fGn激勵下非線性系統(tǒng)近似方法適用性的解析分析

鄧茂林 朱位秋

摘要：由于受分數(shù)高斯噪聲（fGn）激勵的非線性系統(tǒng)響應(yīng)不再具有馬爾科夫性，基于擴散過程的理論方法不能直接用于研究此類問題。作為近似方法，寬帶噪聲激勵的擬哈密頓系統(tǒng)隨機平均法已經(jīng)被用于解決此類問題。雖然，該理論方法在響應(yīng)預測和可靠性分析方面取得了較好的效果，但是到目前為止還沒有做過對近似方法的誤差和適用性的解析分析。在本研究中，將近似方法用于分析fGn激勵下的單自由度非線性系統(tǒng)，得到了系統(tǒng)響應(yīng)的近似解析解，再結(jié)合已報道的精確解析解，用漸近分析的方法進行了誤差分析，從而對近似方法的適用性進行了論證，為將來能夠進一步擴展近似方法的應(yīng)用提供了理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞：非線性系統(tǒng)；寬帶噪聲；分數(shù)高斯噪聲；擬哈密頓系統(tǒng)隨機平均法

中圖分類號： O324??? 文獻標志碼： A??? 文章編號：1004-4523（2022）05-1076-08

DOI：10.16385/j .cnki .issn .1004-4523.2022.05.005

引言

在隨機動力學的理論研究和隨機振動相關(guān)的應(yīng)用研究中，高斯白噪聲得到了非常廣泛的應(yīng)用，究其原因，一方面是因為高斯白噪聲是許多實際噪聲的良好的數(shù)學模型；另一方面是因為與高斯白噪聲相關(guān)的數(shù)學理論已經(jīng)發(fā)展得非常成熟[1?2]，受高斯白噪聲激勵的線性系統(tǒng)已經(jīng)能夠得到解析解。至于受高斯白噪聲激勵的非線性系統(tǒng)，根據(jù)系統(tǒng)響應(yīng)過程的馬爾科夫性，可以應(yīng)用基于擴散過程的理論方法進行研究，其中就包括哈密頓理論體系框架內(nèi)的非線性隨機動力學的系列理論方法[3?4]。近年來，隨著分數(shù)階微積分應(yīng)用研究的深入，自然界和工程界中的分數(shù)高斯噪聲（fGn）受到越來越多的關(guān)注，并被引入到隨機動力學中[5?6]。

fGn是一類具有特殊相關(guān)結(jié)構(gòu)與譜密度的高斯色噪聲，它的特點是具有長相關(guān)性[7?8]，受fGn激勵的系統(tǒng)響應(yīng)不是馬爾科夫過程。根據(jù)相應(yīng)的隨機平均原理[9?11]，發(fā)展了fGn激勵的擬哈密頓系統(tǒng)隨機平均法[12?13]，導出了系統(tǒng)響應(yīng)滿足的分數(shù)階伊藤隨機微分方程。由于與分數(shù)布朗運動相關(guān)的隨機微分方程理論尚在發(fā)展之中[14?15]，目前無法解析地預測系統(tǒng)響應(yīng)，只能通過對分數(shù)階伊藤隨機微分方程做數(shù)值模擬得到系統(tǒng)的響應(yīng)，因此，發(fā)展近似的理論方法就顯得尤為重要。一種已被應(yīng)用的近似方法就是寬帶噪聲激勵下擬可積哈密頓系統(tǒng)隨機平均法，該法已經(jīng)被成功應(yīng)用于fGn激勵下多自由度強非線性系統(tǒng)的響應(yīng)預測和可靠性分析[16?17]。近似方法利用了fGn的功率譜在頻率遠離零點的范圍內(nèi)比較平坦的特點，fGn過程具有局部寬帶的特性。由于高維 FPK 方程難以得到解析解，對該近似方法的適用性分析也只能是通過數(shù)值解和模擬結(jié)果的比較來進行，尚缺乏嚴謹?shù)睦碚摲治觥１狙芯空窍霃浹a這個缺陷，通過把寬帶噪聲激勵下擬可積哈密頓系統(tǒng)隨機平均法應(yīng)用于一個典型的受fGn激勵的單自由度非線性系統(tǒng)，得到了系統(tǒng)響應(yīng)的近似解析解，再通過與已報道的精確解析解相比較[18]，用漸近分析的方法進行了誤差分析，論證了近似方法的適用性。這將使得近似方法在將來應(yīng)用于fGn激勵的多自由度強非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性與控制等更多更深入的研究中有堅實可信的理論依據(jù)。

1? fGn激勵下單自由度非線性系統(tǒng)的響應(yīng)

寬帶噪聲激勵下擬可積哈密頓系統(tǒng)隨機平均法適用于研究多自由度強非線性系統(tǒng)[3，19]，但是多自由度強非線性系統(tǒng)往往含有太多的非線性參數(shù)，且系統(tǒng)響應(yīng)一般沒有解析解，不便于對理論方法的適用性和誤差進行解析的分析。此處考慮如下受fGn激勵的單自由度非線性系統(tǒng)：

其中僅有參數(shù) k 起著量化系統(tǒng)非線性強弱的作用；噪聲 W （ t ）即是fGn，它具有如下自相關(guān)函數(shù) R（τ）和功率譜密度 S（ω）[5，7?8]：

式中? 2D 為噪聲 W （ t ）的強度，當 D =0.5時， W （ t ）為單位fGn；?為 Hurst 系數(shù)，它決定了fGn的性質(zhì)。當 0<?<時，fGn沒有傳統(tǒng)意義上的功率譜，不能作為實際工程振動中激勵力的模型[5]。圖 1顯示了<?<1時單位fGn的相關(guān)函數(shù) R（τ）和功率譜 S （ω），當?= 或?=1時，式（2）不能直接計算，可采用以下極限形式：

可見，當?→時，fGn的功率譜密度趨于常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)趨于δ函數(shù)，這對應(yīng)于高斯白噪聲過程；當?→1時，fGn功率譜密度趨于δ函數(shù)、而自相關(guān)函數(shù)趨于常數(shù)，這對應(yīng)于高斯分布的隨機變量；當<?<1時，fGn是介于上述兩者之間的有色高斯噪聲，其最重要的性質(zhì)就是當前噪聲值與歷史噪聲值有著長相關(guān)性（又稱長記憶性）[5，8]。

系統(tǒng)（1）的哈密頓函數(shù) H（ X，X? ） 也是系統(tǒng)的總能量函數(shù)，它可以表示為：

其中：

假定系統(tǒng)（1）的退化的保守系統(tǒng)在平衡點附近具有周期解，在弱激勵和弱阻尼的條件下，可假定系統(tǒng)（1）的響應(yīng)具有如下隨機周期解的形式：

式（6）中的振幅 A 是哈密頓量 H 的確定性函數(shù)，v 是瞬時頻率，它與哈密頓量 H 和相角Φ之間的關(guān)系可由式（4）和（6）推導得：

上式表明，v 是Φ的偶函數(shù)，可以展開成以下傅里葉級數(shù)：

即可得平均頻率 （ H ）=，稱其為非線性系統(tǒng)的主頻率，并可表示成以下級數(shù)形式：

上式表明主頻率位于退化線性系統(tǒng)的頻率ω n 附近，因受非線性參數(shù) k 的影響而有所偏離，且在振動過程中，主頻率隨系統(tǒng)能量 H 的變化而變化，在以后做平均運算的時候?qū)⒂玫揭韵陆脐P(guān)系：

式（6）可被視為從系統(tǒng)（1）運動狀態(tài) X（ t ），X? （ t ）到 H（ t ），Θ（ t ）的變換，據(jù)此系統(tǒng)（1）可變換為以下等效的運動方程：

如前所述，受fGn激勵的系統(tǒng)（1）的響應(yīng)不是馬爾科夫過程，但是考慮到對系統(tǒng)響應(yīng)起主要作用的是系統(tǒng)主頻率及其倍數(shù)頻率附近的噪聲成分，當這部分噪聲具有寬帶性質(zhì)時，可應(yīng)用寬帶噪聲激勵下擬可積哈密頓系統(tǒng)隨機平均法[19]。系統(tǒng)哈密頓過程 H （ t ）收斂于馬爾科夫擴散過程，受如下平均后的伊藤隨機微分方程支配[20]：

式中? B （ t ）是單位布朗運動過程（或稱維納過程），漂移系數(shù) a （ H ）和擴散系數(shù)σ2（ H ）可按下式得到：

式中? t 表示對時間 t 的平均，它可以用對相角Φ

為得到上述 FPK 方程中 a （ H ）和σ2（ H ）兩系數(shù)的顯式，可先把 F（ H ），G（ H ），G（Θ）展開成關(guān)于Φ的傅里葉級數(shù)，再對τ積分和對Φ進行平均，最終得兩系數(shù)為：

穩(wěn)態(tài) FPK 方程（15）可被整理成伯努利型微分方程，并有如下形式的解[3]：

式中? C 為歸一化常數(shù)。從式（16）可見，fGn對系統(tǒng)響應(yīng)的貢獻是通過 S（），S （3），S （5） …等功率譜密度值來實現(xiàn)。只要這些頻率附近的功率譜密度緩慢變化，fGn就可以被近似為寬帶噪聲。

為了分析非線性參數(shù) k 對系統(tǒng)響應(yīng)的影響，可將式（17）表示成如下級數(shù)形式：

式中? S = S（ω n ），S '= S '（ω n ），S ″= S ″（ω n ），符號“'”和“''”分別表示一次和二次導數(shù)。從式（18）可知，當系統(tǒng)非線性較弱時，可僅取 k 的一次項，響應(yīng) p （ H ） 只受譜密度值 S（ω n ）及其導數(shù) S '（ω n ）的影響；當系統(tǒng)非線性強一些時，可取到 k 的二次項，影響 p （ H ） 的因素多了 S（3ω n ）和二階導數(shù) S ″（ω n ），隨著系統(tǒng)非線性增強，影響 p （ H ）的因素將包括更高倍頻處的譜密度值和譜密度的更高階導數(shù)。

概率密度 p （ H ）也可表示成如下 H 的無窮階矩的形式：

更多系統(tǒng)響應(yīng)的統(tǒng)計特性可以從 p （ H ）導得，比如系統(tǒng)位移 X 的各階矩：

用式（19）中的 E [ H n ]或式（20）中的 E [ X 2n ]來分析非線性參數(shù) k 對系統(tǒng)響應(yīng)的影響，結(jié)論與前述以式（18）中的 p （ H ）來分析的結(jié)果相同，隨著系統(tǒng)非線性增強，影響系統(tǒng)響應(yīng)的將包括更高倍頻處的譜密度值和譜密度的更高階導數(shù)。

2 fGn激勵下單自由度線性系統(tǒng)的響應(yīng)

當非線性參數(shù) k =0時，系統(tǒng)（1）退化為以下fGn激勵的單自由度線性系統(tǒng)：

應(yīng)用線性隨機振動的譜分析法已得到其精確響應(yīng)為[18]：

式中 ζ=γ（2ω n ）；Γ（?）為 Gamma 函數(shù)。考慮到響應(yīng)為零均值高斯隨機過程，在式（22）基礎(chǔ)上，可進一步推導得概率密度和其他統(tǒng)計量的精確解。根據(jù)概率論，可得如下與p （ H ）對應(yīng)的特征函數(shù) M（ z ）為：

其中 H 的各階矩Eexact [ H n ]有如下精確解：

式中 2 F 1（?，?，?，?）為超幾何函數(shù)。注意到fGn激勵的線性系統(tǒng)響應(yīng)仍然是高斯分布的，可以得到以下位移各階矩的精確解：

前述寬帶噪聲激勵下擬可積哈密頓系統(tǒng)隨機平均法已經(jīng)被應(yīng)用于fGn激勵下多自由度強非線性系統(tǒng)的響應(yīng)預測和可靠性分析，并通過數(shù)值誤差分析指出，當系統(tǒng)主頻率落在fGn功率譜密度中比較平坦的范圍內(nèi)時，近似方法是適用的[16?17]。在這里，鑒于容易獲得單自由度線性系統(tǒng)響應(yīng)的解析解，僅對線性系統(tǒng)做出解析分析。考慮線性系統(tǒng)（21）受如下限帶白噪聲 W （ t ）激勵（如圖2中實線所示）：

系統(tǒng)均方響應(yīng)為[2] ：

其中函數(shù) I（ x ）如圖3（ a ）所示。

由圖3可見，阻尼率ζ越小，在ωω n =1處的 I （ x ）曲線越陡，這說明，只要區(qū)間（ω1，ω2）包括了ω n，就有 I（ω2ω n ）- I （ω1ω n ）≈1，限帶白噪聲的響應(yīng)可以用白噪聲的響應(yīng) E [ X 2]=πS0（2ζω n（3））來近似。再考慮 W （ t ）為 S（ω n ）= S0，（ω1，ω2）內(nèi)的功率譜密度是具有斜率 S '（如圖2中虛線所示）的限帶噪聲，即：

可以得到系統(tǒng)均方響應(yīng)為（推導過程略）：

其中函數(shù) J（ x，y ）如圖3（b）所示。可見，斜率 S '改變了ωω n =1 處曲線的陡峭程度， J （ω2ω n，S 'ω n S0）- J （ω1ω n，S 'ω n S0）能否約等于1，也即 E [ X 2]能否近似為白噪聲的響應(yīng)，是受斜率 S '影響的。只有當斜率 S '比較小，即譜密度曲線比較平坦時才可以。

3 近似方法適用性的分析

在前述用寬帶噪聲激勵下擬可積哈密頓系統(tǒng)隨機平均法得到的fGn激勵下單自由度非線性系統(tǒng)（1）響應(yīng)的近似解析解p （ H ），E [ Hn ]和 E [ X 2n ]（見式（18），（19）和（20））中令 k =0，就得到fGn激勵下線性系統(tǒng)（21）響應(yīng)的近似解析解。同時，系統(tǒng)（21）的響應(yīng)有精確解析解（見式（24）和（25））。這樣就可以近似計算方法預測線性系統(tǒng)響應(yīng)時的誤差，比如：

式中? e n（H）和 e2n（X）分別是用系統(tǒng)能量矩 E [ H n ]和位移矩 E [ X 2n ]來定義的相對誤差。圖 4，5顯示了 e n（H）和 e2n（X）隨 Hurst 系數(shù)?、線性主頻率ω n 及系統(tǒng)阻尼系數(shù)γ的變化情況。圖 4，5表明，當?越接近于和ω n 越大時，近似解的誤差越小，原因在于此時fGn具有較寬的頻帶。圖4，5還表明，對響應(yīng)低階矩 E [ H ]和E [ X 2]的近似解誤差要低于對響應(yīng)高階矩 E [ H 2]和E [ X4]的近似解誤差。γ=2ζω n 是線性系統(tǒng)（21）幅頻響應(yīng)特性的半功率帶寬[2] ，它衡量了系統(tǒng)能在ω n 附近多大頻率范圍內(nèi)吸收噪聲的能量。比較圖4（ a ）與圖6（ a ），或比較圖5（ a ）與圖6（b）表明，γ增加時，近似解誤差增加。觀察近似解式（18），（19）和（20）可知，k =0時，fGn功率譜密度中僅譜值 S（ω n ）出現(xiàn)在近似解的表達式中，鄰域噪聲成分的影響被近似解忽略了，這就是γ增加，近似解誤差增大的原因。

當fGn激勵的非線性系統(tǒng)（1）中 k >0時，從近似解式（18），（19）和（20）可以看出，除退化線性系統(tǒng)頻率ω n 外，其倍頻3ω n，5ω n，…上的譜密度值和譜密度的各階導數(shù)也出現(xiàn)在近似解的表達式中。因此，對于fGn激勵的非線性系統(tǒng)（1），當退化線性系統(tǒng)頻率及其倍頻ω n，3ω n，5ω n，…都處于fGn功率譜密度曲線較為平坦的范圍內(nèi)時，誤差較小，近似方法更適用。若要分析非線性因素對系統(tǒng)響應(yīng)的影響，

可以借助式（18），（19）和（20）進行解析分析。由于哈密頓量 H 在非線性系統(tǒng)的響應(yīng)預測、可靠性分析和穩(wěn)定性分析中具有重要的地位，這里就以 H 為響應(yīng)量進行分析。結(jié)合式（19）可知以下比值：

η n（H）表示在 n 階能量矩 E [ H n ]中，由非線性因素k 帶來的那部分響應(yīng)量在整個響應(yīng)量中的占比。圖 7分別示出了高斯白噪聲（?=0.5）和fGn激勵（?=0.75）下非線性響應(yīng)量占比隨參數(shù) k 的變化情況。圖 7表明，無論高斯白噪聲激勵還是fGn激勵，也無論 k 為何值，非線性因素對高階矩的影響都要大于對低階矩的影響。對圖7（ a ）與圖7（b）中相同η1（H），η2（H）或η3（H）的比較表明，高斯白噪聲激勵下η n（H）隨 k 增加較緩慢，而fGn激勵下η n（H）隨 k 增加較急速。換言之，在 Hurst 系數(shù)?和非線性因素 k 的共同影響下，能量矩 E [ H n ]有著非常大的變化。應(yīng)用寬帶噪聲激勵下擬可積哈密頓系統(tǒng)隨機平均法所得到的理論結(jié)果能夠準確地體現(xiàn)出非線性因素的影響。

4 結(jié)論

通過fGn激勵下線性系統(tǒng)響應(yīng)的精確解析解與用寬帶噪聲激勵下擬可積哈密頓系統(tǒng)隨機平均法所得的近似解析解之間的比較可知，只要系統(tǒng)固有頻率所在頻段的功率譜密度曲線比較平坦，近似解析解的誤差就會較小。對于fGn激勵的非線性系統(tǒng)，主頻率及其倍數(shù)頻率處的譜密度值和譜密度的各階導數(shù)會影響解析解精度。可以預計的是，對強非線性系統(tǒng)，當fGn功率譜密度曲線在系統(tǒng)主頻率及其倍數(shù)頻率處較為平坦時，響應(yīng)近似解析解的誤差較小。分析表明，近似解析解也能反映出 Hurst 系數(shù)和非線性參數(shù)對響應(yīng)量有較大的影響。總之，在fGn功率譜密度曲線較平坦的區(qū)域內(nèi)，寬帶噪聲激勵下擬可積哈密頓系統(tǒng)隨機平均法適合于研究fGn激勵下的多自由度強非線性系統(tǒng)的動力學。

參考文獻：

[1] 朱位秋.隨機振動[M].北京：科學出版社，1998.

Zhu? W? Q . Random? Vibration [M]. Beijing： Science Press，1998.

[2] 方同.工程隨機振動[M].北京：國防工業(yè)出版社，1995.

Fang? T . Engineering? Random? Vibration[M]. Beijing： National Defense Industry Press，1995.

[3] 朱位秋.非線性隨機動力學與控制— Hamilton 理論體系框架[M].北京：科學出版社，2003：238.

Zhu W Q . Nonlinear Stochastic Dynamics and Control— in Hamiltonian? Theory Formulation[M]. Beijing：Sci? ence Press，2003：238.

[4]? Zhu W Q . Nonlinear stochastic dynamics and control inHamiltonian? formulation[ J ]. ASME? Applied? Mechan? ics Reviews，2006，59（4）：230?248.

[5]? Uchaikin V V . Fractional Derivatives for Physicists andEngineers ：Vol .I? Background? and? Theory [M]. Ber? lin：Springer?Verlag，2012：144.

[6]? Uchaikin V V . Fractional Derivatives for Physicists andEngineers：Vol .? II?? Applications? [M].?? Berlin：Springer?Verlag，2012.

[7]? Mandelbrot B? B，Van Ness J W . Fractional Brownianmotions ，fractional? noises? and? applications [ J ]. SIAM Review，1968，10（4）：422?437.

[8]? Luo? A? C? J ，Afraimovich? V . Long?range? Interactions，Stochasticity? and? Fractional? Dynamics [M]. Beijing： Higher Education Press，2011.

[9]? Xu Y，Pei B，Guo R . Stochastic averaging for slow-fastdynamical systems with fractional Brownian motion[ J ]. Discrete? Continuous? Dynamical? Systems? Series? B，2015，20（7）：2257-2267.

[10] Xu? Y ，Pei? B ，Wu? J? L . Stochastic? averaging? principlefor differential equations with non-Lipschitz coefficients driven by fractional Brownian motion[ J ]. Stochastic and Dynamics，2017，17（2）：1750013.

[11] Pei B，Xu Y，Wu J L . Stochastic averaging for stochas?tic? differential? equations? driven? by? fractional? Brownian motion? and? standard? Brownian? motion [ J ]. Applied Mathematics Letters，2020，100：106006.

[12] Lü Q F，Deng M L，Zhu W Q . Stationary response ofmultidegree-of-freedom? strongly? nonlinear? systems? to fractional? Gaussian? noise [ J ]. Journal? of? Applied? Me? chanics，2017，84（10）：101001.

[13] Deng M L，Lü Q F，Zhu W Q . Stochastic averaging ofquasi integrable and non-resonant Hamiltonian systems excited by fractional Gaussian noise with Hurst index H ∈（1/2，1）[ J ]. International Journal of Non-Linear Me? chanics，2018，98：43-50.

[14] Biagini F，Hu Y，?ksendal B，et al. Stochastic Calcu ?lus? for? Fractional? Brownian? Motion? and? Applications [M]. London：Springer-Verlag，2008.

[15] Mishura Y S . Stochastic calculus for fractional Brown ?ian Motion and Related Processes[M]. Berlin：Spring? er-Verlag，2008.

[16] Lü Q F，Zhu W Q，Deng M L . Response of quasi-inte?grable and non-resonant Hamiltonian systems to? frac? tional Gaussian noise[ J ]. IEEE Access，2020，8（1）：72372-72380.

[17] Lü Q F，Zhu W Q，Deng M L . Reliability of quasi inte?grable? and? non-resonant? Hamiltonian? systems? under fractional Gaussian noise excitation[ J ]. Acta MechanicaSinica，2020，36（4）：902-909.

[18] Deng M L，Zhu W Q . Responses of linear and nonlin?ear oscillators to fractional Gaussian noise with Hurst in ? dex between 1/2 and 1[ J ]. ASME Journal of Applied Mechanics，2015，82（10）：101008.

[19] Zhu W Q，Huang Z L，Suzuki Y . Response and stabili?ty of strongly non-linear oscillators under wide-band ran? domexcitation[ J ]. International Journal of Non-Linear Mechanics，2001，36：1235-1250.

[20] Khasminskii R Z . On the averaging principle for It?sto?chastic differential equations [ J ]. Kibernetka，1968，3（4）：260-279.

Analytical analysis on the applicability of an approximate method to nonlinear systems driven by fGn

DENG Mao-lin，ZHU Wei-qiu

（Institute of Applied Mechanics，School of Aeronautics and Astronautics，Zhejiang University，Hangzhou 310027，China）

Abstract： Due to the non-Markov property of response of a nonlinear system driven by fractional Gaussian noise （fGn），the diffu? sion process theory cannot be applied . As an approximate method，the stochastic averaging method for multi-DOF strongly nonlin? ear systems driven by wideband noise has been applied to study nonlinear systems driven by fGn . The results show that the approxi? mate method is very effective in the response prediction and the reliability analysis . However，so far there has been no analytical analysis on the error and applicability of the approximate method . In the present paper，the approximate method is applied to study a single-DOF nonlinear system driven by fGn and some analytical solutions are obtained . By comparing with reported exact analyti? cal solutions，the error analysis is performed and the applicability of approximate method is determined . The conclusion of the pres? ent paper can be the theoretical foundation for further application of the approximate method .

Key words： nonlinear system；wideband noise；fractional Gaussian noise （fGn）；stochastic averaging method of quasi Hamiltonian systems

作者簡介：鄧茂林（1973—），男，副教授。E-mail：mldeng@zju .edu .cn。

通訊作者：朱位秋（1938—），男，教授，中國科學院院士。電話：（0571）87991150；E-mail：wqzhu@zju .edu .cn。