慣性固支梁雙穩態振動俘能系統設計與實驗驗證

劉琦 秦衛陽 鄧王蒸 李琦

摘要：提出了一種利用放大慣性力驅動的雙固支梁壓電振動能量俘能結構，可以實現寬頻帶范圍內的阱間跳躍與振動能量高效轉換。結構由慣性質量塊與雙固支彈性壓電梁組成。在激勵下，質量塊的慣性力放大后通過連桿作用于兩固支壓電梁的中部，使得結構更容易實現阱間跳躍，產生大的電能輸出。建立了系統動力學與壓電耦合模型，并進行了理論分析。結果表明連桿參數對系統勢能函數有很大影響，隨機激勵下系統可以實現雙穩態之間的跳躍。加工了慣性固支梁雙穩態俘能結構，且進行了實驗研究。實驗結果證明了慣性質量的增加可降低系統有效工作頻率，俘能結構可在弱隨機激勵下實現頻繁阱間跳躍，并在較寬的頻帶內保持阱間跳躍，因此在隨機激勵下能夠產生大輸出電壓。

關鍵詞：放大慣性力；雙穩態；振動能量收集；固支壓電梁

中圖分類號： O322??? 文獻標志碼： A??? 文章編號：1004-4523（2022）05-1165-09

DOI：10.16385/j .cnki .issn .1004-4523.2022.05.014

引言

當前，低功耗的微型傳感器和發射器廣泛應用于物聯網、生物醫療、建筑結構健康監測和環境監控等眾多領域，發展振動能量收集技術代替傳統化學電池為這些微型器件供能已成新能源領域的研究熱點[1]。線性壓電式懸臂梁型能量收集裝置可利用壓電材料的正壓電效應將環境中振動能量轉換為電能，具有結構設計簡單、高輸出電壓、大能量密度等優點，是早期振動俘能系統設計的首選結構方案[2]。但是，傳統線性懸臂梁型振動俘能系統只能在很窄的頻率范圍內高效工作，當外界振動頻率遠離結構的共振頻率時系統的電能輸出就會顯著降低[3?4]。為拓寬振動俘能系統的工作頻帶，研究者們提出了多壓電振子陣列、頻率調節、引入非線性等多種解決方式[5?7]。其中，具有雙穩態的非線性俘能系統在發生阱間運動時具有較高的電能輸出，是實現寬頻帶范圍內振動能量收集的有效解決方法。

在俘能系統的結構設計中，引入預應力和磁力是構建雙穩態系統的兩種典型方式[8]。預應力的加入可使原有系統產生負剛度呈現雙穩態，因此許多學者采用施加預應力形式構建雙穩態俘能系統。 Roundy 等設計了一種在固支梁兩端施加軸向預應力的屈曲梁型壓電式能量收集結構，并建立了該俘能系統的集中參數模型[9]。Cottone等研究了帶有中間質量塊的屈曲梁型雙穩態能量收集結構，建立了屈曲梁型俘能系統的分布參數模型[10]。Masana 等采用多尺度法對其提出的分布參數模型計算了解析解，分析了屈曲力對系統勢能函數形狀的影響[11]。 Li 等研究了軸向受壓屈曲的倒立梁結構，發現當軸向力超過臨界載荷后可使系統呈現屈曲雙穩態[12]。 Jiang 等設計了由磁力驅動的屈曲梁型陣列式雙穩態能量收集結構用于振動能量的收集[13]。 Qian 等在壓電梁一端連接了一個預應力彈簧，設計了一種勢能可調的非線性俘能裝置[14]。

磁力的施加無需接觸壓電梁結構，相比于預應力更容易引入振動俘能系統，多用于改進傳統線性懸臂梁型振動俘能系統的結構設計。Erturk和 In ? man 在懸臂梁自由端外部設置了兩個磁鐵，通過施加磁吸力構建了磁吸力雙穩態懸臂梁型振動俘能系統，對懸臂梁型俘能系統的輸出特性進行了詳細的研究[15]。Ferrari 等通過在懸臂梁自由端外部施加磁斥力構建了磁斥力懸臂梁型雙穩態系統，實驗結果表明雙穩態系統在寬頻帶范圍內的輸出明顯高于線性系統[16]。Stanton 等采用磁偶極子模型，建立了懸臂梁型分布參數模型，對懸臂梁型俘能系統的非線性動力學行為進行了分析[17]。Zhou 等將懸臂梁外部磁鐵設計為可旋轉的磁鐵，研究了磁鐵旋轉角度對雙穩態振動俘能系統輸出特性的影響[18]。Li 等在屈曲梁一端設置了一對磁斥力的磁鐵，設計了具有動態勢能的磁斥力屈曲梁型雙穩態系統[19]。 Zhou 等通過在懸臂梁外部設置多個磁鐵，構建了懸臂梁型四穩態、五穩態俘能系統[20?21]。

本文提出了一種由放大動態慣性力驅動的雙固支梁型雙穩態振動俘能結構。與傳統雙穩態結構相比，此結構更容易實現雙穩態跳躍，因此能產生更多的電能輸出。基于擴展哈密頓原理推導了該振動俘能系統的機電耦合動力學方程，分析了結構參數對俘能系統勢能函數的影響。進行了相應的實驗研究，驗證了該結構在弱隨機激勵下可以產生更大的電能輸出。本研究可為固支梁型雙穩態振動俘能系統設計提供理論指導。

1 慣性固支梁結構設計

圖1為慣性固支梁結構俯視圖，從圖中可以看出該結構是由中間質量塊、連桿和固支壓電梁組成的剛?彈耦合動力系統。當結構受到外界水平方向的基礎激勵時，質量塊的慣性力通過連桿作用于壓電梁，驅動兩側壓電梁變形及產生跳躍，輸出高電壓，實現寬頻帶范圍內的振動能量高效收集。當質量塊在外激勵下的慣性力為 F 時，連桿受力為 F/（2sinα），由于α是銳角，因此慣性力得到放大，其作用在壓電固支梁上，可以產生大變形，并更加容易實現阱間跳躍，輸出高電壓。

2 振動俘能系統建模

2.1? 壓電材料本構方程

考慮到結構的對稱性，建模時選取半結構進行分析。在該慣性固支梁型雙穩態結構中，使用的 PZT ?5H 壓電材料極化方向和 x 軸方向一致，假設壓電層和彈性基層梁變形一致，壓電材料的本構方程可簡化為如下[22]：

式中? Ty 為應力，cyy（E）為電場恒定時壓電材料的彈性模量，Sy 為應變，exy為機電耦合系數，Ex 為電場強度，Dx 為電位移，εx（S）x 為應變恒定時壓電材料的介電常數。

兩側壓電層對稱貼附在彈性基層梁上，壓電層輸出采用串聯方式，假設電場強度在 x 方向上均勻分布，則可得：

式中? V （ t ）為固支壓電梁產生的電壓，hp 為壓電材料的厚度。

2.2? 系統動能和勢能

機電耦合動力學方程的建立基于拉格朗日機電方程。在俘能系統中，連桿系統采用輕質高強材料，忽略其轉動動能，俘能系統的動能為：

式中? T 為俘能系統的總動能，M 為中間慣性質量塊的質量，“˙”為對時間求導數，v （ t ）為中間慣性質量塊對于相對坐標系的位移，y （ t ）為基礎激勵。

由馮·卡門非線性理論[23]，梁的軸向應變 Sy 可寫為：

式中? w （ y，t ）為固支梁的撓度函數；ε1為軸向位移引起的軸向應變；ε2為橫向彎曲引起的軸向應變。彈性基層梁的彈性勢能計算公式為：

式中? L 為彈性壓電基層梁的長度，A s 為彈性壓電基層梁的橫截面面積，Ts 為彈性基層的軸向應力，Ss 為彈性基層梁的軸向應變，Es 為彈性基層梁的彈性模量，Is 為彈性基層梁相對中心軸的截面慣性矩。

同理，壓電材料的彈性勢能為：

式中 Ap 為壓電材料的橫截面面積，γ1為軸向位移引起的機電耦合項，γ2為橫向彎曲引起的機電耦合項，l0為壓電材料的起始長度，l1為壓電材料的終止長度，Ip 為壓電材料相對中心軸的截面慣性矩。

壓電材料的電能為：

式中Vp為壓電材料的體積，Cp 為壓電材料的等效電容。

動能和勢能項中未知參數的計算公式為：

式中? bs 為彈性基層梁的寬度，bp 為壓電材料的寬度，hs為彈性基層梁的厚度。

2.3? 系統參數離散化

采用Galerkin法對系統的動能和勢能項中位移和時間參數進行離散，固支壓電梁的撓度可表示為：

式中ψi （y ）為固支壓電梁的基礎振型模態函數，ri （ t ）為與振型函數對應的廣義位移坐標。

假設中間慣性質量塊的廣義位移為 q（t），在此條件下跨中位置處的廣義位移為：

式中? b 為靜止狀態下兩個固支壓電梁的初始間距，a 為連桿的長度。

俘能系統的設計主要針對低頻振動能量俘獲，因此取固支梁的第一階振型，此時系統的動能、勢能和電能可重新表達為：

式中? k0為梁的非線性剛度系數，k1為梁的線性剛度系數，k2為壓電力因子，k3為壓電耦合系數。具體定義如下：

2.4? 機電耦合動力學方程

式中? WP 為壓電片的電能，F （ t ）為廣義耗散力， Q （ t ）為廣義輸出電荷。假設廣義耗散力與廣義速度方向相反，與廣義速度成正比。此外，根據基爾霍夫定律，假設能量收集系統中的等效電阻為 R，則系統的廣義輸出電荷可表示為 Q?（ t ）=- V （ t ）/R 。

由此可得到系統的機電耦合動力學方程：

3 數值分析

3.1 勢能分析

由于連桿長度對于結構的雙穩態有決定性的影響，因此采用建立的機電耦合動力學模型，研究了連桿長度對系統勢能函數的影響。表1為彈性固支梁的基本結構參數，表2為數值仿真中使用的 PZT ?5H 壓電材料的基本參數[22]。俘能系統結構設計時體積越小，往往越有利于集成化，在俘能結構體積固定的情況下，雖然改變連桿長度 a 和兩個壓電梁初始間距 b 均可以使該系統呈現雙穩態，但將 b 最大化后改變 a 可使系統初始狀態下連桿與水平方向的夾角最小，即實現更大倍數的慣性力放大。因此，下面將分析連桿長度對系統勢能函數的影響。

由公式（16）可知，系統在開路狀態下的彈性勢能函數為：

系統勢能最小時對應于系統的平衡位置，由此可得平衡位置為：

圖2描述了不同連桿長度下的系統勢能函數。從圖2（ a ）中可以看出，隨著連桿長度的增加，系統在位移為0處的勢能逐漸增大，勢能函數由單阱轉變為雙阱。如圖2（b）所示，當結構的連桿長度 a =55 mm 時，系統勢能函數顯示為單阱；當連桿長度 a =56 mm 時，系統勢能函數顯示為雙阱，此時系統的勢能阱深度為4.5 mJ。由以上可得出，當2a ≤ b 時，系統表現為單穩態，當2a > b 時，系統表現為雙穩態特性。

3.2 輸出特性研究

實際環境中的振動往往是隨機寬帶振動，為了驗證俘能系統的輸出特性，采用建立的機電耦合模型進行掃頻激勵和隨機激勵下的數值仿真。仿真中結構的連桿長度 a =56 mm，兩側固支壓電梁間初始間距 b =110 mm，其余參數與表1和2一致。圖 3顯示了中間慣性質量塊 M=7.12 g 時，系統在掃頻激勵下的位移和電壓響應。從圖中可以看出，提出的俘能系統可在較寬的頻帶范圍內發生密集的阱間跳躍運動；在較寬的頻帶內系統可保持高電壓輸出。

高斯白噪聲激勵作為一種振動俘能系統典型的激勵方式，常被用來評估俘能結構在隨機激勵下的輸出特性。圖 4為俘能系統在白噪聲隨機激勵下的位移和電壓響應。從圖4（ a ）中可以看出，在激勵強度較小情況下，系統的位移響應基本在10.5 mm 附近振動，表明系統在弱激勵下長時間處于單阱運動；由圖4（b）可知，系統的電壓也在一個相對較小的范圍波動，電壓增加的時刻與慣性質量塊發生阱間振動的時間一致。隨著激勵強度增大到0.010 g2/Hz，系統的位移響應明顯呈現出雙穩態（圖5（ a ）），位移響應表明中間慣性質量塊發生了頻繁的阱間跳躍；系統頻繁的雙阱運動提高了電壓輸出，此時電壓峰值達到了-19.8 V（圖5（b）），而 PSD=0.005 g2/Hz情況下的電壓峰值僅為-11.9 V 。

圖4和5的電壓呈現出明顯的不對稱現象，這是由于系統發生大幅阱間運動時，連桿的存在限制了固支壓電梁的最大負向位移（遠離中間慣性質量的方向），而兩側壓電梁的正向位移大小則由外激勵的強度決定。當系統的連桿長度 a =56 mm，兩側固支壓電梁間初始間距 b =110 mm 時，固支壓電梁最大的負向位移發生在跨中位移，擾度為1 mm，圖5（ a ）的位移響應顯示慣性質量最大的瞬時位移為14.983 mm，通過公式（14）可知此時固支壓電梁的最大正向位移為1.042 mm，系統發生大幅雙阱運動時使固支壓電梁的撓度產生了不對稱變化，影響了電壓的輸出。

4 實驗研究

4.1? 實驗裝置

圖6為慣性固支梁雙穩態結構實驗裝置俯視圖，結構參數與數值仿真中的參數一致。中間慣性質量塊和兩側壓電梁的連桿連接系統均由3D 打印機采用輕質高強的尼龍材料打印而成。受限于測量設備，實驗中只在固支壓電梁跨中位置遠離慣性質量塊的一側布置了 PZT?5H 壓電材料。實驗中采用東菱 ESD?100型激振器，控制信號經過東菱 PA ?2000型功率放大器放大后傳給激振器。中間慣性質量塊的位移由一個小型的位移傳感器測定。壓電材料產生的開路電壓和位移傳感器信號由東華 DH5922N 型動態應變儀采集。

4.2? 掃頻實驗研究

為研究中間慣性質量塊質量對系統輸出特性的影響，針對連桿長度 a =56 mm，兩側固支壓電梁初始間距 b =110 mm，中間慣性質量塊質量 M 為5.72和7.12 g 兩種結構參數進行了掃頻試驗。當中間慣性質量 M =5.72 g 時，從位移響應（圖7（ a ）和（ c ））可以看出，系統在正向掃頻的7～12.3 Hz 頻帶和反向掃頻的6.3～10.8 Hz 頻帶內發生了大幅的阱間運動，同時顯示了硬彈簧的非線性特性；系統的電壓響應與位移響應變化基本一致，慣性質量在一個平衡位置附近振動時輸出電壓較小，系統產生大幅振動時輸出電壓較高。圖 8為慣性質量 M =7.12 g 時的掃頻結果，顯示了硬彈簧的非線性，在正向掃頻5.4～12.0 Hz 和反向掃頻5.7～10.6 Hz 頻帶內發生了大幅的阱間運動。對比圖7和8的實驗結果可知，增加中間慣性質量塊的質量在降低結構共振頻率的同時也增大了系統有效的工作頻帶。此外，系統電壓響應不對稱的現象與3.2節中的仿真結果相似，位移的不對稱影響了系統電壓的輸出。

4.3? 隨機實驗研究

實際環境中的激勵往往是寬帶隨機的，俘能系統在隨機激勵下的輸出響應更能反映俘能器的真實表現。為評測俘能系統的實際輸出電壓并驗證機電耦合模型的準確性，采用了與數值仿真中相同的結構參數，在功率譜密度（PSD）為0.005，0.010和0.020 g2/Hz，帶寬為5～55 Hz 的隨機激勵下進行了實驗，結果如圖9所示。當系統在 PSD=0.005 g2/ Hz 時（即0.5g 等效加速度的弱激勵下），系統的位移響應和開路電壓如圖9（ a ）和（b）所示，最大的瞬時電壓對應于系統發生雙阱運動相對頻繁的時刻，系統每次電壓的突變都對應于位移的較大變化，除系統發生阱間運動外，慣性質量塊位移發生較大變化時同樣能引起電壓的突增。隨著激勵強度的增大（圖9（ c ）和（d）），系統開始進行頻繁的阱間運動，系統響應的峰值電壓逐漸增大。當系統受到 PSD ＝0.020 g2/Hz 時（即1.0g 等效加速度的外激勵），中間質量塊的位移在兩個穩定位置頻繁地跳動，雙穩態現象明顯，最大的瞬時電壓為21.8 V 。圖9（ a ）中位移響應顯示，系統的兩個平衡位置為11 mm 左右，與理論模型的10.5 mm 相比有微小的偏差，這是由實驗模型中連桿連接系統的安裝誤差引起的。此外，系統電壓響應不對稱的現象與3.2節中的仿真結果相似，位移的不對稱影響了系統電壓的輸出。

掃頻實驗結果表明，慣性固支梁型俘能結構具有較寬的工作頻帶和剛度硬化的特點，由于激振器的限制，掃頻最低頻率從5 Hz 開始，但實際中增加慣性質量塊的質量可以實現超低頻率（<5 Hz ）下的能量收集。對比隨機實驗結果與仿真結果可知，機電模型可以很好預測阱間運動時伴隨不對稱的電壓輸出現象，驗證了機電模型的準確性。此外，目前只選取特定結構參數分析了單片 PZT?5H 的開路電壓輸出，實際結構中共設計了4片壓電材料，下一步準備對結構參數進行優化，增加壓電材料的長度或選取性能更好的壓電材料，比如 MFC，進一步提高系統的功率輸出。

5 結論

本文提出了一種慣性雙固支梁型振動能量俘能結構。在基礎激勵下結構將慣性力放大驅動壓電梁，使其產生大動態撓度，從而得到高電能輸出。開展了相應的理論分析與實驗研究。由結果可以看出，提出的結構具有非線性雙穩態特性；在放大慣性力的作用下，壓電固支梁容易實現阱間跳躍，從而形成了寬頻帶的高電壓輸出；此外，結構在弱隨機激勵下就可以實現阱間跳躍，因此對于環境中的弱隨機激勵，具有較好的振動能量收集特性；當隨機激勵增大后，結構會進行頻繁的阱間跳躍，即實現相干共振，此時可以保持很高的電壓輸出。所提出的俘能結構設計思路，可為新型振動俘能系統的設計提供方向，也為相關固支梁型機電耦合模型的建立提供有益的參考。

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Design and dynamical characteristics of bistable vibration energy har ? vester with amplified inertial forces acting on double -clamped beams

LIU Qi，QIN Wei-yang，DENG Wang-zheng，LI Qi

（Department of Engineering Mechanics，Northwestern Polytechnic University，Xi’an 710072，China）

Abstract： In this paper，a bistable piezoelectric vibration energy harvester is proposed to harvest vibration energy effectively for wideband random weak excitations . Different from the classical bistable harvesters，this configuration’s bi-stability is realized by the motion of inertial mass . Under the vibration excitations，the inertial force produced by the inertial mass can be amplified and acts on two piezoelectric beams，driving the system to execute snap-through motions easily and generating large outputs . The elec ? tromechanical coupling model is established，and corresponding nonlinear dynamical equations are derived . The output characteris? tics of the system are studied through simulation . The results show that the harvester could realize snap-through motion under weak excitation in a wide frequency range . The length of linkage could have great influence on the shape of the system potential energy . The prototype of the harvester is fabricated and the experimental study is carried out . The sweeping frequency experiments show that the increase of inertial mass can significantly shift the start working frequency to the low frequency . The harvester can realize jumping between two potential wells for a wide range of excitation frequency . It could produce large output voltages . The experi? mental results for random? excitations show that the harvester could execute snap-through motion under weak excitations，which prove the predictions of theoretical analysis .

Key words ： amplified inertial force；bistable system；vibration energy harvesting；clamped piezoelectric beam

作者簡介：劉琦（1993―），男，博士研究生。電話：16692657315；E-mail：liuqiarc@mail .nwpu .edu .cn。通訊作者：秦衛陽（1967—），男，教授。電話：（029）88495747；E-mail：qinweiyang@nwpu .edu .cn。