因為靠記憶力支撐的應試技巧再熟練，也是難以獲得持續的學習力的。要培育核心素養，重要的不是“記憶”與“再現”，而是對現實世界的“現實”課題的“探究”或是“問題解決”。紐曼（F.M.Newmann）曾指出，所謂真正的學力，不是既有知識的“再現”，而是新知識的“生產”；不是知識的“記憶”，而是基于先行知識的“學術探究”；不是學校中封閉的知性成果，而是伴有“超越學校價值”的知性成果。“話題式”測試嘗試改變考試內容的編排和測查方式，構筑一個充滿希望、溫情與智慧的學習世界。

例如，三年級下學期的期末考試不再是以一張試卷定成績，而是分成幾次小研究。

第一次小研究：吃一塹，長一智。請在你的錯題中選擇兩道最有價值的題，附上思路分析和經驗分享。

第二次小研究：看生活，會應用。圖4 是一個長方形花圃的示意圖，每個小方格的邊長代表2.5米，白色部分種鮮花，灰色部分鋪草坪。草坪的面積一共有多大？每平方米鮮花生長一周大約需要25 千克水，1 噸水夠這些鮮花生長一周嗎？如果把這個花圃分割成大小、形狀完全相同的四個區域，有幾種不同的規劃？你還能獲得哪些數學信息？

圖4

第三次小研究：我調查，有感受。教育部要求小學生睡眠時間應達到10小時。請調查本校三年級學生每天睡眠的時間，制作統計表并進行數據分析。

第一次小研究是開放式的，可采用班級內學生互評的批閱方法，發揮易錯題的最大效益——“看他人走過的路，讓我們一起走得更好”。第二次小研究安排學生在課堂上獨立完成，它包含長方形和正方形的面積、小數和分數以及噸的認識、兩位數乘兩位數的計算、解決問題的策略等多個單元的知識，解決問題的空間很廣闊，方法很多元，不同學習水平的學生都能有個性化的展示。第三次小研究給了學生一個星期的時間，通過設計與真實生活關聯、學習主體在場以及反思數學知識價值的綜合實踐活動，進一步走出現有學業評價體系中“只見習題不見人”的困境，激勵學生活潑潑、暖融融地走向“完整地學”。

總之，“完整地學”的數學教學實踐，從學習內容的整體性建構、認知過程的全方位體驗、學業評價的創新式旨趣等維度全面關注小學生數學學習的整體性和發展性，為核心素養導向下的小學數學學科育人提供了一條有效路徑。