仿射變換視角下橢圓的極點極線

王昌林 邵星峰

橢圓是高中數學教學中一個十分重要的知識點，與橢圓的極點極線有關的性質與推論在已有的文獻中的證明方式都顯得較為繁瑣，文1介紹了極點極線的概念與部分性質，但證明不詳細；文2-3給出了新的推論并給出了詳細的證明，但過程較為繁瑣且不易理解．運用仿射變換將橢圓變換成圓，在圓中來研究與橢圓有關的性質，可以較好的解決證明過程繁瑣且不易理解的問題．

1極點極線的定義

1.1幾何定義

如圖1，點P為不在橢圓上的點，過點P引兩條割線依次交橢圓于E，F，H，G，連接EH，FG交于Ⅳ，連接GE，HF交于點M，則直線MN為點P對應的極線，若點P為橢圓上的點，則過點P的切線為極線[l]．

同理可知：PM為點Ⅳ所對應的極線；PN為點M所對應的極線，其中MNP為自極三點形，得到，仿射變換有：（1）仿射變換把直線變成直線；（2）仿射變換把平行直線變成平行直線；（3）仿射變換保持共線三點的簡單比值不變；（4）仿射變換把共線的三點變成共線的三點，把不共線的三點變成不共線的三點；（5）仿射變換把線段變成線段，并保持線段的分比不變；（6）仿射變換按同一比值改變平面上所有（有面積的）圖形的面積等性質[4]．根據仿射變換的原理，以下的性質與證明皆是將橢圓的極點與極線都看作是圓的極點與極線．

3 性質與證明

性質1 （1）當點JP在橢圓上時，其極線，是橢圓在點P處的切線．

（2）當點P在橢圓外時，其極線，是點P向橢圓所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦所在直線）．

（3）當點P在橢圓內時，其極線，是橢圓過點P的割線兩端點出的切線交點的軌跡．

縱觀近20年的高考題，從2001年的全國卷理科19題開始就有了以極點與極線為背景的高考試題，其中2010年江蘇卷理科18題與2020全國I卷理20題最為類似，是名副其實的姊妹題，例1和例2是與極點和極線有關的定點類問題，例3是與極點和極線有關的定值類問題，根據極點和極線的定義與性質，解答過程十分簡潔，雖然極點與極線在高考解答過程中不能直接使用，但其確是一個快速判斷正確答案的好辦法，有助于學生在解答時明確答題方向，優化解答和運算過程，值得關注，

參考文獻

[1]王文彬．極點、極線與圓錐曲線試題的命制[J]．數學通訊：教師閱讀，2015 （4）：62-64

[2]韓毅，蔣曉東，橢圓的極點極線性質及推論[J]．中學數學研究（華南師范大學）（上半月），2019 （5）：2-6

[3]劉娟娟，羅文軍．從一道高考題談圓錐曲線極點和極線又一等差性質[J].理科考試研究，2019 （1）：6-7

[4]吳佐慧，林軍，劉合國．仿射變換在高中數學中的應用[J]．數學通訊，2015 （9）：28-30

[5]王昌林，紀定春．對2020年全國理科I卷第20題的背景分析與解法探究[J]．數理化學習（高中版），2021 （02）：7-10．15