概念教學，讓思維拾級而上

陳靖濤

數學概念是抽象的產物，推理的基礎，模型應用的前提，如何開展概念教學是數學教師研究和關注的重要課題．筆者認為概念教學應當遵循層級發展，在不同的階段設計合適的教學環節，實現層層深入，最終提升數學學習品質，培育數學核心素養．

1 概念教學

羅增儒教授指出，“數學概念是數學血肉細胞，數學思想是數學肌體的靈魂[1]．一個沒有血肉、沒有靈魂的人，即使穿上華麗的外衣，也是僵尸；同樣，沒有數學概念做血肉，沒有數學思想做靈魂，即使給解題穿上華麗的外衣，也是僵尸數學”[1]．

數學概念是抽象的產物、推理的基礎、模型應用的前提．掌握概念是一切數學活動的開始．數學概念是數學的細胞，更是數學的靈魂，數學教學離不開概念教學，數學概念教學是數學教學的核心．

2 有層次地認識平移

從《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）看，平移是“圖形的變化”領域中一塊重要的內容．讓圖形在頭腦中動起來，有助于學生幾何直觀能力的培養．通過圖形的平移探尋不變的幾何性質，是學生以“運動”視角研究圖形的開篇，因此，平移概念的教學至關重要，

《課標》在不同學段，對平移提出了不同的要求，從內容上看，平移是在對平行線充分認識的基礎上展開的，是平行線的一個應用，這里的應用更多是指賦予學生“平行線”的視角觀察平移的眼光，是在知識儲備已經提高了觀察品質之后進行的學習，與前兩個學段的學習有著本質的區別．

筆者認為，在平移概念的教學中，對平移的認識有以下五個層級，

層級1在平移現象中，對平移有感觀認知，這時對平移的認識是感性朦朧的、模糊的，是平移概念形成的原始感性素材，

層級2在描圖操作中，體會只有“方向”和“距離”兩個要素的共同參與，才能完成圖形的平移．這時對平移的認識是感性具體的、直觀的，能為進一步探究提供操作素材．

層級3在觀察和思考中，歸納概括平移的本質特征，得到“新圖形與原圖形全等”和“對應點連線平行且相等”兩條性質，認識到點的平移是圖形平移的本質，雖然圖形不同，點的選取不同，但點的運動規律相同．這時對平移的認識是理性具體的，對平移運動的關注點實現從整體到局部的轉換，復雜圖形的平移轉化成了簡單的“點”的平移，對平移的認識從感性走向理性，是思維品質質的飛躍．

層級4形成平移的概念，在利用“對應點”實現平移的作圖或者圖案設計的過程中，充分感受給定平移方向和距離就確定了平移，給定一對對應點也就確定了平移，這時對平移的認識是理性抽象的，是“精致”的概念，不僅可以從萬千變化中識別和區分開來，而且能自覺指導實踐，

層級5在用坐標表示平移的探究中，建立形的性質與數的結構之間的聯系，借助幾何直觀理解問題，獲得用平移的視角認識和研究事物的經驗，這時對平移的認識上升到了理性遷移，形成幾何直觀能力，形成探索解決問題的新思路，獲得用數學的眼光（直觀想象）看世界的能力．

3 平移概念的教學策略

概念同化是學生獲得數學概念的最基本方式[4]．但是，由于學生此前對平移的認識處于感性朦朧的狀態，作為“固著點”的已有知識不足，因此，平移概念無法在認知結構中獲得“平衡”．所以需要經歷一個由感性朦朧、感性具體、理性具體、理性抽象到理性遷移的形成過程，

筆者認為，應當遵循平移概念的層級發展，在不同的階段，設計合適的教學環節，讓學生實現平移概念認識的逐級提升，層層深入，最終提升數學學習品質，培育數學核心素養，

環節1觀察與欣賞

展示履帶傳送商品的過程，演示黑板擦沿著黑板邊緣水平或豎直擦黑板的過程．我們是否學習過這種移動方式？它叫什么？

欣賞上面美麗的圖案，請你說說它們的共同的特點嗎？你能根據其中一部分繪制出整個圖案嗎？應該怎樣繪制？說說你的看法，

設計意圖調動學生的生活經驗，提出研究的課題，同時喚醒學生原有認知結構中對平移感性朦朧的認識，

環節2描圖

如圖2，在一張半透明的紙上，嘗試畫出一排形狀和大小完全一樣的小屋子．設計意圖“一排”對應著“直線”，暗含著“方向”；描出第1個，第2個，第3個……第n個的區別就在于“距離”．在描圖操作中，體會只有“方向”和“距離”兩個要素的共同參與，才能完成圖形的平移，形成對平移感性具體的認識，為進一步探究提供操作素材．

環節3描述平移

這些平移都有確定的起始位置和結束位置，我們選擇其中一個平移過程進行研究，請你描述一下是原圖形如何平移得到新圖形？新圖形與原圖形之間有什么樣的關系？

設計意圖在觀察和思考中，歸納概括出平移的本質特征，得出“新圖形與原圖形全等”和“對應點連線平行且相等”兩條性質．為了更細致地描述，需要說明距離，而學生已經有兩點之間距離的概念，自然會聯想到利用點來描述距離．為了加深學生對“對應點”的含義的理解，在實際教學中可以采用以下“有意偏差”的策略，

如圖3，點A平移后與點A重合，故點A和點A是對應點，而點A”不是點A的對應點，

在該環節中，學生充分認識到點的平移是圖形平移的本質．雖然圖形不同，點的選取不同，但點的運動規律相同，對平移運動的關注點實現從整體到局部的轉換，復雜圖形的平移轉化成了簡單的“點”的平移，對平移的認識從感性具體走向理性具體，是學生思維品質飛升的重要環節，

環節4平移AABC

如圖4，平移AABC使得點A移動到點A，

設計意圖本環節畫圖與之前畫圖有本質的區別，第一次畫圖是在對平移感性朦朧認識的基礎上進行“描圖”，第二次畫圖是在形成平移概念的認識下，自覺利用“對應點”實現平移的作圖，是在理性認識平移的前提下，將復雜圖形的平移轉化成“點”的平移，是理論指導下的實踐．

4 教學反思

4.1概念教學是個漫長的過程

顯然，通過上述教學環節的實施，學生對平移的認識只是達到了層級4，而到達層級5絕不是一蹴而就，思維的提升是需要一個漫長的過程，縱觀人教版教材，我們看到這個過程的艱辛，

第五章相交線與平行線：賦予觀察平移的知識儲備；

第七章平面直角坐標系：用坐標表示平移，建立數與形聯系；

第十三章軸對稱：類比平移的研究思路展開；

第十八章平行四邊形：線段平移得到平行四邊形對邊平行且相等，實現以平移的視角認識基本圖形；

第十九章一次函數：平移函數圖象，建立數式結構與圖象之間的聯系；

第二十二章二次函數：以平移的視角研究二次函數，從頂點式推至一般式得到二次函數圖象的性質，密切了數式的結構與圖象性質之間的聯系；

第二十三章旋轉：再次類比平移的研究思路展開，總結研究圖形變換的一般思路，綜合運用平移、軸對稱、旋轉三者設計圖案，

在各地市的中考試題中，不乏有借助幾何直觀理解問題，利用平移獲得解題思路，構建數學問題的直觀模型，高中階段以及高等數學以變換的觀點來研究函數圖象的例子隨處可見，生活中通過平移設計圖案、制作商品零件、工程制圖更是比比皆是，滲透于此，認識如是，才能真正獲得用數學的眼光（直觀想象）看世界的能力．

4.2類型相同的概念，教學方式相近

等距變換下的不變性是歐式幾何的研究內容[2]．初中階段學生學習的平移、旋轉、軸對稱都是等距變換，因此，平移作為第一個學生學習的圖形變化，承擔著構建幾何變換研究思路的任務，

中學階段研究圖形的變換大致包括以下內容：

①調動生活經驗，通過實例認識圖形的變換；

②在操作中探索圖形變換的性質；

③作出一個圖形變換后的圖形；

④利用圖形的變換進行圖案設計；

⑤用坐標表示圖形的變換．

不論是平移還是軸對稱、旋轉、相似變換，研究對應點的變化才是圖形變化的實質，這是從整體到部分，復雜到簡單，感性到理性的必然選擇；所以平移的概念要重視對“對應點”教學，達成圖形變換以“對應點”的研究為抓手的共識，

總之，概念教學應當遵循層級發展，在不同的階段，通過設計合適的教學環節，實現層層深入，才能提升數學學習品質，培育數學核心素養，

參考文獻

[1]王淼生．概念：數學教學永恒主題[M]．廈門：廈門大學出版社，2018

[2]曹才翰，章建躍．數學教育心理學[Ml．北京：北京師范大學出版社，2021