素養為先：論始于“學生自主創造”的主題探究教學*

210003 南京師范大學附屬中學 孫風建

《普通高中數學課程標準(2017年版)》明確了數學學科的核心素養，希望教師能把握數學本質，重視情境創設和問題提出，從整體規劃學生的核心素養發展．主題式教學可以很好地承載“整體性”學習目標.主題探究教學本質在“主題”，由學生鮮活的思考或疑惑生長出的探究主題，有利于學生發揮主動性，自主推動探究，在不斷提出和解決問題過程中發展高階思維．

函數是高中數學中一個十分重要的概念，如果學生沒有充分經歷函數概念的抽象過程，往往很難在千變萬化的函數問題中應對自如，筆者以“這樣的函數有多少個”這一主題的探究教學為例，以學生素養為先，研究教學．

1 “這樣的函數有多少個”主題探究教學過程

1.1 激發動機，生成探究主題

在函數這一章節中，蘇教版教材給出了這樣的問題：已知一個函數的解析式為y=x2，它的值域為[1，4]，這樣的函數有多少個？

這是一個開放性問題．學生通過之前學習的知識(即函數的三要素決定一個函數)，很快發現本題中對應法則和值域已限定，要確定函數，關鍵在于確定定義域．如果定義域稍加變化，就可以得到一系列答案，如x∈[1,2]，x∈[-2,-1]，x∈[1,2]∪[-2,-1]等，所以答案是“無數個”．

表面來看，學生已經掌握函數概念．如果僅止于此，可能就錯過了一個讓知識整體關聯的好機會．所以，筆者隨即追問：如果對應法則不變，值域變化了，這樣的函數有多少個？學生發現其中暗藏玄機，一時難以簡單回答，決定一探究竟，隨即誕生了一個探究主題——“這樣的函數有多少個”．

1.2 自主合作，形成初步方案

學生分成小組，從確定對應法則出發，探索如果改變值域，結果會發生怎樣的變化，其中有什么一般特征，形成了本組的自主探究任務.有的小組嘗試把值域換成其他有限數，最終探索出了值域為一般有限區間[a,b]時的情況.有的小組嘗試把連續區間離散化，但情況太多，探索得出普適的結論存在困難，經過討論，決定從最簡單且和[1，4]形式最接近的情況{1，4}入手探究．

自主探究1已知一個函數的解析式為y=x2，它的定義域和值域均為[a,b]，則這樣的函數有多少個？

(3)當a<0

綜上，這樣的函數只有1個．

自主探究2已知一個函數的解析式為y=x2，它的值域為{1,4}，這樣的函數有多少個？

解法1：當y=1時，x=1或x=-1；當y=4時，x=2或x=-2.以函數定義域中的元素個數來分類.

(1)當元素個數為2時，有{1,2},{1,-2},{-1,2},{-1,-2},共4種；

(2)當元素個數為3時，有{1,2,-2},{1,-1,-2},{-1,1,2},{-1,1,-2},共4種；

(3)當元素個數為4時，只有{1,-1,2,-2} 1種.

因此，這樣的函數有9個．

解法2：當y=1時，x=1或x=-1；當y=4時，x=2或x=-2.

第一步有三種選擇，即x可以是1或-1，也可以是兩個都取，共有三種不同的選法;同理，第二步也有三種不同的選法，按照分步計算原理共有九種．

1.3 啟發反思，促進深入研究

隨著集合元素的增多，要清晰準確地數出函數個數變得越來越困難，有的學生苦于列舉法情況太多，也有學生想嘗試用排列組合的方法計數，卻難列舉清楚.教師的適時引導顯出了必要性.但“引導”不等同于“告知”，學生的思維處于活躍狀態時，前期探索激活了最近發展區，這時恰當的啟發性問題可確保學生有充分的思考空間．

啟發1探究1的方法有什么優勢？探究2里的兩種方法又各有什么優勢？

學生反思成果：(數學思想)具體區間不勝枚舉，但數學不滿足于“逐個列舉”研究函數，而是觀察具體事實的共同特征，進行抽象概括得到一般性結論，這樣的結論具有普適性，自然可包括具體區間的種種情況．

啟發2如果讓你繼續探索，你會從什么角度研究？

基于對探究1的反思，大部分學生會傾向于探究其一般性結論.隨著討論深入，學生的思路越來越發散，有的組提出希望找出這個集合的規律，將其擴充，嘗試探索更一般的情況值域為{1,4,9,…n2}.還有的組認為可以結合集合部分的知識進行綜合探索，比如探索值域為{1,4,9,…,n2}的非空子集，于是產生了綜合性更強的兩個探究角度．

自主探究3已知一個函數的解析式為y=x2，它的值域為{1,4,9,…,n2}，這樣的函數有多少個？

解：根據函數定義，值域中的每個元素在定義域中都有唯一的元素與之對應，所以與1對應的元素可以有1,-1，也可以是兩個元素都取，共有三種情況.同理，與4對應的元素也有三種情況，以此類推，根據乘法計算原理共有3n種情況，即這樣的函數共有3n個.

自主探究4已知一個函數的解析式為y=x2，它的值域為{1,4,9,…,n2}的非空子集，這樣的函數有多少個？

解法2：根據函數定義，值域中每個元素在定義域中都有唯一的元素與之對應，如與1對應的元素可以有1,-1，也可以是兩個元素都取，當然也可以都不選，因此共有四種情況;同理，與4對應的元素也有四種情況.以此類推，根據乘法計算原理共有4n種情況，但是要防止與值域中每一個值對應的兩個元素都不選這種情況發生，因此這樣的函數共有4n-1個.

教師點評：在研究新問題遇到困難時，從特殊的情況開始摸索，通過總結類比和嚴格的邏輯推理，探索解決一般情況的方法，這也是數學探究的重要思想之一——化歸思想．

啟發3如果定義域也受了限制，我們又該怎樣研究呢？

由圖1可見，灰渣脫色率隨吸附劑投放量加大而增加，投放量達到 1.5g·L-1時變緩，達 2.5g·L-1時進一步變緩。初期染液中有機物濃度較大時，吸附劑的吸附位與吸附質接觸機會多，吸附效果好，當吸附質濃度小于某一濃度范圍后，吸附劑的吸附位與吸附質作用幾率降低，吸附效果減弱[5,6]。綜合考慮，確定灰渣吸附劑投放量為2.5g·L-1為宜。

1.4 深度思考，提升抽象思維

隨著問題提升到一個新的難度，學生需要更多的思考時間，邊探究邊總結反思，有的組需要教師的點撥.經過討論后各組達成共識：限制條件調整為“值域為定義域的子集”，同時函數的解析式也發生變化等.

自主探究5已知函數f(x)=x3-3x定義域為[a，b](a，b∈Z)，若函數f(x)的值域為[a，b]的子集，則這樣的函數有幾個？

解：因為f(x)=x3-3x，所以f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)，當x∈(-∞，-1),(1,+∞)時，f′(x)>0，當x∈(-1，1)時，f′(x)<0．所以f(x)在(-∞，-1)上單調遞增，在(-1，1)上單調遞減，在(1，+∞)上單調遞增．

(2)當a≤-1且-1b，矛盾，不合題意．

(5)當-1

因此，所求整數a，b的值為a=-2，b=2．這樣的函數只有1個．

2 反思：素養為先，反觀學生思維能力的培養

如表1所示，“這樣的函數有多少個”主題式探究教學中，學生逐步生成了“特定值域區間-集合知識融合-一般定義域和值域-封閉函數”的探究路徑，進行了一次從“事實到概念”的深入學習，從另一個角度又經歷了一次核心概念的整體抽象過程．事實上，學生從特殊元素入手完成了探究2和探究3，之后對值域進行一般化，才發現探究1這樣一個隱藏的探究路徑，進而將思維拓展到了探究5這樣一種更抽象復雜的層面，學生的深入思考無意間引發了一些新函數的定義，從而探究更抽象的數學對象，這是學生深入思考自然推動的結果，雖然對思維水平要求更高，但是整個過程卻更加自然.

表1 “這樣的函數有多少個”微主題式探究框架

學生能將函數、集合、分類計數原理、導數、不等式等知識有機結合，在探究和小組合作過程中激活最近發展區的相關知識，從研究一般問題“退”到從“特殊”入手，再從“特殊”問題“進”到一般情況完成更加嚴格的分析和表述，數學思想也在反思和總結環節得到凸顯和加強.結合SOLO評價標準發現，學生思維從對問題單一層面的認知水平逐步提升至將多個知識層面有機融合的“關聯結構水平”，并在對定義域和值域充分討論后得到封閉函數這一更加抽象的認知，思維達到高階的“拓展抽象結構水平”.由于本案例主題探究的起點為教材原題，學生并未表現出思維混亂、無序的“前結構思維狀態”．開放探究的過程中學生研究熱情高漲，數學核心素養的發展也得到了落實.

核心素養不是直接由教師教出來的，而是在問題情境中借助問題解決的實踐培育出來的.日常教學中，教師應善于抓住學生思考過程中自主探究的“珠”，因勢利導串成主題探究的“鏈”，自然誘發深度思考.同時以“啟”促“發”，站在章節、模塊甚至數學課程的高度去認識教學內容，從而形成有生命力、有靈魂的整體知識，激活數學知識間的關聯性，為學生深度思考創造條件.問題解決的探究過程中，應始終堅持學生的主體地位，通過非“告訴”式的“引導”，讓學生適時拓寬思路，變換探索路徑時依然能清晰地把握核心對象，自主將重要概念與探究主題建立聯系，發展數學核心素養．

隨著學生知識儲備的增加，以及教師在日常教學中對一些數學思想進行滲透，學生會喜歡這種“高屋建瓴”地建構知識體系的感覺，從而在自主和自覺的思考中實現思維躍變，對具體知識的認知也將提高至高階水平．