順“思”而為 借“思”而上
——三個數學案例的實錄、評析和思考*

章祥俊 (江蘇省蘇州吳縣中學 215129)

近年來，數學課堂的變化是巨大的，課堂教學過程中的問題驅動、活動引領、任務驅動、項目學習、單元設計等已經成為趨勢．課堂教學中，以學生為中心，關注學生動手實踐、自主探究、合作交流、問題解決等已經成為常態．課堂教學中，我們應更多地關注學生的自主空間，關注學生的主動學習，關注學生的主體意識，實現學生的自我價值，激發學生的學習動力，順勢而為，借思而上，引導學生深度思考，促進學生學會學習．本文擬結合三個案例具體談一談．

1 順“思”而為，引發自主探究，促進學生主動學習

案例1

求函數

f

(

x

)=

x

-2

x

-3，

x

∈

R

的最小值．生：因為

f

(

x

)=

x

-2

x

-3=(

x

-1)-4，所以函數

f

(

x

)的最小值為

f

(1)=-4．

設計問題 以二次函數為背景，請你命制一道求函數最值的題目．

生1：求函數

f

(

x

)=

x

-2

x

-3，

x

∈[2,3]的最小值．生2：求函數

f

(

x

)=

x

-2

x

-3，

x

∈(2,3)的最小值．生3：求函數

f

(

x

)=

x

-2

x

-

a

，

x

∈[2,3]，

a

∈

R

的最小值．生4：求函數

f

(

x

)=

x

-

ax

-3，

x

∈[2,3]，

a

∈

R

的最小值．生5：求函數

f

(

x

)=

ax

-2

x

-3，

x

∈[2,3]，

a

∈

R

的最小值．生6：求函數

f

(

x

)=

x

-2

x

-3，

x

∈[

a

-1,

a

+1]，

a

∈

R

的最小值．生7：求函數

f

(

x

)=

ax

-2

ax

-3，

x

∈[2,3]，

a

∈

R

的最小值．生8：求函數

f

(

x

)=

ax

-

bx

+

c

，

x

∈[

m

,

n

]，

a

,

b

,

c

,

m

,

n

∈

R

的最小值．

評析和思考

以二次函數為背景的函數最值問題是高一數學學習中一個重點內容．教師在進行教學設計時，將預設的題目變為引導學生自行研究、小組討論、解題和歸納的開放題，讓學生自己命制求函數最值的題目，順著第一個學生的思維，組織學生進行自編活動，共編制出8個變式題.通過這樣順“思”而為的活動引導學生主動思考與探究，思維層層遞進，將二次函數從“定軸定區間”的研究自然深入到“動軸定區間”“定軸動區間”“動軸動區間”的研究．在這樣的過程中，學生的思維因問題的開放性和探究性而激活，教學效果必然好很多，同時，這樣處理極大地調動了學生的積極性和主動性．從培養學生數學觀念的角度看，這樣的過程可以培養學生在一定的數學情境中抽象出數學概念、命題、方法和體系，積累從特殊到一般的活動經驗、從靜止到變化的函數思想方法，養成在日常學習和實踐中從一般性角度思考問題的習慣，把握事物的本質，以簡馭繁，運用數學思維思考并解決問題．順“思”而為激發了學生的主動學習，實現了學生的思維升華，提升了學生核心素養發展，促進了學生的主動學習．

2 借“思”而上，探究知識本質，促進學生樂于學習

案例2

等比數列前

n

項和

S

=

a

+

a

q

+

a

q

+…+

a

q

-1公式的推導．生1：提取公因數

a

．

生2：倒序加？倒序乘？

生3：特殊化，令

S

=1+2+2+…+2-1，猜想

S

=

q

-1．生4：令

S

=1+3+3+…+3-1，那么剛才的猜想不成立，應猜想生5：令

S

=1+4+4+…+4-1，那么剛才的猜想也不成立，應猜想生6：當公比為

q

時，應該是此時公比應該不能是1．生7：要證即證

S

(

q

-1)=

q

-1，也就是證

qS

-

S

=

q

-1．此時因為

qS

=

q

+

q

+

q

+…+

q

，

S

=1+

q

+

q

+…+

q

-1，兩式相減即可證得．又因為首項為

a

，所以

評析和思考

很多教師在推導等比數列前

n

項和公式時將“錯位相減法”硬塞給學生，學生表面上聽懂了，但他們心中的“惑”由誰人來解？學生是在多次操練下似懂非懂地練“會”了，這是真的會了嗎？他們理解為什么這樣推導嗎？學生對錯位相減法的道理感覺云里霧里，整個學習處于被動的狀態．

在講授該內容時，筆者曾遇到這樣的情景：先問學生如何進行推導，得到的回復是“我不會”，也有回答“錯位相減法”的、再追問時得到的回答是“課本上就是這樣”，然后順著學生的回答講授該方法，學生也就被動地聽之．直到兩年前，同樣講授該內容時，遇到一個“固執”的學生追問“為何如此推導”，且有不達目的不罷休之勢，借著這位學生的“思”引導全班學生共同思考、探究，把順勢和借思的時間給足學生，終得上述案例2．

筆者曾做過多次調查，讓高三的學生證明課本中一些定理、公式時，能證明或推導出的學生寥寥無幾．課程改革致力于培養學生的核心素養、關鍵能力和終身學習的學習力，其出發點和根本目的是完全正確的，但是在教學實踐中很多教師還是“新瓶裝舊酒”，教學中僅僅關注“是什么”而忽視“為什么”，這不得不令人深思．實際教學中，我們完全可以把課堂真正讓給學生，把思考的時間和機會留給學生，讓學生借“思”而上.通過自己的理解和與同伴的交流討論，學生一定能理解“錯位相減法”的本質，其學習的興趣也就自然被激發出來了．

3 因“思”利導，提升思維品質，促進學生深度學習

案例3

已知正實數

a

,

b

滿足求3

a

+2

b

的最小值．

生1：消元法，所以只是繼續處理有難度，應該有更好的思路解決這道題目．我再想一想．

生2：換元法，令

m

=

a

+

b

>0，

n

=

a

-

b

>0，題目轉化為：已知求的最小值．而拆開后用基本不等式解決，3

a

+2

b

的最小值為生3：這個思路很好，但取不到等號，所以3

a

+2

b

的最小值肯定不是生4：令則由

f

(

x

)=在(1,+∞)上遞增，解得

f

(

x

)=

f

(1)=6，所以3

a

+2

b

的最小值為6．生5：也不對！因為當

x

=1時，

m

=

n

，即

a

+

b

=

a

-

b

，于是

b

=0，與已知條件矛盾．生6：可以借助圖象解釋原因可以轉化為(

a

-1)-

b

=1(

a

,

b

>0)，對應的圖象為雙曲線在第一象限的部分，所以

a

=1不可能成立．我認為本題沒有最小值．生7：可以將題目改為求3

a

+2

b

的取值范圍．生8：也可以改為：已知正實數

a

,

b

滿足求3

a

-2

b

的最小值．利用線性規劃，在直線與雙曲線(第一象限)相切時取得最值．

評析和思考

在該案例中，從高考常考的多元最值問題出發，引導學生對問題進行多維的探究與反思，思維在交流碰撞中提升，真正理解了問題的處理方法．學生經歷由通性通法研究到錯誤引發的思維過程，再到找到原因、變式研究，有效地鞏固了數學知識、訓練了解題方法、提升了解題技能、滲透了數學思想方法、提高了探究能力，這就是培養學生核心素養和關鍵能力的有效途徑．高中數學知識方法千萬條，但數學理解是第一條．課堂教學應立足于學生的“最近發展區”，以學生的眼光組織開展數學教學，最大限度地促使學生學會數學思考，提高數學思維的參與度．

4 結語

在課堂教學中，我們不能只“授業”，而不“解惑”；不能只訓練方法，而忽視能力的提升；不能只關注遠方，而忽略了腳下行走的路；不能只關注“正確的”，還要多關注那些“錯誤的”；不能“硬塞給”學生，而應該吸引他們“過來拿”；不能將“臺階”都鋪設好，而應該讓學生自己搭建階梯；不能只關注課前預設，更需要注重課堂生成，順“思”而為，借“思”而上，因“思”利導，真正促進學生學會學習．