基于偏微分方程的雙幣種擴展期權定價

何家文

南寧學院通識教育學院 廣西南寧 530200

1 概述

擴展期權是允許發行者或期權持有者擴展其初始合約的到期日，當期權持有者擴展其合約到期日時，相應的執行價格要被調整，同時持有者必須向期權出售者支付一定的額外溢酬。擴展期權的最大特點就在于期權持有者在期權初始到期日時為達到利益最大化可以選擇執行或放棄該合約，還可以延長該合約的期限。Longstaff[1]在經典的市場模型[2]下研究擴展期權定價問題。Gukhal[3]采用股價滿足Merton跳擴散模型[4]對擴展期權進行定價，彭斌[5]以標的資產遵循跳分形過程為基礎，推導擴展期權價格的封閉解，Chung等[6]研究一類多期擴展期權定價問題，鄧國和[7]在隨機波動率混合跳躍仿射擴散模型下研究擴展期權定價。

本文討論了雙幣種擴展期權，雙幣種期權是為投資者在本國購買國外標的資產而設計的一種期權，受到國內和國外兩個不同貨幣市場影響。該類期權可規避在貿易中遇到的匯率風險。雙幣種擴展期權的收益函數是匯率與國外標的資產組合而成，且其到期日可延長，因此可以方便投資者進行投資和對沖風險。目前關于雙幣種期權研究[8-15]較多，取得一系列的研究成果，而關于雙幣種擴展期權的研究較少，文獻[16]在跳擴散模型下研究雙幣種擴展期權定價問題。本文利用偏微分方程的方法在隨機波動率過程下討論了雙幣種擴展期權的定價問題，在本文考慮的期權收益支付形式是執行價格以國內貨幣計價。

2 模型假設

(1)

這里rf為國外利率，rd為國內利率，σS、σF為非負常數，α、θ、σV分別是隨機波動率運動方程中的均值回復速度參數，長期均值參數，波動率參數，且2αθ-σ2≥0。

(2)

?(t，x*，v；u1，u2，T)=exp{iu1x*+B(τ，u1，u2)v+C(τ，u1，u2)}

(3)

其中

(4)

(5)

(6)

由于市場模型(1)具有仿射結構特征，故(6)的解?(t，x*，v；u，1，u2，T)具有指數形式的解結構為:

exp{iu1x*+B(t，u1，u2)v+C(t，u1，u2)}

(7)

將(7)帶入方程(6)，則待定系數B(t)=B(t，u1，u2)，C(t)=C(t，u1，u2)滿足：

(8)

(9)

求解上述微分方程(8)、(9)得解為(4)、(5)式。

3 雙幣種擴展期權定價

考慮一類執行價格以國內貨幣計價的雙幣種看漲期權定價，對于其他三類雙幣種擴展期權可類似獲得。該類型的雙幣種歐式期權在到期為T1，執行價格為K的收益函數為max{0，ST1FT1-K}，其擴展期權是允許持有人將初始的到期日T1擴展至T(T>T1)，同時要給期權的發現者支付一定的額外費用δ，而執行價格也會被調整到K1，此時雙幣種擴展期權在到期日為T1時的收益函數為V(S，F，K，K1，T1，T)=max{0，ST1FT1-K1，CE(T1，S，F，v，K，T)-δ}，這里C(T1，S，F，v，K，T)是執行價格和到期日為K，T的雙幣種歐式看漲期權在T1時刻的價格。

有當S*∈(U，+∞)或S*∈(0，L)時，期權不被擴展；當S*∈(L，U)時，期權被擴展。

由于擴展期權有兩個到期日T1和T，故需計算國外貨幣下公司資產對數價格X*在兩個不同時點上的聯合特征函數?(u1，u2，T1，T)，設T1≤t

定理 設在市場模型(1)下，雙幣種擴展看漲期權在t時刻的價格為：

(10)

根據二維的Fourier逆變換有:

這里

I3類似I2的計算，定理證畢。

顯然，當Vt為常數時，公式(10)為B-S模型下雙幣種擴展期權定價公式。

結語

本文在匯率和標的資產的對數價格滿足隨機波動率條件下，研究雙幣種擴展看漲期權的定價問題，通過測度變換及Fourier逆變換等方法得到其定價公式。該定價模型能客觀反映金融市場中波動率的隨機性，在實際金融交易市場中的實用價值很大。