攔截大機動目標的有限時間收斂制導律*

吳剛 ，張科

（1. 西北工業(yè)大學 航天學院，陜西 西安 710072；2. 江南機電設(shè)計研究所，貴州 貴陽 550009）

0 引言

隨著航空航天技術(shù)的進步，特別是以高超聲速飛行器為代表的現(xiàn)代空襲武器機動能力越來越強，而且它的飛行軌跡難以預(yù)測［1］，這給攔截他們的導彈帶來了新的挑戰(zhàn)。為了增強對目標的毀傷效果，不僅僅需要導彈攔截目標時，脫靶量盡可能地小［2］，而且還需要導彈以特定的角度攔截目標［3］。因此研究考慮攻擊角約束攔截大機動目標的制導律具有重要的意義。

目前，比例制導律因其實現(xiàn)簡單，在工程上得到了廣泛應(yīng)用［4-7］，而傳統(tǒng)的比例制導律，不能實現(xiàn)讓導彈以期望的角度攻擊目標。為此，學者們對傳統(tǒng)的比例制導律進行了改進［8］，讓其實現(xiàn)以期望的角度攔截目標。然而，比例制導律及其改進形式仍然針對的是非機動目標。它們攔截機動目標的效果并不理想。

為了實現(xiàn)對機動目標的攔截，學者們將許多先進的現(xiàn)代控制理論成果應(yīng)用到制導律的研究。如基于最優(yōu)控制理論的最優(yōu)制導律［9］，基于自適應(yīng)控制理論的自適應(yīng)制導律［10］，基于微分對策理論的微分對策制導律［11］等。

相對于其他制導方法，滑模制導律結(jié)構(gòu)簡單，設(shè)計方便，易于工程實現(xiàn)，而且對目標機動等引起的制導系統(tǒng)擾動具有較強的魯棒性，被廣泛地應(yīng)用于攔截機動目標的制導律設(shè)計［12］。傳統(tǒng)的滑模控制只能實現(xiàn)無限時間的漸進收斂，而導彈攔截目標時，末制導時間很短，因此，設(shè)計制導律時考慮有限時間收斂更有工程實際應(yīng)用價值。

在滑模制導律設(shè)計過程中，制導系統(tǒng)擾動通常通過選擇合適的開關(guān)增益來消除。為了保證制導系統(tǒng)穩(wěn)定，開關(guān)增益的選擇通常要大于擾動的上界。這就要求制導系統(tǒng)擾動的上界是已知的，而在工程實際中，制導系統(tǒng)擾動的上界不可能事先知道。為了解決這一問題，文獻［13］用自適應(yīng)律估計制導系統(tǒng)擾動的上界。而僅僅通過開關(guān)增益實現(xiàn)滑模制導律對制導系統(tǒng)擾動的魯棒性，會給制導系統(tǒng)帶來嚴重的抖振現(xiàn)象。

為了消除滑模控制帶來的抖振，滑模控制經(jīng)常與擾動觀測器一起使用設(shè)計制導律，常用的非線性擾動觀測器［14］、擴張狀態(tài)觀測器［15］、高增益觀測器［16］等擾動觀測器的參數(shù)設(shè)計，對其估計性能和收斂性能都有較大的影響。參數(shù)設(shè)計不合理直接影響到導彈的攔截精度。為此，本文提出了參數(shù)適應(yīng)調(diào)節(jié)的徑向基函數(shù)（radial basis function，RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擾動觀測器，用來估計制導系統(tǒng)擾動。

綜上討論，本文基于有限時間收斂的積分滑模控制理論和參數(shù)自適應(yīng)調(diào)節(jié)的RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擾動觀測器，設(shè)計了考慮攻擊角約束的攔截大機動目標的有限時間收斂制導律。擾動觀測器和連續(xù)趨近律的應(yīng)用避免了滑模制導律的抖振現(xiàn)象。

1 制導模型建立

在二維平面中導彈攔截目標相對運動關(guān)系如圖 1 所示，圖中，M 代表導彈的質(zhì)心，T 代表目標的質(zhì)心，可得二維平面內(nèi)導彈和目標的相對運動的動力學方程為

圖1 導彈與目標的相對運動幾何Fig.1 Relative motion geometry of missile and target

式中：r 為導彈和目標的相對距離；q 為視線角；vm為導彈的速度；vt為目標的速度；θm為導彈速度的方向角；θt為目標速度的方向角；am為導彈的法向加速度；at為目標的法向加速度。

對式（2）求導，得

結(jié)合式（1）、（3）、（4），式（5）可整理為

式中：uq= amcos(q - θm)為導彈加速度在彈目視線法向上的分量；wq= atcos(q - θt)為目標加速度在彈目視線法向上的分量。

令 x1= q - qd，x2= q?，其 中 qd為 期 望 的 終 端 視線角，考慮攻擊角約束的二維平面制導方程為

2 制導律設(shè)計

2.1 積分滑模制導律設(shè)計

在制導律設(shè)計之前，為了制導律設(shè)計及其有限時間收斂性證明方便，先介紹以下引理：

引理 1［17］如果存在李雅普諾夫函數(shù) V(x)的一階導數(shù)滿足不等式

式 中 ：a ＞ 0，0 ＜ α ＜ 1，則 系 統(tǒng) 有 限 時 間 收 斂 到原點。

引理 2［18］對于如下 n 階積分系統(tǒng)

存在 ε ∈ (0，1)，對于任意 αn∈ (1 - ε，1)，假如設(shè)計的控制器為

針對制導系統(tǒng)式（7），讓導彈以期望的攻擊角精確攔截大機動目標，為了使系統(tǒng)狀態(tài)有限時間收斂，設(shè)計如下積分滑模面：

式（7）得

為了使系統(tǒng)狀態(tài)軌跡從初始狀態(tài)快速收斂到設(shè)計的滑模面，設(shè)計一種快速變冪次趨近律如下：

式中：k3＞ 0，k4＞ 0，0 ＜ γ ＜ 1。

設(shè)計制導律如下：

這里d?為制導系統(tǒng)擾動d 的估計，下文中用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擾動觀測器對擾動d 進行估計。χ?為自適應(yīng)項，將在下文中定義。

定理1 針對制導系統(tǒng)（7），選擇滑模面如式（11），趨近律如式（13），導引律如式（14），則制導系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間收斂到0 附近。

證：選取李雅普諾夫函數(shù)V1為

假設(shè)制導系統(tǒng)擾動的剩余估計誤差為

式中：ε 為一個較小的正數(shù)。

對V1求導并整理得

將式（17）寫作如下形式

當 k3|s| - ε ≥ 0 時，即|s| ≥ ε/k3時

由引理1 和不等式（19）可知，滑動流形s 在有限時間內(nèi)收斂到一個小的區(qū)域|s| ≤ ε/k4= ε1，ε1是一個很小的正數(shù)。

s 收斂后，令 s = μ，| μ | ＜ ε1，此時可得

s 收斂后，s?= μ?= 0，因此對式（20）求導得

根據(jù)引理 2，x1、x2有限時間收斂到 0，也就是說，制導系統(tǒng)在有限時間內(nèi)，視線角q 收斂到期望的視線角qd，視線角速率q?收斂到0。定理1 得證。

本文相對于傳統(tǒng)的滑模控制所做的改進如表1所示，采用積分滑模面，可以讓滑模面有限時間收斂，而傳統(tǒng)的線性滑模面只能實現(xiàn)無限時間的漸進收斂，在趨近律設(shè)計中在傳統(tǒng)的冪次趨近律的基礎(chǔ)上增加了指數(shù)趨近項，加快滑模面的收斂速度。

表1 本文滑模相對于傳統(tǒng)滑模所做的改進Table 1 Improvement of sliding mode compared with traditional sliding mode in this paper

2.2 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擾動觀測器設(shè)計

為了實現(xiàn)對大機動目標的精確攔截，對目標機動d 引起的制導系統(tǒng)擾動進行精確的估計是十分必要的，為此，本文提出了一種參數(shù)自適應(yīng)調(diào)節(jié)的RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對其進行精確估計，擾動d 的表達式為

式中：W? = (w?1，w?2，…，w?m)T為 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出層的自適應(yīng)調(diào)整的輸出權(quán)向量；h?= (h?1，h?2，…，h?m)T為RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱層神經(jīng)元的高斯激活函數(shù)向量，其參數(shù)可以自適應(yīng)調(diào)整，h?j的元素表示為

擾動d 和擾動的估計d?做差，并利用線性化方法展開為泰勒展開式部分線性形式，得到

式 中 ：W? = W? - W*為 RBF 神 經(jīng) 網(wǎng) 絡(luò) 線 性 輸 出 層 自適應(yīng)權(quán)向量W?與最優(yōu)權(quán)向量W*之間的權(quán)向量偏差；c?= c?- c*為高斯函數(shù)自適應(yīng)中心向量 c?與最優(yōu)中心向量 c*之間的偏差中心向量；σ? = σ? - σ*為寬度向量在自適應(yīng)寬度向量σ?與最優(yōu)寬度向量σ*之

將式（14）代入式（12）整理得

將式（26）代入式（29）得

選取李雅普諾夫函數(shù)為

式中：η1，η2，η3，η4為要設(shè)計的參數(shù)。

對李雅普諾夫函數(shù)求導得

將式（31）代入式（33）得

重新整理式（35）得

為了保證李雅普諾夫函數(shù)的一階導數(shù)V?0＜0，選取隨時間變化的自適應(yīng)參數(shù)為

3 仿真校驗

為了說明本文所提制導律對大機動目標優(yōu)異的制導性能，在相同仿真條件下將其與比例制導律（PNGL）和非線性終端滑模制導律（NTSMGL）［19］進行對比仿真。仿真中，選取3 組不同的導彈和目標的初值如表2 所示。

表2 3 組不同的導彈和目標仿真初值Table 2 Initial condition of the missile and the target for the simulation

目標機動的加速度設(shè)置為攔截難度較大的正弦跳躍式機動，at= 200sin(0.5t)m/s2。通過大量的仿真將比例制導律（PNGL）的比例系數(shù)調(diào)整到攔截效果最好，非線性終端滑模制導律（NTSMGL）的制導參數(shù)按照文獻［19］選擇。本文所提積分滑模制導律（ISMGL）的參數(shù)選擇如下：

制導律中積分變量參數(shù)的初始值選取如下：

攔截目標時，設(shè)置期望的終端視線角qd= 15°。

針對3 組不同的導彈和目標初始值條件，3 種不同制導律攔截正弦跳躍式機動目標的仿真結(jié)果如表 3 和圖 2～4 所示。從圖 2a）、3a）、4a）中可以看出，在3 種不同的制導律作用下的導彈雖然運動軌跡不同，但都能成功的攔截目標。從圖 2b）、3b）、4b）中可以看出，在本文所提的積分滑模制導律（ISMGL）和非線性終端滑模制導律（NTSMGL）作用下的導彈視線角都能收斂到期望的值附近，積分滑模制導律（ISMGL）視線角的收斂精度明顯高于非線性終端滑模制導律（NTSMGL），而比例制導律（PNGL）視線角不能收斂到期望的值。從圖2c）、3c）、4c）中可以看出，本文所提的積分滑模制導律（ISMGL）可以保證彈目視線角速率收斂到零附近，非線性終端滑模制導律（NTSMGL）雖然也可以讓彈目視線角速率收斂到零附近，但是在彈目遭遇前的一小段時間會發(fā)散，收斂精度和收斂速度也遠不如本文所提的積分滑模制導律（ISMGL）。圖 2～4（d）為制導指令曲線，本文所提的積分滑模制導律（ISMGL）和比例制導律（PNGL）制導指令曲線比較平滑，而非線性終端滑模制導律（NTSMGL）制導指令曲線出現(xiàn)了震蕩現(xiàn)象。表3 為3 種不同制導律的仿真結(jié)果統(tǒng)計，在飛行時間方面它們差別不大，在脫靶量和視線角控制方面本文所提的制導律明顯優(yōu)于其他2 種制導律。這充分說明本文所提的制導律具有優(yōu)異的制導性能。

表3 3 種不同制導律的仿真結(jié)果Table 3 Simulation results of three different guidance laws

圖2 初值1 下不同制導律仿真對比曲線圖Fig.2 Simulation comparison curves of different guidance laws under initial value 1

圖3 初值2 下不同制導律仿真對比曲線圖Fig.3 Simulation comparison curves of different guidance laws under initial value 2

圖4 初值3 下不同制導律仿真對比曲線圖Fig.4 Simulation comparison curves of different guidance laws under initial value 3

4 結(jié)束語

本文以攔截大機動目標為背景，采用積分滑模控制和RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擾動觀測器，設(shè)計了彈目視線角和視線角速率有限時間收斂的積分滑模制導律。利用李雅普諾夫理論分析了所設(shè)計制導律的穩(wěn)定性。在相同的條件下，通過將其與非線性終端滑模制導律（NTSMGL）和比例制導律（PNGL）對比仿真，說明本文所提積分滑模制導律具有優(yōu)異的制導性能。可以為攔截大機動目標制導律的設(shè)計提供一定的理論和實際參考。