二階非齊次偏微分方程特解的教學(xué)探究

桑彥彬 史娜 張健

1.中北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 山西太原 030051；2.中國(guó)石油大學(xué)理學(xué)院 山東青島 266580

1 概述

近年來(lái)，對(duì)于二階非齊次線性常微分方程特解計(jì)算的教學(xué)探討受到了廣泛的關(guān)注。文獻(xiàn)[1]對(duì)經(jīng)典的待定系數(shù)法求特解的方法進(jìn)行了簡(jiǎn)化。進(jìn)一步，文獻(xiàn)[2]將矩陣方法和待定系數(shù)法進(jìn)行了結(jié)合，建立了二階非齊次常微分方程特解的公式解。文獻(xiàn)[3]提出了伴隨方程的定義，將非齊次項(xiàng)分為三種不同的類型，分別給出了特解的求法。與上述文獻(xiàn)不同，文獻(xiàn)[4]通過(guò)常系數(shù)齊次方程的線性無(wú)關(guān)的特解，建立了對(duì)應(yīng)的非齊次問(wèn)題的特解，推廣了待定系數(shù)法和常數(shù)變易法。最近，文獻(xiàn)[5]改進(jìn)了教材[6]中兩種類型的特解計(jì)算和文獻(xiàn)[7]的特定取值法。另一方面，微分算子法和微分算子級(jí)數(shù)法在非齊次常微分方程和偏微分方程特解的計(jì)算中也得到了一定的應(yīng)用。文獻(xiàn)[8]通過(guò)引入微分算子，討論了線性常微分方程通解和特解的求法。進(jìn)一步，文獻(xiàn)[9]研究了微分算子級(jí)數(shù)法在波動(dòng)方程初值問(wèn)題中的應(yīng)用。文獻(xiàn)[10]介紹了幾類非齊次常微分方程特解的微分算子級(jí)數(shù)法，改進(jìn)了微分算子法。數(shù)學(xué)物理方程教材[11]系統(tǒng)地論述了微分算子法在求解熱傳導(dǎo)方程和波動(dòng)方程通解中的應(yīng)用。

非齊次偏微分方程特解的求法在數(shù)學(xué)物理方程的教學(xué)實(shí)踐中是無(wú)法回避的，然而其計(jì)算并無(wú)通法，只能依據(jù)非齊次項(xiàng)的特征，針對(duì)不同的類型進(jìn)行求解。本文研究了直接積分法和微分算子法在幾類非齊次偏微分方程中特解的具體應(yīng)用。設(shè)二階常系數(shù)線性非齊次偏微分方程的一般形式為：

Auxx+Buxy+Cuyy+Dux+Euy+Fu=f

2 直接積分法

(1)若F=0，f=C。

此種情形，可令uxx=uxy=uyy=0，進(jìn)一步，ux=C，或ux=C。由于此時(shí)取一階偏導(dǎo)數(shù)為常數(shù)，二階偏導(dǎo)數(shù)必為零，直接積分即可得到方程的特解，進(jìn)行這樣的假設(shè)是合理的。

例1 求4uxx+5uxy+uyy+ux+uy=6的特解。

解：令uxx=uxy=uyy=0，進(jìn)一步取

uy=0，或ux=0，

則ux=6，或uy=6。

故該方程的特解可取u*=6x，或u*=6y。

(2)若E=F=0，C≠0，f=C1y+C2。

由于此時(shí)非齊次項(xiàng)只含有y，不含x，f關(guān)于x的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)均為零，則Cuyy=C1y+C2，對(duì)y直接積分可得其特解。

例2 求uxx+10uxy+9uyy+7ux=3y+2的特解。

解：令uxx=uxy=ux=0，則9uyy=3y+2。

同理，若D=F=0，A≠0，f=C1x+C2。此時(shí)非齊次項(xiàng)只含有x，不含y，可令uxy=uyy=uy=0，則Auxx=C1x+C2，也可直接積分可得其特解。

(3)A，B，C，D，E，F(xiàn)均不為零，且f=C1x+C2，或f=C1y+C2。

若f=C1x+C2，由于f只含有x，不含y，可設(shè)uxx=uxy=uyy=uy=0，此時(shí)退化為Dux+Fu=f，可借助于一階線性非齊次常微分方程通解公式獲得其特解；同理，若f=C1y+C2，由于f只含有y，可設(shè)uxx=uxy=uyy=ux=0，此時(shí)退化為Euy+Fu=f，亦可得出其特解。

例3 求3uxx+7uxy+2uyy+ux-3uy-2u=2x+1的特解。

解：令uxx=uxy=uyy=uy=0，則所求方程轉(zhuǎn)化為ux-2u=2x+1。將此時(shí)u=u(x，y)看作只與x有關(guān)，即可得到以下特解：

與文[3-5]相比，此處的直接積分法簡(jiǎn)便易用，且對(duì)于非齊次項(xiàng)為僅含有單變?cè)木€性函數(shù)均是適用的。進(jìn)一步，該方法也可應(yīng)用于更一般的初邊值問(wèn)題。

3 微分算子法

若A，B，C，D，E，F(xiàn)均不為零，且f=C1x+C2y。

此時(shí)，f含有x與y，直接積分法和采用一階線性非齊次方程的特解求法均失效，而微分算子的引入提供了適當(dāng)?shù)目蚣?。同時(shí)，可利用冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式直接參與運(yùn)算。

例4 求3uxx+7uxy+2uyy+ux-3ux-2u=2x+3y的特解。

即:

(Dx+2Dy+1)(3Dx+2Dy-2)u=2x+3y.

設(shè):

解之:

=2x+3y-Dξ(2x+3y)

=2x+3y-(2xξ+3yξ)

=2x+3y-8

進(jìn)而:

此即為所求問(wèn)題的特解。

事實(shí)上提供了上述問(wèn)題特解的積分表達(dá)式。應(yīng)當(dāng)指出的是，上述結(jié)論對(duì)二維和三維情形都是成立的。進(jìn)一步，為便于計(jì)算，教材[11]給出了雙曲算子的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，若F(x)為任意階可微函數(shù)，則:

例5 求以下初值問(wèn)題的特解。

(1)

解：?jiǎn)栴}(1)的特解可取為:

例6 求以下初值問(wèn)題的特解。

(2)

解：?jiǎn)栴}(2)的特解可取為:

與文獻(xiàn)[8-10]相比，本文提供的微分算子法適用于非齊次項(xiàng)含有兩個(gè)變?cè)囊话闱樾?，突破了單變?cè)南拗啤＿M(jìn)一步，由于微分算符的可運(yùn)算性，該方法可應(yīng)用于不同維數(shù)的波動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題。應(yīng)該指出的是，若非齊次項(xiàng)僅為單變?cè)木€性表達(dá)式，則可以通過(guò)直接積分法獲得其特解。

例7 求以下初值問(wèn)題的特解。

(3)

解：令uxx=uyy=uzz=0，則utt=2(y-t)，關(guān)于時(shí)間t直接積分兩次，可得問(wèn)題(3)的特解：

結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)二階常系數(shù)線性非齊次偏微分方程的系數(shù)和非齊次項(xiàng)的分類，給出了計(jì)算特解的直接積分法和微分算子法。值得強(qiáng)調(diào)的是，對(duì)于一些具有較特殊性質(zhì)的變系數(shù)非齊次偏微分方程，也可采用類似的方法求取相應(yīng)的特解。本文提供的方法具有較強(qiáng)的一般性和普適性，對(duì)今后的數(shù)學(xué)物理方程課程的教學(xué)具有一定的借鑒意義。