高等數學課程教學中創新能力培養的實踐探索
——以引入分數階微積分為例

曹建雄

蘭州理工大學理學院 甘肅蘭州 730050

根據教育部2019年制定出臺的《關于深化本科教育教學改革全面提高人才培養質量的意見》，教師應該在本科教學過程中貫徹“科研反哺教學”的理念，要在科研工作過程中體現育人功能，讓最新的研究成果轉變為課堂教學內容，激發學生的學習興趣。教師要利用科研創新訓練課程等多種方式，對學生的科研活動進行指導。學校應該加大科研實踐平臺的建設，推動各類科研基地開放共享，支持學生早進教授課題組、早進實驗室、早進團隊，推動學生創新和實踐能力的培養。教育部出臺的指導意見對新時代高校教師的教學工作提出了更高的要求，這就需要高校教師學會科教融合，在講授已經非常成熟的基礎課程過程時，時刻融入最新的科研成果，讓科研反哺教學，激發學生認真學習基礎課程的積極性，同時也能激發學生繼續深造學習的興趣，某種程度上緩解就業壓力。

筆者從事大學公共數學課程，例如高等數學、線性代數、概率論與數理統計等基礎課程的教學研究工作，科學研究方面從事分數階微分方程建模和數值計算的科研工作。在近些年的課堂教學活動中，經常思考如何將科研成果反哺教學，實現科研育人功能。本文以引入分數階微積分為例，介紹筆者在高等數學課堂教學中培養學生創新能力的實踐探索，可為教師在課堂教學中培養學生的創新能力提供一點參考。

一、高等數學課程中科研反哺教學的實踐

眾所周知，大學階段的學習生活在每個人的一生中發揮著至關重要的作用，一個人的“人生觀、世界觀、價值觀”往往是在這一時期形成的。大學生在學習生活中不斷探索自我、定義自我，為今后的自我定位引導方向。本科階段的學習以學為主，通過四年的學習，學生要掌握本學科的基礎知識，為進一步攻讀研究生奠定扎實的基礎。此外，本科階段的學習是全面的、系統的學習，要求學生學會已有知識，包括熟練掌握公共基礎課和專業必修課的知識。

微積分是高等數學課程的核心內容，是理工科專業學生必須掌握的數學基礎內容。微分學和積分學在日常生活、科學研究、工程應用等領域都有廣泛的應用，微積分的地位可見一斑。筆者從事分數階微積分相關科研工作，具有在高等數學教學活動中為學生引入分數階微積分的良好基礎。下面，我們從引入的意義和具體實踐過程兩方面來敘述。

(一)在講授微積分的內容時拓展介紹分數階微積分的意義

數學是一切科學的基礎，高等數學是高等院校理工類專業、財經類專業學生的一門必修基礎課程，也是工科、理科類研究生入學考試的基礎科目。良好的高等數學知識可為學生畢業后的工作和科學研究提供可靠的數學基礎保障。

自從17世紀60年代牛頓和萊布尼茨創立微積分以來，微積分學逐步形成了一門邏輯嚴密、系統完整的學科，它不僅成為其他許多數學分支的重要基礎，而且在自然科學、工程技術、生命科學、社會科學、經濟管理等眾多領域都獲得了十分廣泛的應用。高等數學是大學數學的必修課程，通過這門課程的學習，學生獲得向量代數與空間解析幾何、微積分的基本知識，必要的基礎理論和常用的運算方法。教師要注意培養學生的運算能力和初步的抽象思維、邏輯推理及空間想象能力，從而使學生獲得解決實際問題的能力，為學習后繼課程奠定必要的數學基礎。

分數階微積分是指將高等數學課程中所學的經典微分和積分推廣到任意階微分和積分，進而研究任意階微積分理論體系及應用的數學理論。分數階微積分和整數階微積分有同樣漫長的發展史，其起源最早可追溯到1695年，德國數學家萊布尼茨給洛必達的回信，在信中首先討論了0.5階導數的問題。此后，歐拉、阿貝爾、傅里葉等著名數學家直接或間接地對分數階微積分做出了貢獻。然而，由于分數階微積分沒有完全、可接受的幾何或物理解釋以及應用，分數階微積分在很長一段時間內沒有引起足夠的重視，分數階微積分的研究只停留在純數學理論研究階段。到了20世紀60年代，分數階微積分的思想引起了工程師們的興趣。1974年，第一屆分數階微積分國際會議在美國召開，分數階微積分逐漸應用到工程科學的各個領域。如今，分數階微分方程已成為描述復雜過程和反常擴散現象等問題的重要數學工具。

近年來，分數階微積分在理科和工科研究的眾多領域(如分數階微分方程的求解、分數階動力系統分析、黏彈性流體流動、溶質輸運、地下水污染、圖像處理、金融等)都有廣泛的應用。筆者所在單位是一所理工科院校，許多學生本科畢業后選擇了材料、建筑、電氣等行業或者繼續攻讀研究生。既然分數階微積分在理工科的許多領域都有著非常多的應用，就有必要在本科階段學習。如何學習，這就需要教師和學生發揮主觀能動性，充分利用有限的課堂學習時間學習最新知識。因此，在本科階段的數學課堂中為學生介紹分數階微積分很有必要，不僅可以讓學生學到新知識，還可以激發學生探索未知的興趣，促進創新能力的培養，為本科畢業繼續攻讀研究生打好基礎。陳安等[3]對分數階微積分在數值分析課程中的融合進行了探索。

(二)分數階微積分引入的具體實踐

微分和積分是高等數學的兩大核心內容，在整個課程中占的比例最大。在同濟大學數學系編的《高等數學第七版》[1]教材中，導數和微分的內容分為第二章的《導數與微分》和第三章《微分中值定理與導數的應用》。積分的內容分為第四章《不定積分》、第五章《定積分》、第六章《定積分的應用》、第十章《重積分》和第十一章《曲線積分與曲面積分》。

這些關于微分和積分的定義及運算都指整數階形式，即函數關于自變量的一階導數、二階導數、…、n階導數；函數在區間上的一重積分、二重積分、…、n重積分。而分數階微積分就是常見經典整數階的微積分運算推廣到非整數階的微分和非整數階的積分。如何在學習完微積分的內容后，拓展學習分數階微積分的一些知識呢？

筆者在教學實踐中采取探索式、啟發式的方法引導學生循序漸進推廣學習。下面，我們通過例子來說明介紹分數階微積分的過程。

在學生學完《高等數學》上冊的導數和積分的內容后，提出問題，函數的0.5階積分和0.5階導數分別等于多少？例如：

(1)

一開始，學生可能感到一頭霧水，不知怎樣計算，如何回答。

接著，采用循序漸進的教學方式，以一元函數f(x)=eax的一階、二階、三階導數為例，引導學生展開思考，按照所學的知識分組進行討論，在掌握一階導數、二階導數和三階導數的基礎上，能否分析推測出函數f(x)=eax的r(r>0)階導數是多少，即通過計算下列導數：

能否發散思維，可以合理定義：

當r>0時，表示對函數f(x)求r階導數;當r<0時，表示函數f(x)的r階積分。

等到學生有了這樣的直觀感覺后，筆者結合自己的科研工作，用一節課的時間介紹兩種常見的分數階微積分定義[2]，即Riemann-Liouville(RL)型和Caputo型的定義。同時，再介紹一些分數階微積分的歷史和發展現狀，并舉例說明在學生未來工作或者科學研究中的一些應用。最后，通過復習Gamma函數和Betta函數回答提出的問題。

首先，通過提問的方式回顧Gamma函數、Beta函數的定義和性質，即：

Gamma函數和Beta函數的幾個重要性質如下：

(1)Γ(s+1)=sΓ(s)(s>0)

(2)Γ(s)→+∞，s→0+

在高等數學教材中，對函數f(x)求n(n∈N)重積分可以表示為:

將上式中的n推廣到非整數情形，用Gamma函數的定義和性質給出RL型分數階積分的定義。

定義1[2]:設函數f(x)在區間(a，b)上有定義，r>0，則函數f(x)的r階RL型分數階積分定義為:

定義2[2]:設函數f(x)在區間(a，b)上有定義，n-1≤α

定義3[2]:Caputo分數階導數。設函數f(x)在區間(a，b)上有定義，n-1<α≤n，n為正整數，則f(x)的α階Caputo型分數階導數定義為:

接下來，回到問題(1)，讓學生利用所學知識和分數階微積分的定義計算函數f(x)=x的0.5階RL型積分和0.5階Caputo型導數。大部分學生能夠計算得到：

最后，讓學生利用定義2、3分組討論計算常數的RL型和Caputo型分數階導數，從而得出RL型和Caputo型分數階導數的一個重要區別，即常數的Caputo型導數為0，而常數的RL型分數階導數不等于0。這個結論與學生現有知識儲備相悖，這個過程不僅使他們加深認識了“常數的導數是0”這一高等數學課程中學到的重要結論，而且激發了學生研究RL型和Caputo型分數階導數區別和聯系的興趣。

筆者在實踐過程中發現，有些學生還想繼續學習分數階微積分的知識，并且能夠把學到的知識應用到數學建模競賽、“互聯網+”等競賽中。這樣的課堂教學改革不僅會活躍課堂學習氛圍，也會讓本科生接觸前沿研究成果，激發他們對科學研究的興趣。

二、結論

眾所周知，本科階段的課程學習為學生未來的工作或者科研打基礎，不管是科研創新能力的培養還是工作創新能力的積累，都離不開本科階段基礎課程的學習。高等數學和線性代數這兩門公共數學課程給很多學生留下了深刻印象。本文以在微積分內容的課堂教學中引入分數階微積分概念為例，介紹了在高等數學課程教學中科研反哺教學的一種探索，為培養學生的創新能力提供指導。在后續的教學活動中，將結合學生必須掌握的基礎知識，把最新科研成果轉化為教學內容，激發學生專業學習興趣。