一種改進(jìn)的帶角度約束最優(yōu)制導(dǎo)律*

李貴棟，陸海英，李志維，韋世順，張歐

（江南機(jī)電設(shè)計(jì)研究所，貴州 貴陽 550009）

0 引言

隨著精確制導(dǎo)武器的發(fā)展，防御系統(tǒng)對攔截彈提出了較高要求。針對空中目標(biāo)的復(fù)雜特性，往往需要攔截彈彈道滿足一定的終端角度約束，以滿足特定的攔截任務(wù)需求，例如，攔截超低空目標(biāo)［1-3］、反隱身目標(biāo)［4］、協(xié)同攔截［5-9］等。因此，研究帶終端角度約束的制導(dǎo)律具有十分重要的意義。

目前，對終端角度約束的制導(dǎo)律已有不少研究。王榮剛等［10］為定向打擊高速運(yùn)動目標(biāo)，采用相對偏置比例導(dǎo)引，在比例導(dǎo)引基礎(chǔ)上加入碰撞角約束及目標(biāo)機(jī)動補(bǔ)償實(shí)現(xiàn)對機(jī)動目標(biāo)的定向打擊。然而偏置比例導(dǎo)引的末端視線角速度以及過載指令往往較大，且難以實(shí)現(xiàn)全向角度約束。鑒于偏置比例導(dǎo)引末段視線角速度較大，滑模變結(jié)構(gòu)控制具有較好魯棒性，穆忠偉等［11］結(jié)合滑模變結(jié)構(gòu)理論使偏置比例導(dǎo)引滑模變結(jié)構(gòu)化，最后導(dǎo)彈能實(shí)現(xiàn)整個(gè)攻擊過程中的彈目視線角速度變化較小的垂直落角攻擊目標(biāo)。王健等［12］采用滑模變結(jié)構(gòu)和非線性反步控制的方法，通過高增益的飽和函數(shù)，結(jié)合改進(jìn)的開關(guān)項(xiàng)系數(shù)來削弱滑模抖振的影響，以期望的攻擊角度命中固定或緩慢移動目標(biāo)。李琬祺等［13］通過對傳統(tǒng)STA（spanning tree algorithm）算法進(jìn)行改進(jìn)以確保系統(tǒng)含有不確定項(xiàng)時(shí)在有限時(shí)間收斂，并結(jié)合自適應(yīng)控制理論，設(shè)計(jì)了一種帶攻擊角約束的自適應(yīng)STA 有限時(shí)間滑模導(dǎo)引律。然而結(jié)合滑模控制理論的導(dǎo)引律的魯棒性本質(zhì)上是由抖振交換得來，且不能保證初始段損失能量盡量小。

鑒于最優(yōu)控制理論能靈活滿足多約束條件，PAUL［14］采用最優(yōu)控制思想設(shè)計(jì)了一種帶落角約束的攻擊靜止目標(biāo)的導(dǎo)引律，并通過分析表明該導(dǎo)引律適用于攻擊機(jī)動目標(biāo)，但該導(dǎo)引僅從期望終端視線角的角度出發(fā)，并未考慮終端視線角速率的控制效果，難以滿足終端交會角約束需求，且初始段過載較大。CHI 等［15］考慮自動駕駛儀動力學(xué)中的不確定性以及加速度約束，設(shè)計(jì)了一種帶終端角約束的能量最小且無末加速度約束的最優(yōu)導(dǎo)引律。然而對于防空武器，理論上整個(gè)過程能量最少能很好完成攔截任務(wù)，但在實(shí)際空中復(fù)雜作戰(zhàn)環(huán)境中，初始段的需用過載大往往會使攔截彈過早損失較多能量，這可能會導(dǎo)致難以滿足后續(xù)復(fù)雜環(huán)境攔截需求，而目前還鮮有這方面的研究。

針對以上問題，本文在帶角度約束最優(yōu)制導(dǎo)律的研究基礎(chǔ)上，考慮初始段需用過載較小，設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的帶視線角約束最優(yōu)制導(dǎo)律；然后基于彈目運(yùn)動關(guān)系及帶視線角約束的改進(jìn)最優(yōu)制導(dǎo)律特性，將終端視線角約束問題轉(zhuǎn)換為終端交會角約束問題，從而得到帶終端交會角約束的制導(dǎo)律。

1 最優(yōu)制導(dǎo)律推導(dǎo)

攔截過程中的制導(dǎo)問題可用如圖1 所示的線性簡化動力學(xué)模型描述。

圖1 制導(dǎo)問題線性簡化動力學(xué)模型Fig.1 Simplified linear dynamic model of guidance

圖1 中，Z 為零控脫靶量，表示攔截彈不加控制時(shí)的脫靶量；下標(biāo)M 和T 分別表示攔截彈和目標(biāo)。

用狀態(tài)方程可將該制導(dǎo)問題描述為

則狀態(tài)方程可寫成

對防空導(dǎo)彈而言，往往希望初始段過載相對較小，從而避免過早損失較多能量，以保證后續(xù)有更多的能量來滿足復(fù)雜空域中的攔截需求。因此，對于有終端角度約束要求的對空攔截彈，需要在實(shí)現(xiàn)終端角度約束的同時(shí)考慮使初始段的過載能盡量小。

據(jù)此，設(shè)計(jì)控制權(quán)函數(shù)為

制導(dǎo)初始段，W(t) = 1 + 1/(tf- t)n的值接近1；接近終端時(shí)刻，W(t)以和1/(tf- t)n相同的增長速率逐漸趨近∞。在取能量最小形式的目標(biāo)函數(shù)情況下，該權(quán)函數(shù)既能保證制導(dǎo)過程初始段具有近似權(quán)函數(shù)取1/(tf- t)n且n=0 時(shí)的初始段小過載特性，又能使制導(dǎo)過程接近終端時(shí)刻保持權(quán)函數(shù)取1/(tf- t)n且n＞0 時(shí)能使終端視線角能收斂到期望值的特性。

此時(shí)，對應(yīng)基于能量最小的目標(biāo)函數(shù)為

通過最小化目標(biāo)函數(shù)J，便可得到最優(yōu)控制量u，即可得到攔截彈最優(yōu)需用過載。

該攔截過程制導(dǎo)問題的終端條件可表示為

根據(jù)最優(yōu)控制理論，該最優(yōu)問題的最優(yōu)解為

令 tgo= tf- t，則聯(lián)立式（2）、（5）及（6）可得

因此，聯(lián)立式（2）、式（5）～（8）可得

在小角度假設(shè)下，有

因此有

將式（14）帶入式（12）可得

其中，目標(biāo)加速度aT通常可利用制導(dǎo)站或?qū)б^探測獲取的目標(biāo)信息，采用卡爾曼濾波算法等方法估計(jì)得到。

式（15）即為考慮初始段需用過載較小且?guī)ЫK端視線角約束的最優(yōu)制導(dǎo)律。

2 終端視線角約束問題轉(zhuǎn)換為終端交會角約束問題

攔截空中高速飛行目標(biāo)，攔截任務(wù)可能需要攔截彈從目標(biāo)飛行軌跡的側(cè)面接近目標(biāo)，即需要攔截彈滿足一定的終端交會角約束，因此僅考慮終端視線角約束難以滿足攔截需求，故還需進(jìn)一步研究帶終端交會角約束的導(dǎo)引以滿足攔截需求。

對空中目標(biāo)進(jìn)行攔截過程中，彈目運(yùn)動關(guān)系如圖2 所示。

圖2 彈目運(yùn)動關(guān)系圖Fig.2 Missile-target motion relationship

易知，彈目相對運(yùn)動存在如下關(guān)系

定義期望攔截彈彈道角與目標(biāo)彈道角所夾銳角為期望交會角Δθd。由圖2 所示運(yùn)動關(guān)系可知，在非尾追攔截下有

結(jié)合式（16）和式（18）可得

把式（17）帶入式（19）可得

求解式（20）即可得到制導(dǎo)結(jié)束時(shí)期望終端交會角為Δθd所對應(yīng)的期望視線角qf為

將式（21）帶入式（15）即可得到帶終端交會角約束的制導(dǎo)律。

3 仿真分析

設(shè)定攔截彈起始位置為（0，0），速度為1 000 m/s，初始彈道傾角為90°；目標(biāo)初始位置為（22.5×103，15.8×103）m，速度為 1 200 m/s，彈道傾角為 210°。設(shè)置期望交會角為60°；分別采用帶角度約束的偏置比例導(dǎo)引以及文獻(xiàn)［16］設(shè)計(jì)的n 值取1 時(shí)的帶角度約束最優(yōu)制導(dǎo)律（下文簡稱最優(yōu)導(dǎo)引）和本文推導(dǎo)的改進(jìn)最優(yōu)制導(dǎo)律（下文簡稱改進(jìn)的最優(yōu)導(dǎo)引）進(jìn)行仿真，仿真步長取10 ms。

圖3 給出了3 種制導(dǎo)律對比仿真的攔截軌跡及其局部放大圖，從圖中可以看出，2 種最優(yōu)制導(dǎo)律最后都能同樣的角度約束攔截趨勢，但最優(yōu)導(dǎo)引的彈道比本文推導(dǎo)的改進(jìn)的最優(yōu)導(dǎo)引彈道更彎曲。

圖3 三種制導(dǎo)律的攔截軌跡圖Fig.3 Interception trajectory of three guidance laws

圖4 和圖5 分別表示攔截過程中需用過載變化曲線和視線角速率的變化曲線。由圖可知，2 種最優(yōu)制導(dǎo)律終端視線角速率都能控制到0 附近，即都能控制視線角收斂，而偏置比例導(dǎo)引的終端視線角速率最終呈發(fā)散趨勢，即不能控制終端視線角收斂。由過載曲線可知，本文推導(dǎo)的最優(yōu)制導(dǎo)律初始段的需用過載最小，最大過載也比最優(yōu)導(dǎo)引小，且終端時(shí)刻過載能收斂到0。

圖4 過載曲線Fig.4 overload curve

圖5 視線角速率變化曲線Fig.5 LOS rate curve

圖6 表示實(shí)時(shí)交會角（即實(shí)時(shí)的攔截過程中攔截彈速度方向與目標(biāo)速度方向所夾銳角）變化曲線。由圖可知，2 種最優(yōu)制導(dǎo)律都能很好將終端交會角控制到期望值，但本文推導(dǎo)的制導(dǎo)律能使攔截彈速度方向與目標(biāo)速度方向所夾銳角較平直地控制過渡到期望的終端交會角。

圖6 實(shí)時(shí)交會角變化曲線Fig.6 Calculated encounter angle curve

用攔截過程中的過載與時(shí)間軸所圍成的面積表征攔截過程所用的能量。分別采用3 種制導(dǎo)律進(jìn)行制導(dǎo)攔截時(shí)所消耗的能量以及脫靶量如表1 所示。由表中結(jié)果可以看出，本文推導(dǎo)的改進(jìn)最優(yōu)制導(dǎo)律的脫靶量最小，且整個(gè)攔截過程所用的能量比最優(yōu)導(dǎo)引所用的能量更少。

表1 3 種制導(dǎo)律所用能量及脫靶量Table 1 Energy and miss distance of three guidance laws

設(shè)置目標(biāo)初始位置為（80×103，60×103）m，速度為 1 200 m/s，彈道傾角為 225°（即以 45°角向下俯沖）；攔截彈起始位置為（0，0），速度為1 000 m/s，初始彈道傾角為90°；采用本文推導(dǎo)的改進(jìn)最優(yōu)制導(dǎo)律，分別設(shè)置不同期望交會角為-30°、-15°、0°、15°、30°和45°進(jìn)行攔截仿真，得到圖7 所示的攔截軌跡。

圖7 設(shè)置不同Δθd 時(shí)的攔截軌跡Fig.7 Interception trajectory at different Δθd

由該仿真結(jié)果可以看出，本文所推導(dǎo)的改進(jìn)制導(dǎo)律能根據(jù)指定期望交會角實(shí)現(xiàn)期望的攔截效果。

綜上可知，本文所推導(dǎo)的改進(jìn)帶角度約束最優(yōu)制導(dǎo)律能較好將交會角控制到期望值，實(shí)現(xiàn)期望的攔截效果，且在攔截初始段的需用過載較小，此外還能保證較高的命中精度。

4 結(jié)束語

帶終端角度約束制導(dǎo)對防御系統(tǒng)攔截任務(wù)具有重要意義，考慮角度約束的同時(shí)考慮初始段需用過載不大，能避免攔截彈的能量過早損失，從而能較好地完成對空攔截任務(wù)。本文基于考慮視線角約束的最優(yōu)制導(dǎo)律，推導(dǎo)了一種考慮初始段需用過載較小的帶終端交會角約束的改進(jìn)最優(yōu)制導(dǎo)律。仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律能較好地實(shí)現(xiàn)終端交會角約束，命中精度也較高，能較好的滿足帶終端角度約束的攔截任務(wù)需求。此外，初始段的需用過載也較小，能有效避免導(dǎo)彈過早損失能量，以利于防空導(dǎo)彈的后續(xù)攔截，對防空攔截有一定的參考價(jià)值。