管道包扎問題中正弦函數模型的實驗探究與教學設計

何宇 譚代倫

《普通高中數學課程標準（2017年版）》將數學建模活動與數學探究活動這一主題列入必修課程之中，并且提出數學建模活動是基于數學思維運用模型解決實際問題的一類綜合實踐活動，是高中階段數學課程的重要內容[1]．高中數學學習的過程中，學生往往被動接受數學知識，數學問題通常是給定條件信息，求解目標問題．而數學建模活動是給定一個現實情境，教師通過教學引導學生開拓思維，把數學和生活緊密聯系在一起，從實際生活中尋找數學問題，從而通過建模的方法解決問題，養成遇到問題從數學模型角度思考的良好學習習慣．

1 教學內容解析

本節是人教A版必修1數學建模板塊——建立函數模型解決實際問題的內容，教師以實際生活中常見的管道包扎問題為背景，通過實驗探究的方法引導學生從大量的信息中發現問題、提出問題，并分析尋找所蘊含的數學關系，建立數學模型，

教學重點正確完成實驗探究，合理分析實驗結論，

教學難點 （1）將實際問題轉化為數學問題，領悟建立數學建模的整個過程；（2）實物圖形合理轉化為抽象幾何圖形，構造輔助線獲得數學模型．

2 學情分析

2.1知識結構

（1）學生在初中階段已經具備運用正弦函數解直角三角形；（2）在“圖形與幾何”這部分內容的學習中，了解圓柱體的基本性質，具備了制作實物模型和想象展開圖的能力；（3）學生對數學建模的理論有一定的了解．

2.2能力水平

（1）具備“通過觀察、分析、操作、抽象概括等活動獲得數學結論”的能力；（2）具備了一定的抽象概括能力和合情推理能力；（3）使用文字和數學符號的能力，有一定程度的發展．

3 教學目標

目標1：（1）將學生學習的視野拓寬到學生的生活空間，強調幾何知識與現實世界的聯系，注重使學生經歷觀察、操作、推理、想象等過程；（2）初步熟悉“實驗探究”的方法，能正確完成實驗操作過程、合理分析和探究實驗結論；（3）能合理轉化實物圖形為抽象幾何圖形，恰當構造輔助線，正確建立問題的數學模型．

目標2：（1）培養學生實驗探究的能力；（2）培養學生“數學猜想”能力和“幾何降維”思想；（3）在將實際問題轉化為數學問題的過程中，培養學生的數學建模能力[2]．

目標3：（1）培養學生探究嚴謹、注重細節的求學態度；（2）學生親自體驗實驗、探索、分析、研究得出結論，并能正確地對問題作數值結果求解和趨勢（規律）分析，以驗證數學模型的合理性，激發學生主動探索新知識的精神．

4 教學方法與教具

4.1教學方法實驗探究法，案例教學法，啟發與討論法．

4.2課堂教具4個A4紙制作的圓形紙筒，半徑為3大1小；4條寬度不同的長方形紙帶，寬度為1寬3窄；雙面膠，剪刀，直尺，筆．

5 教學過程設計

5.1問題提出

問題情境在生產生活中，隨處可見各種類型的輸送管道，很多時候，管道表面都會包扎著一圈一圈的帶狀物，如圖1所示．經過包扎的管道，通常具有防曬、防火、防腐蝕等作用，提高了管道的使用壽命，保證了管道的輸送效果，但是，也增加了工程成本．因此，對于管道的包扎，如何保證質量，如何節約成本，是值得研究的．

設計意圖通過觀察圖片，引入本節課的教學內容．建立知識間的聯系，提高學生概括、類比推理、數學猜想的能力，啟發學生思維，引發問題．

5.2分析問題

問題1：在問題描述中，涉及到的研究對象有哪些？

預設：管道、布帶，

問題2：從數學建模的角度來看，我們需要了解這些研究對象的數學特征和參量，那么，它們有哪些數學特征呢？比如：形狀？幾何參數？

預設：管道一圓柱形：半徑，直徑，周長，表面積，體積．布帶一長方形：寬度，長度．

問題3：問題的目標是什么？要達成這樣的目標有什么要求？

預設：問題的目標是“節約材料”，問題的要求是“包扎緊密”，

問題4：這里，什么是“緊”？什么是“密”？

預設：“緊”是指完全貼合在管道的表面上，“密”是指相鄰布帶之間，既無空隙，也不重疊，

設計意圖讓學生清楚問題中的主要對象和它們所具有的數學特征，也對問題的目標和要求有了更準確的認識和理解．從數學上來看，這也是一個幾何問題，因此我們還可以做一下幾何上的分析，這個問題所描述的幾何對象、幾何關系都不復雜，在生活中也能很方便簡易地制作這樣的材料，因此這就啟發學生通過“實驗探究”的方法來獲得本問題的機理，從而建立它的數學模型．

5.3 實驗探究

問題5：當纏繞到第二圈時，怎樣才能使得包扎“緊密”呢？

（學生動手實驗，老師檢查學生實驗情況，給予必要的指導，帶領大家進行觀察和討論，獲得所提出問題的答案，并點評）

預設：必須將紙帶調整到一個恰當的傾斜角，

問題6：為什么實驗要做4種情形呢？綜合4種情形，關于紙帶的傾斜角，可以得到什么結論呢？請同學觀察小組內的4個作品，并思考給出自己的結論；再觀察老師完成的作品，并回答問題：

預設：管道不同、紙帶不同，傾斜角就不同，

猜想（師生）： （半徑，寬度，傾斜角）存在某種函數關系：a∽（γ，ω）．

設計意圖在時間和空間較為充足時，按教師提出的實驗要求，學生親自動手操作．體驗利用紙帶纏繞紙筒的整個過程，引導學生發現管道、紙帶、傾斜角之間體現的數學關系，并提出猜想．

5.4嘗試建模

（1）引導學生選擇合適的數學建模方法，進行建模．

問題7當紙帶順著圓筒表面包扎時，主要在圓筒的表面上行進，即只利用了圓筒的表面部分．對圓筒的表面，我們能聯想到什么樣的幾何知識呢？

預設：把圓柱沿中心線剪開，可展開為一個長方形平面．

問題8沒錯，可以看到，如果將圓柱剪開并展平，那么對圓柱進行包扎，可以等價于在一個長方形平面上進行平鋪．

鑒于此，接下來我們可以繼續動手實驗，選取剛才完成的一個實驗作品，將它沿圓筒中心線剪開，并展平，

設計意圖通過用課件動態展示，學生能直觀地認知紙帶纏繞紙筒從空間圖形轉化為平面圖形，將空間問題平面化，削弱了學生在數學抽象上的思維難度，使教學過程更流暢．

（2）繼續實驗，實驗操作要點：

根據前面提出的數學猜想，現在需要找到三個幾何量之間的關系，首先，把三個幾何量在圖形中標出來，如下圖2．

其中，由圓柱展開所得的長方形，它的周長比半徑更容易表示，因此將原來的數學猜想中的半徑替換為周長c．

根據輔助線的作法，知AB是底邊的垂線，AC是紙帶的寬，則ABC是直角三角形，因此三個幾何量（圓筒周長c、紙帶寬度w、紙帶傾斜角α）之的關系式，就是一個正弦函數關系，即sind：w/c（α∈[0°，90°]），這就是本問題的數學模型，它是一個初等模型，只用到了中學階段所學知識來刻畫和表示變量之間的關系，

上述模型中，有三個未知量，任給兩個，可求出第三個量，

設計意圖將三維圖形轉化為二維圖形的降維思想，使圖形更容易構造和觀察．在學生已具備的知識能力和認知水平下，進一步引導學生繼續實驗，建立關于半徑、寬度、傾斜角之間的數學模型．

5.5求解問題

在數學建模中，對問題一般可以作兩類求解，一是求出數值結果，另一種是作趨勢或規律分析．

5.5.1求問題的數值結果

例1根據下表數據，依照上述數學模型進行云計算： 解根據問題的數學模型，可求得表中1，2，3三種情形所對應的紙帶傾斜角分別為30°，19.5°，23.6°．

問題8請同學們分析表中數據，并與之前的實驗結果進行相應的驗證．請說一說你的分析結論．

預設：根據情形1，2可知，當圓筒周長相同時，紙帶的寬度越小，則包扎時傾斜角越小．根據情形2，3可知，當紙帶寬度相同時，圓筒的周長越小，則包扎時的傾斜角就越大．

5.5.2對問題作趨勢（規律）分析

本問題的數學模型共有三個量，固定其中一量，則可以分析另外兩個量的變化關系，下面選取兩種有意思的情形進行分析，

例2根據本問題的數學模型，對以下兩種情形進行分析：

（l）當ω→0時，紙帶的傾斜角a將如何變化？

（2）當ω→c時，紙帶的傾斜角a將如何變化？

解答（1）可解得a→0°．即用寬度很小的布帶去包扎某種管道時，布帶與垂直線的傾斜角將近似為0度．（2）可解得a→90°，即用寬度很大的布帶去包扎某種管道時，布帶與垂直線的傾斜角將近似為90度．

設計意圖學生利用所建立的數學模型求解問題，抓住問題的實質，有助于帶動學生的思維活躍度，增強學生應用意識，培養學生的數學建模、數學運算、邏輯推理的核心素養．

5.6拓展應用（課后作業）

本問題可以從多方面、多角度進行拓展，下面給出兩種基本的拓展情形：

（1）如果將紙帶的“傾斜角”定義為與水平線的夾角，則對應的數學模型是什么？

（2）如果包扎管道時，允許布帶有一定的重疊，那么數學模型有什么變化？

設計意圖在同一背景下，從不同角度思考問題，體現了實驗探究教學的開放性和伸展性．在已有的知識經驗下，進一步獲取新的知識和方法，有助于學生的思維發散，提高數學邏輯推理能力和創造能力．

5.7課堂小結

本節課圍繞管道包扎問題，通過實驗探究的方法獲得了問題的數學模型，實驗可以讓我們更接近問題的真相和原理，也可以讓我們有更多的感受和體會，進而提出相關的猜想或分析，

此外，通過本節課的學習，還可以有以下一些收獲：

（1）要善于觀察、發現和提出問題．

（2）實驗探究是解決問題的一種重要手段．

（3）要靈活運用數學知識．

①數學猜想的思想；

②降維轉化思想：三維圖形降為二維圖形；

③構造直角三角形：聚集相關的幾何量．

（4）要注意細節，不斷發現新的線索，使研究不斷深入和擴展．

6 教學反思

本節課的教學符合教學設計過程，達到了預期的教學目標，對學生分析問題、思考問題、動手探究、靈活運用知識、解答問題等能力都得到比較全面的鍛煉，課堂整體有較強的趣味性，學生學習熱情高、積極性強，

但是，教學中還是存在一些問題，主要的問題應該在于，實驗探究的各個環節還需要不斷優化，既要控制教學時間長度，也要保證實驗的效果和質量，使學生能真正從實驗中得到收獲和體會．此外，實驗器材的準備應該再精細些，盡量減少實驗誤差帶來的影響．

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部制定．普通高中數學課程標準（2017年版）[M]．北京：人民教育出版社，2018

[2]李磊．“不等式的性質”教學設計[J]．中國數學教育，2019（4）：21-24（本文系四川省教育廳重點教改項目（項目編號：JG2018-688）和西華師范大學重點教改項目（項目編？-：JGXMZD1825）的研究成果）